结石

最小值：f（x）= -6.237，x = 1.147最大值：f（x）= 16464，x = 7我们被要求查找给定范围内函数的全局最小值和最大值。为此，我们需要找到解决方案的关键点，可以通过取一阶导数并求解x：f'（x）= 5x ^ 4 - 3x ^ 2 + 2x - 7 x ~~ 1.147这恰好是唯一的关键点。为了找到全局极值，我们需要根据给定的范围在x = 0，x = 1.147和x = 7处找到f（x）的值：x = 0：f（x）= 0 x = 1.147 ：f（x）= -6.237 x = 7：f（x）= 16464因此，该函数在[0,7]中的区间x上的绝对极值是最小值：f（x）= -6.237，x = 1.147最大值：f = x时，f（x）= 16464 阅读更多 »

没有最大值。最小值为0.无最大值为xrarr0，sinxrarr0和lnxrarr-oo，所以lim_（xrarr0）abs（sinx + lnx）= oo因此没有最大值。没有最小值令g（x）= sinx + lnx并注意，对于任何正a和b，g在[a，b]上是连续的。 g（1）= sin1> 0“”和“”g（e ^ -2）= sin（e ^ -2）-2 <0.g在[e ^ -2,1]上是连续的，这是一个子集（0,9）。根据中间值定理，g在[e ^ -2,1]中有一个零，它是（0,9）的一个子集。对于f（x）= abs，相同的数字是零（ sinx + lnx）（对于域中的所有x，它必须是非负的。） 阅读更多 »

X = ln（5）和x = ln（30）我猜绝对极值是“最大极值”（最小最小值或最大值）。你需要f'：f'（x）=（xcos（x）e ^ x - sin（x）（e ^ x + xe ^ x））/（xe ^ x）^ 2 f'（x）=（xcos （x） - sin（x）（1 + x））/（x ^ 2e ^ x）AAx在[ln（5），ln（30）]，x ^ 2e ^ x> 0所以我们需要符号（xcos（ x） - sin（x）（1 + x））以便具有f的变化。 [ln（5），ln（30）]中的AAx，f'（x）<0，因此f在[ln（5），ln（30）]上不断减小。这意味着它的极值在ln（5）&ln（30）。它的最大值是f（ln（5））= sin（ln（5））/（ln（25）），其最小值是f（ln（30））= sin（ln（30））/（30ln（30） ） 阅读更多 »

绝对最小值为0，发生在x = 0和x = 20。绝对最大值为15root（3）5，发生在x = 5处。可能是绝对极值的点是：转折点;即dy / dx = 0的点间隔的端点我们已经有了我们的端点（0和20），所以让我们找到我们的转折点：f'（x）= 0 d / dx（x ^（1/3）（ 20-x））= 0 1 / 3x ^（ - 2/3）（20-x） - x ^（1/3）= 0（20-x）/（3x ^（2/3））= x ^ （1/3）（20-x）/（3x）= 1 20-x = 3x 20 = 4x 5 = x因此有一个转折点，其中x = 5.这意味着可能是极值的3个可能点是：x = 0“”“”x = 5“”“”x = 20 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~让这些值插入f（x）：f（0）=（0）^（1/3）（20 - 0）= 0 * 20 =颜色（红色）0 f（5）=（5）^（1/3）（20 - 5）=根（3）（5）* 15 =颜色（红色）（15root（3）5 f（20） =（20）^（1/3）（20-20）= root（3）（20）* 0 =颜色（红色）0因此，在[0,20]的区间x上：绝对最小值是颜色（红色）0，发生在x = 0和x = 20.绝对最大值是颜色（红色）（15root（3）5），发生在x = 5。 阅读更多 »

（1,1 / e）是给定域中的绝对最大值没有最小值导数由f'（x）=（1（e ^（x ^ 2）） - x（2x）e ^（x ^ 2））/（e ^（x ^ 2））^ 2 f'（x）=（e ^（x ^ 2） - 2x ^ 2e ^（x ^ 2））/（e ^（x ^ 2） ）^ 2当导数等于0或未定义时，将出现临界值。导数永远不会是未定义的（因为e ^（x ^ 2）和x是连续函数，e ^（x ^ 2）！= 0表示x的任何值。所以如果f'（x）= 0：0 = e ^（x ^ 2） - 2x ^ 2e ^（x ^ 2）0 = e ^（x ^ 2）（1 - 2x ^ 2）如上所述，e ^（x ^ 2）永远不会等于0，所以我们只有两个临界数将出现在0 = 1 -2x ^ 2 2x ^ 2 = 1 x ^ 2 = 1/2 x = + - sqrt（1/2）= + - 1 / sqrt（2）的解决方案中这些都在我们给定的域中。因此，x = 1将是最大值（因为f（x）收敛为0，因为x - > + oo）。没有最小值希望这会有所帮助！ 阅读更多 »

在x = 1时绝对最大值为-1.718，在x = ln8时绝对最小值为-5.921。要确定区间的绝对极值，我们必须找到位于区间内的函数的临界值。然后，我们必须测试间隔的端点和临界值。这些是可能发生关键值的地方。寻找临界值：只要f'（x）= 0，就会出现f（x）的临界值。因此，我们必须找到f（x）的导数。如果：“”“”“”“”“”“f（x）= xe ^ x那么：”“”“”“”f'（x）= 1-e ^ x因此，临界值将在以下情况发生：“” “”1-e ^ x = 0这意味着：“”“”“”“”“”“”“”“”“”“”e ^ x = 1所以：“”“”“”“”“”“”“ “”“”“”“”“”“”“”“”“”x = ln1 = 0函数的唯一临界值是x = 0，它不在给定的时间间隔[1，ln8]。因此，绝对极值可能出现的唯一值是x = 1且x = ln8。测试可能的值：简单地说，找到f（1）和f（ln8）。函数的绝对最小值越小，绝对值越大。 f（1）= 1-e ^ 1 = 1-eapprox-1.718 f（ln8）= ln8-e ^ ln8 = ln8-8approx-5.921因此，在x = 1时绝对最大值为-1.718且绝对最小值在x = ln8时为-5.921。 Graphed是给定区间的原始函数：graph {x-e ^ x [.9,2.079，-7,1]}由于没有临界值，函数将在整个区间内保持递减。由于x = 1是不断减小的间 阅读更多 »

在x = -1时最小值，在x = 3时最大值。 f（x）=（x-1）/（x ^ 2 + x + 2）具有以（df）/（dx）= - （（x-3）（1 + x））/（2 +）为特征的静止点x + x ^ 2）^ 2 = 0因此它们在x = -1且x = 3时进行表征。分析信号（d ^ 2f）/（dx ^ 2）=（2（x（（x-） 3）在这些点处的x-9）） - 1）/（2 + x + x ^ 2）^ 3。 （d ^ 2f）/（dx ^ 2）（ - 1）= 1> 0->相对最小值（d ^ 2f）/（dx ^ 2）（3）= - 1/49 <0->相对最大值。附上功能图。 阅读更多 »

没有绝对最大值或最小值，我们在x = 16时有一个最大值，在x = 0时有一个最小值。最大值将出现在f'（x）= 0和f'（x）<0表示f（x）=（x +1）（x-8）^ 2 + 9 f'（x）=（x-8）^ 2 + 2（x + 1）（x-8）=（x-8）（x-8 + 2x + 2）=（x-8）（3x-6）= 3（x- 8）（x-2）很明显，当x = 2且x = 8时，我们有极值，但f''（x）= 3 （x-2）+3（x-8）= 6x-30且在x = 2时，f''（x）= - 18且在x = 8时，f''（x）= 18因此当x在[ [0,16]我们在x = 2处有一个局部最大值，在x = 8处有一个局部最小值，而不是绝对最大值或最小值。在区间[0,16]中，我们在x = 16处具有最大值，在x = 0处具有最小值（下图未按比例绘制）图{（x + 1）（x-8）^ 2 + 9 [ - 2,18,0,130]} 阅读更多 »

绝对最小值为-25/2（在x = -sqrt（25/2）处）。绝对最大值为25/2（在x = sqrt（25/2）处）。 f（-4）= -12和f（5）= 0 f'（x）= sqrt（25-x ^ 2）+ x /（取消（2）sqrt（25-x ^ 2））* - 取消（ 2）x =（25-x ^ 2-x ^ 2）/ sqrt（25-x ^ 2）=（25-2x ^ 2）/ sqrt（25-x ^ 2）f的临界数是x = + -sqrt（25/2）这两个都在[-4,5] .. f（-sqrt（25/2））= -sqrt（25/2）sqrt（25-25 / 2）= -sqrt（ 25/2）sqrt（25/2）= -25/2通过对称性（f为奇数），f（sqrt（25/2））= 25/2摘要：f（-4）= -12 f（-sqrt （25/2））= - 25/2 f（sqrt（25/2））= 25/2 f（5）= 0绝对最小值是-25/2（在x = -sqrt（25/2）处） 。绝对最大值为25/2（在x = sqrt（25/2）处）。 阅读更多 »

在区间（2,5）中没有绝对的极值给定：f（x）= x - sqrt（5x - 2）in（2,5）为了找到绝对极值，我们需要找到一阶导数并执行一阶导数测试找到任何最小值或最大值，然后找到终点的y值并进行比较。找到一阶导数：f（x）= x - （5x - 2）^（1/2）f'（x）= 1 - 1/2（5x - 2）^（ - 1/2）（5）f '（x）= 1 - 5 /（2sqrt（5x - 2））求临界值f'（x）= 0：1 - 5 /（2sqrt（5x - 2））= 0 1 = 5 /（ 2sqrt（5x - 2））2sqrt（5x - 2）= 5 sqrt（5x - 2）= 5/2正方形两边：5x - 2 = + - 25/4由于函数的域受激进的限制： 5x - 2> = 0; “”x> = 2/5我们只需要看一下肯定答案：5x - 2 = + 25/4 5x = 2/1 * 4/4 + 25/4 = 33/4 x = 33/4 * 1 / 5 = 33/20 ~~ 1.65由于这个临界点<2，我们可以忽略它。这意味着绝对极值位于端点处，但端点不包括在间隔中。 阅读更多 »

绝对最大值：（5,1 / 10）绝对最小值：（0,0）给定：f（x）= x /（x ^ 2 + 25）“on interval”[0,9]绝对极值可以通过评估找到终点并找到任何相对最大值或最小值并比较它们的y值。评估终点：f（0）= 0/25 = 0 =>（0,0）f（9）= 9 /（9 ^ 2 + 25）= 9 /（81 + 25）= 9/106 =>（ 9,9 / 10）~~（9，.085）通过设置f'（x）= 0找到任何相对最小值或最大值。使用商数规则：（u / v）'=（vu' - uv'）/ v ^ 2设u = x; “”你'= 1; “”v = x ^ 2 + 25; “”v'= 2x f'（x）=（（x ^ 2 + 25）（1） - x（2x））/（x ^ 2 + 25）^ 2 f'（x）=（ - x ^ 2 + 25）/（x ^ 2 + 25）^ 2 = 0由于（x ^ 2 + 25）^ 2 * 0 = 0，我们只需要设置分子= 0 -x ^ 2 + 25 = 0 x ^ 2 = 25临界值：x = + - 5由于我们的区间是[0,9]，我们只需要看x = 5 f（5）= 5 /（5 ^ 2 + 25）= 5/50 = 1 / 10 =>（5,1 / 10）使用一阶导数检验，设置间隔以确定该点是相对最大值还是相对最小值：interval：“”（ 阅读更多 »

没有绝对极值，因为f（x）无界有局部极值：LOCAL MAX：x = -1 LOCAL MIN：x = 1 INFLECTION POINT x = 0没有绝对极值，因为lim_（x rarr + -oo）f（ x）rarr + -oo你可以找到当地的极值，如果有的话。为了找到f（x）极值或临界点，我们必须计算f'（x）当f'（x）= 0 => f（x）时有一个静止点（MAX，min或拐点）。然后我们必须找到：f'（x）> 0 => f（x）增加f'（x）<0 => f（x）正在减小因此：f'（x）= d / dx（5x ^ 7-7x ^ 5-5）= 35x ^ 6-35x ^ 4 + 0 = 35x ^ 4（x ^ 2-1）：。f'（x）= 35x ^ 4（x + 1）（x-1） ）f'（x）= 0颜色（绿色）取消（35）x ^ 4（x + 1）（x-1）= 0 x_1 = 0 x_（2,3）= + - 1 f'（x）> 0 x ^ 4> 0 AAx x + 1> 0 => x> -1 x-1> 0 => x> 1绘制图，你会发现f'（x）> 0 AAx in（-oo， - 1）uu（1，+ oo）f'（x）<0 AAx in（-1,1）：。f（x）增加AA x in（- 阅读更多 »

我们需要在区间[1,4]中找到f（x）的临界值。因此我们计算一阶导数的根，所以我们得到（df）/ dx = 0 => 2x-2 / x ^ 2 = 0 => 2x ^ 2（x-2）= 0 => x = 2所以f（ 2）= 5我们还在端点处找到f的值，因此f（1）= 1 + 2 = 3 f（4）= 16 + 2/4 = 16.5最大函数值在x = 4因此f（4 ）= 16.5是f in [1,4]的绝对最大值。最小函数值是x = 1因此f（1）= 3是f的绝对最小值[1,4] f的图形在[1]中，4]是 阅读更多 »

绝对极值可以发生在边界，局部极值或未定义的点上。让我们在边界x = 3和x = 7上找到f（x）的值。这给了我们f（3）= 1和f（7）= 7/43。然后，通过导数找到局部极值。可以使用商规则找到f（x）= x /（x ^ 2-6）的导数：d / dx（u / v）=（（du）/ dxv-u（dv）/ dx）/ v ^ 2其中u = x且v = x ^ 2-6。因此，f'（x）= - （x ^ 2 + 6）/（x ^ 2-6）^ 2。当f'（x）= 0时发生局部极值，但[3,7]中的x中没有任何地方f'（x）= 0。然后，找到任何未定义的点。但是，对于[3,7]中的所有x，定义了f（x）。因此，它意味着绝对最大值是（3,2），绝对最小值是（7,7 / 43）。 阅读更多 »

在x = 1时绝对最小值为-1，在x = 3时绝对最大值为19。间隔的绝对极值有两个候选者。它们是间隔（此处为0和3）的端点以及位于间隔内的函数的临界值。通过找到函数的导数并找到x的哪个值等于0，可以找到临界值。我们可以使用幂律来找到f（x）= x ^ 3-3x + 1的导数是f'（ X）= 3×^ 2-3。临界值是3x ^ 2-3 = 0时，简化为x = + - 1。但是，x = -1不在区间中，因此此处唯一有效的临界值是x = 1处的临界值。我们现在知道绝对极值可能发生在x = 0，x = 1和x = 3。要确定哪个是哪个，请将它们全部插入到原始函数中。 f（0）= 1 f（1）= - 1 f（3）= 19从这里我们可以看到在x = 1时绝对最小值为-1，在x = 3时绝对最大值为19。检查函数的图形：图形{x ^ 3-3x + 1 [-0.1,3.1，-5,20]} 阅读更多 »

当地的最小值。是-2187/128。全局最小值= -2187 / 128~ = -17.09。全球最大值= 64。对于极值，f'（x）= 0。 F'（X）=（X-2）* 3（X-5）^ 2 +（X-5）^ 3 * 1 =（X-5）^ 2 {3×-6 + X-5] =（4× -11）（X-5）^ 2。 f'（x）= 0 rArr x = 5！在[1,4]中，所以不需要进一步的cosideration&x = 11/4。 f'（x）=（4x-11）（x-5）^ 2，rArr f''（x）=（4x-11）* 2（x-5）+（x-5）^ 2 * 4 = 2（X-5）{4X-11 + 2X-10} = 2（X-5）（6×21）。现在，f''（11/4）= 2（11 / 4-5）（33 / 2-21）= 2（-9/4）（ - 9/2）> 0，表明f（11 / 4）=（11 / 4-2）（11 / 4-5）^ 3 =（3/2）（ - 9/4）^ 3 = -2187 / 128，是局部最小值。为了找到全局值，我们需要f（1）=（1-2）（1-5）^ 3 = 64，&f（4）=（4-2）（4-5）^ 3 = -2。因此，全局最小值= min {局部最小值，f（1），f（4）} = min {-2187 / 128,64，-2} = min {-17.09,64 阅读更多 »

（-4，-381）和（8,2211）为了找到极值，你需要得到函数的导数并找到导数的根。即求解d / dx [f（x）] = 0，使用幂规则：d / dx [6x ^ 3 - 9x ^ 2-36x + 3] = 18x ^ 2-18x-36求解根：18x ^ 2-18x-36 = 0 x ^ 2-x-2 = 0，因子二次方：（x-1）（x + 2）= 0 x = 1，x = -2 f（-1）= -6- 9 + 36 + 3 = 24 f（2）= 48-36-72 + 3 = -57检查界限：f（-4）= -381 f（8）= 2211因此绝对极值是（-4， - 381）和（8,2211） 阅读更多 »

绝对最小值为0（在x = 0时），绝对最大值为1（在x = 1时）。 f'（x）=（（1）（x ^ 2-x + 1） - （x）（2x-1））/（x ^ 2-x + 1）^ 2 =（1-x ^ 2）/ （x ^ 2-x + 1）^ 2 f'（x）永远不是未定义的，并且在x = -1（不在[0,3]中）和x = 1时为0。测试间隔的端点和间隔中的临界数，我们发现：f（0）= 0 f（1）= 1 f（3）= 3/7因此，绝对最小值为0（在x = 0时）绝对最大值为1（在x = 1时）。 阅读更多 »

检查下面的答案对于x = 0我们有f（0）-e ^（ - f（0））= - 1我们考虑一个新函数g（x）= xe ^（ - x）+ 1，xinRR g（0 ）= 0，g'（x）= 1 + e ^（ - x）> 0，xinRR结果g在RR中增加。因此，因为它严格增加g是“1-1”（一对一）所以，f（0）-e ^（ - f（0））+ 1 = 0 <=> g（f（0））= g（ 0）<=> f（0）= 0我们需要显示x / 2 ^（x> 0）1/2 1/2 <（F（X）-f（0））/（X-0）阅读更多 »

见下文我不是100％肯定这一点，但这将是我的答案。偶函数的定义是f（-x）= f（x）因此，f（-a）= f（a）。由于f（a）是连续的并且f（-a）= f（a），因此f（-a）也是连续的。 阅读更多 »

Dy / dx = tanh（lnx）/ x - tanx我喜欢将问题设置为y，如果它还没有。此外，它将帮助我们的情况使用对数属性重写问题; y = ln（cosh（lnx））+ ln（cosx）现在我们进行两次替换以使问题更容易阅读;让我们说w = cosh（lnx）和u = cosx now; y = ln（w）+ ln（u）啊，我们可以使用这个:)让我们采用相对于双方x的导数。 （因为我们的变量都不是x，这将是隐式微分）d / dx * y = d / dx * ln（w）+ d / dx * ln（u）嗯，我们知道lnx的导数是1 / x并使用我们得到的连锁规则; dy / dx = 1 / w *（dw）/ dx + 1 / u *（du）/ dx那么让我们回到u和w找到它们的衍生物（du）/ dx = d / dxcosx = -sinx和（dw ）/ dx = d / dxcosh（lnx）= sinh（lnx）* 1 / x（使用链式规则）将我们新发现的衍生物和u重新插入到dy / dx中我们得到; dy / dx = 1 / cosh（lnx）* sinh（lnx）/ x + 1 / cosx * -sinx dy / dx = sinh（lnx）/（xcosh（lnx）） - sinx / cosx dy / dx = tanh（lnx ）/ x - tanx如果可以进一步简化，我还没有学会如何。我希望这有帮助:) 阅读更多 »

E ^ sqrt（x）/（2sqrt（x））这里的替换会有很大的帮助！让我们说x ^（1/2）= u now，y = e ^ u我们知道e ^ x的导数是e ^ x so; dy / dx = e ^ u *（du）/ dx使用链规则d / dx x ^（1/2）=（du）/ dx = 1/2 * x ^（ - 1/2）= 1 /（ 2sqrt（x））现在将（du）/ dx和u插回到等式中：D dy / dx = e ^ sqrt（x）/（2sqrt（x）） 阅读更多 »

（1,1）和（1，-1）是转折点。 y ^ 3 + 3xy ^ 2-x ^ 3 = 3使用隐式分化，3y ^ 2times（dy）/（dx）+ 3xtimes2y（dy）/（dx）+ 3y ^ 2-3x ^ 2 = 0（dy）/ （dx）（3y ^ 2 + 6xy）= 3x ^ 2-3y ^ 2（dy）/（dx）=（3（x ^ 2-y ^ 2））/（3y（y + 2x））（dy） /（dx）=（x ^ 2-y ^ 2）/（y（y + 2x）对于转折点，（dy）/（dx）= 0（x ^ 2-y ^ 2）/（y（y +） 2x）= 0 x ^ 2-y ^ 2 = 0（xy）（x + y）= 0 y = x或y = -x Sub y = x回到原始方程x ^ 3 + 3x * x ^ 2- x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1因此（1,1）是2个转折点之一Sub y = -x回到原始方程x ^ 3 + 3x *（ - x ）^ 2-x ^ 3 = 3 3x ^ 3 = 3 x ^ 3 = 1 x = 1因此，（1，-1）是另一个转折点根（3）3 = 1 -root（3）3 = - 1所以你错过了转折点（1，-1） 阅读更多 »

（0，-2）是鞍点（-5,3）是局部最小值我们给出g（x，y）= 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y首先，我们需要找到其中（delg）/（delx）和（delg）/（dely）都等于0.（delg）/（delx）= 6x + 6y + 12（delg）/（dely）= 6x + 6y ^ 2-24 6 （x + y + 2）= 0 6（x + y ^ 2-4）= 0 x + y + 2 = 0 x = -y-2 -y-2 + y ^ 2-4 = 0 y ^ 2- y-6 = 0（y-3）（y + 2）= 0 y = 3或-2 x = -3-2 = -5 x = 2-2 = 0临界点出现在（0，-2）和（-5,3）现在用于分类：f（x，y）的行列式由D（x，y）=（del ^ 2g）/（delx ^ 2）（del ^ 2g）/（dely ^ 2）给出） - （（del ^ 2g）/（delxy））^ 2（del ^ 2g）/（delx ^ 2）= del /（delx）（（delg）/（delx））= del /（delx）（6x + 6y + 12）= 6（del ^ 2g）/（dely ^ 2）= del /（dely）（（delg）/（dely））= del /（dely）（6x + 6y ^ 2-24）= 12y（ del ^ 2g）/（delxy）= del /（delx）（（delg）/（dely））= 阅读更多 »

让我们从一些定义开始。如果我们称h为盒子的高度，x为较小的边（因此较大的边是2x，我们可以说体积V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000，我们从中提取hh = 9000 / （2x ^ 2）= 4500 / x ^ 2现在表面（=材料）顶部和底部：2x * x乘以2>面积= 4x ^ 2短边：x * h乘以2->面积= 2xh长边：2x * h次2->面积= 4xh总面积：A = 4x ^ 2 + 6xh代入h A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1为了找到最小值，我们进行微分并将A'设置为0 A'= 8x-27000x ^ -2 = 8x-27000 / x ^ 2 = 0这导致8x ^ 3 = 27000-> x ^ 3 = 3375- > x = 15答案：短边是15英寸长边是2 * 15 = 30英寸高度是4500/15 ^ 2 = 20英寸检查你的答案！15 * 30 * 20 = 9000 阅读更多 »

定义域：f（x）= 2x ^ 2lnx是（0，+ oo）中的区间x。评估函数的一阶和二阶导数：（df）/ dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x（1 + 2lnx）（d ^ 2f）/ dx ^ 2 = 2（1 + 2lnx）+ 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx临界点是以下解：f'（x）= 0 2x（1 + 2lnx）= 0且x> 0：1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt（e）在这一点上：f''（1 / sqrte）= 6-1 / 2 = 11/2> 0所以临界点是局部最小值。鞍点是以下解：f''（x）= 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6并且随着f''（x）单调递增，我们可以得出f（x）的结论）对于x <1 / e ^ 6是向下凹的并且对于x> 1 / e ^ 6图形是向下凹的{2x ^ 2lnx [-0.2943,0.9557，-0.4625,0.1625]} 阅读更多 »

这个函数没有静止点（你确定f（x，y）= 2x ^ 2 +（xy）^ 2 + 5x ^ 2-y / x是你想学习的那个？！）。根据鞍点（非极值的静止点）的最扩散定义，您在RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {（0）的域D =（x，y）中搜索函数的静止点，y）在RR ^ 2}中。我们现在可以用以下方式重写为f给出的表达式：f（x，y）= 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x识别它们的方法是搜索使梯度无效的点f，它是偏导数的向量：nabla f =（（del f）/（del x），（del f）/（del y））由于域是开集，我们不需要搜索对于最终位于边界上的极值，因为开集不包含边界点。所以让我们计算函数的梯度：nabla f（x，y）=（14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2,2x ^ 2y-1 / x）当同时满足以下等式时，这是null：14x + 2xy ^ 2 + y / x ^ 2 = 0 2x ^ 2y = 1 / x我们可以将第二个转换为y = 1 /（2x ^ 3）并将其替换为第一个得到14x + 2x（1 /（2x） ^ 3））^ 2 +（1 /（2x ^ 3））/ x ^ 2 = 0 14x + 1 /（2x ^ 5）+ 1 /（2x ^ 5）= 0 14x ^ 6 + 1 = 0这可以不满足RR中的x，因此域上的渐变永远不会为空。这意味着该功能没有静止点！ 阅读更多 »

{:(“临界点”，“结论”），（（0,0），“min”），（（ - 1，-2），“saddle”），（（ - 1,2），“saddle” ），（（ - 5 / 3,0），“max”）：}识别z = f（x，y）极值的理论是：同时求解临界方程（部分f）/（部分x）= （部分f）/（部分y）= 0 （即z_x = z_y = 0）在每个关键点评估f_（xx），f_（yy）和f_（xy）（= f_（yx）） 。因此，在每个点处评估Delta = f_（x x）f_（yy）-f_（xy）^ 2确定极值的性质; {:( Delta> 0，“如果”f_（xx）<0则有最小值，（，“如果”f_（yy）> 0则为最大值），（Delta <0，“有一个鞍点”） ，（Delta = 0，“进一步分析是必要的”）：}所以我们得到：f（x，y）= 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2让我们找到第一个偏导数:(部分f）/（部分x）= 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x（部分f）/（部分y）= 2xy + 2y所以我们的临界方程是：6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 2xy + 2y = 0从第二个方程我们得到：2y（x + 1）= 0 => x = -1，y = 0次x = -1进入第一个方程式得到：6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + 阅读更多 »

我们有：f（x，y）= 6sin（-x）sin ^ 2（y） = = -6sinxsin ^ 2y步骤1 - 找到偏导数我们计算偏导数通过区分wrt一个变量来表示两个或多个变量的函数，而其他变量则被视为常数。因此：第一个导数是：f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx（2sinycosy） = -6sinxsin2y第二个导数（引用）是：f_（xx）= 6sinxsin ^ 2y f_（yy）= -6sinx（ 2cos2y） = -12sinxcos2y第二部分交叉导数是：f_（xy）= -6cosxsin2y f_（yx）= -6cosx（2sinycosy） = -6cosxsin2y注意第二部分交叉导数是由于f（x，y）的连续性而相同。步骤2 - 识别临界点在f_x = f_y = 0的同时解决方案中发生临界点iff（部分f）/（部分x）=（部分f）/（部分y）= 0即，何时：{：（f_x = -6cosxsin ^ 2y，= 0，... [A]），（f_y = -6sinxsin2y，= 0，... [B]）：}}同时考虑方程[A] -6cosxsin ^ 2y = 0然后我们有两个解决方案：cosx = 0 => x = + - pi / 2 sin y = 0 => y = 0，+ - pi现在让我们使用Eq [B]找到相应的坐标：x = + -pi / 2 => s 阅读更多 »

X = pi / 2且y = pi x = pi / 2且y = -pi x = -pi / 2且y = pi x = -pi / 2且y = -pi x = pi且y = pi / 2 x = pi和y = -pi / 2 x = -pi和y = pi / 2 x = -pi和y = -pi / 2要找到2变量函数的临界点，需要计算梯度，是关于每个变量的衍生物的矢量：（d / dx f（x，y），d / dy f（x，y））因此，我们有d / dx f（x，y）= 6cos（x ）sin（y），类似地d / dy f（x，y）= 6sin（x）cos（y）。为了找到临界点，梯度必须是零向量（0,0），这意味着求解系统{（6cos（x）sin（y）= 0），（6sin（x）cos（y）= 0）：}当然我们可以简化摆脱6的：{（cos（x）sin（y）= 0），（sin（x）cos（y）= 0）：}这个系统解决了选择xa点湮灭余弦，ya点湮灭正弦，反之亦然，所以x = pm pi / 2，y = pm pi，反之亦然x = pm pi和y = pm pi / 2 ，共获得8分。 阅读更多 »

{0,0}鞍点{0，-2}局部最大值f（x，y）= e ^ y（y ^ 2-x ^ 2）所以通过求解grad f（x，y）=确定sationary点vec 0或{（-2 e ^ yx = 0），（2 e ^ yy + e ^ y（-x ^ 2 + y ^ 2）= 0）：}给出两个解（（x = 0，y = 0） ），（x = 0，y = -2））这些点使用H = grad（grad f（x，y））或H =（（ - 2 e ^ y，-2 e ^ yx），（ - 2 e ^ yx，2 e ^ y + 4 e ^ yy + e ^ y（-x ^ 2 + y ^ 2）））所以H（0,0）=（（-2,0），（0,2） ））具有特征值{-2,2}。此结果将点{0,0}限定为鞍点。 H（0，-2）=（（ - 2 / e ^ 2,0），（0，-2 / e ^ 2））具有特征值{-2 / e ^ 2，-2 / e ^ 2}。此结果将点{0，-2}限定为局部最大值。在感兴趣点附近附加f（x，y）等值线图 阅读更多 »

点（0,0），（1,0）和（0,1）是鞍点。点（1 / 3,1 / 3）是局部最大点。我们可以将f展开为f（x，y）= xy-x ^ 2y-xy ^ 2。接下来，找到偏导数并将它们设置为零。 frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y（1-2x-y）= 0 frac { partial f} { partial y} = xx ^ 2-2xy = x（1-x-2y）= 0显然，（x，y）=（0,0），（1,0）和（0,1）是该系统的解，因此f的关键点。可以从系统1-2x-y = 0,1-x-2y = 0找到另一种解决方案。用x来求解y的第一个等式得到y = 1-2x，可以插入第二个等式得到1-x-2（1-2x）= 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3进行。由此，y = 1-2（1/3）= 1-2 / 3 = 1/3。为了测试这些关键点的性质，我们找到了二阶导数： frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y， frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x， frac { partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2} f} { partial y partial X} = 1 阅读更多 »

鞍点位于{x = -63 / 725，y = -237/725}。确定静止点是求解{x，y} grad f（x，y）=（（9 + 2 x + 27 y） ），（3 + 27 x + 2 y））= vec 0得到结果{x = -63 / 725，y = -237/725}这个静止点的限定是在观察到相关的charasteristic多项式的根之后完成的。到它的Hessian矩阵。得到Hessian矩阵H = grad（grad f（x，y））=（（2,27），（27,2）），其中charasteristic多项式p（lambda）= lambda ^ 2-“trace”（H） lambda + det（H）= lambda ^ 2-4 lambda-725求解lambda我们得到lambda = {-25,29}，它们是非零的，具有表征鞍点的相反符号。 阅读更多 »

我发现没有鞍点，但有一个最小值：f（1/3，-2 / 3）= -1/3为了找到极值，取x和y的偏导数来看看两个偏导数是否都可以同时等于0.（（delf）/（delx））_ y = 2x + y（（delf）/（dely））_ x = x + 2y + 1如果它们同时必须等于0，则它们形成一个方程组：2（ 2x + y + 0 = 0）x + 2y + 1 = 0这个线性方程组，当减去抵消y时，给出：3x - 1 = 0 =>颜色（绿色）（x = 1/3）=> 2（1/3）+ y = 0 =>颜色（绿色）（y = -2/3）由于方程是线性的，因此只有一个临界点，因此只有一个极值。二阶导数将告诉我们它是最大值还是最小值。 （（del ^ 2f）/（delx ^ 2））_ y =（（del ^ 2f）/（dely ^ 2））_ x = 2这些第二部分是一致的，因此图形沿x和y向上凹轴。临界点的f（x，y）值是（通过插回原方程）：颜色（绿色）（f（1/3，-2 / 3））=（1/3）^ 2 + （1/3）（ - 2/3）+（ - 2/3）^ 2 +（ - 2/3）= 1/9 - 2/9 + 4/9 - 6/9 =颜色（绿色）（ - 1/3）因此，我们有最小的颜色（蓝色）（f（1/3，-2 / 3）= -1/3）。现在，对于交叉导数来检查可能沿对角线方向的任何鞍点：（（del ^ 2f）/（delxdely））_（y，x）=（（de 阅读更多 »

V = pi-1 / 4pi ^ 2通过围绕x轴旋转函数f来求出实体体积的公式为V = int_a ^ bpi [f（x）] ^ 2dx因此对于f（x）= cotx，pi“/”4和pi“/”2之间的旋转实体的体积是V = int_（pi“/”4）^（pi“/”2）pi（cotx）^ 2dx = piint_（pi “/” 4）^（PI “/” 2）婴 儿床^ 2xdx = piint_（PI “/” 4）^（PI “/” 2）CSC ^ 2X-1DX = -pi [cotx + X] _（PI” / “4）^（PI”/“2）= - PI（（0-1）+（PI / 2-π/ 4））= PI-1 / 4PI ^ 2 阅读更多 »

鞍点在原点。我们有：f（x，y）= x ^ 2y -y ^ 2x因此我们推导出偏导数。请记住，当部分区分时，我们将有问题的变量区分开来，同时将其他变量视为常数。所以:(部分f）/（部分x）= 2xy-y ^ 2 和 （部分f）/（部分y）= x ^ 2-2yx在极值或鞍点我们有:(部分f）/（部分x）= 0 和 （部分f）/（部分y）= 0 同时：即同时解：2xy-y ^ 2 = 0 => y（ 2x-y）= 0 => y = 0，x = 1 / 2y x ^ 2-2yx = 0 => x（x-2y）= 0 => x = 0，x = 1 / 2y因此只有一个原点的临界点（0,0）。为了确定临界点的性质，需要多变量泰勒级数的分析员和以下测试结果：Delta =（partial ^ 2 f）/（partial x ^ 2）（partial ^ 2 f）/（partial y ^ 2） - {（部分^ 2 f）/（部分x部分y）} ^ 2 <0 =>鞍点因此我们计算第二偏导数:(部分^ 2f）/（部分x ^ 2）= 2y ; （partial ^ 2f）/（partial y ^ 2）= -2x 和 （partial ^ 2 f）/（partial x partial y）= 2x-2y所以当x = 0时，y = 0我们得到：Delta =（0）（0） - {0-0} ^ 2 = 0这意味着标准鞍座 阅读更多 »

点（x，y）=（（27/2）^（1/11），3 *（2/27）^ {4/11}）约（1.26694,1.16437）是局部最小点。一阶偏导数是（部分f）/（部分x）= y-3x ^ { - 4}和（部分f）/（部分y）= x-2y ^ { - 3}。将这两者设置为等于零导致系统y = 3 / x ^（4）并且x = 2 / y ^ {3}。将第一个等式代入第二个等式给出x = 2 /（（3 / x ^ {4}）^ 3）=（2x ^ {12}）/ 27。由于f域中的x！= 0，这导致x ^ {11} = 27/2和x =（27/2）^ {1/11}，因此y = 3 /（（27/2）^ {4/11}）= 3 *（2/27）^ {4/11}二阶偏导数是（部分^ {2} f）/（部分x ^ {2}）= 12x ^ { - 5 }，（partial ^ {2} f）/（partial y ^ {2}）= 6y ^ { - 4}，（partial ^ {2} f）/（partial x partial y）=（partial ^ {2} f）/（部分y部分x）= 1。因此判别式为D =（partial ^ {2} f）/（partial x ^ {2}）*（partial ^ {2} f）/（partial y ^ {2}） - （（partial ^ {2} f ）/（部分x部分y））^ {2} = 72x ^ { - 5} y ^ { - 4} - 阅读更多 »

在（3,3,27）有一个极值我们有：f（x，y）= xy + 27 / x + 27 / y因此我们推导出偏导数:(部分f）/（部分x）= y - 27 / x ^ 2 和 （部分f）/（部分y）= x - 27 / y ^ 2在极值或鞍点处我们有:(部分f）/（部分x）= 0 和 （部分f）/（部分y）= 0 同时：即同时解：y - 27 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2y = 27 x - 27 / y ^ 2 = 0 => xy ^ 2 = 27减去这些方程给出： x ^ 2y-xy ^ 2 = 0 :. xy（x-y）= 0 :. X = 0; Y = 0; x = y我们可以消除x = 0; y = 0，因此x = y是唯一有效的解，导致：x ^ 3 = 27 => x = y = 3并且x = y = 3，我们得到：f（3,3）= 9+ 9 + 9 = 27因此在（3,3,27）处只有一个临界点可以在该图（包括切平面）上看到 阅读更多 »

（0,0）是鞍点（1 / sqrt 2,1 / sqrt 2）和（-1 / sqrt 2，-1 / sqrt 2）是局部最大值（1 / sqrt 2，-1 / sqrt 2）和（-1 / sqrt 2,1 / sqrt 2）是局部最小值（0，pm 1 / sqrt 2）和（pm 1 / sqrt 2,0）是拐点。对于在（x_0，y_0）处具有静止点的一般函数F（x，y），我们得到泰勒级数展开式F（x_0 + xi，y_0 + eta）= F（x_0，y_0）+ 1 /（2！） （F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta）+ ldots对于函数f（x）= xy e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}我们有（del f）/（del x）= ye ^ { - x ^ 2-y ^ 2} + xy（-2x）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2} qquad = y（1-2x ^ 2） e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}（del f）/（del y）= xe ^ { - x ^ 2-y ^ 2} + xy（-2y）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2} qquad = x（1-2y ^ 2）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}很容易看出两个一阶导数在下面的ponrs（0,0）（0，pm 1）消失/ sqrt2）（pm 1 / sqrt2,0）（pm 1 / sqrt2，pm 1 阅读更多 »

我们有：f（x，y）= xy + e ^（ - x ^ 2-y ^ 2）步骤1 - 找到偏导数我们通过对一个变量进行微分来计算两个或多个变量函数的偏导数，而其他变量则视为常数。因此：第一个导数是：f_x = y + e ^（ - x ^ 2-y ^ 2）（ - 2x） = y -2x e ^（ - x ^ 2-y ^ 2）f_y = x + e ^（ - x ^ 2-y ^ 2）（ - 2y） = x -2y e ^（ - x ^ 2-y ^ 2）二阶导数（引用）是：f_（xx）= -2e ^（ - x ^ 2-y ^ 2）+ 4x ^ 2e ^（ - x ^ 2-y ^ 2）f_（yy）= -2e ^（ - x ^ 2-y ^ 2）+ 4y ^ 2e ^（ -x ^ 2-y ^ 2）第二部分交叉导数是：f_（xy）= 1 + 4xye ^（ - x ^ 2-y ^ 2）f_（yx）= 1 + 4xye ^（ - x ^ 2 -y ^ 2）注意，由于f（x，y）的连续性，第二部分交叉导数是相同的。步骤2 - 识别临界点在f_x = f_y = 0的同时解决方案中发生临界点iff（部分f）/（部分x）=（部分f）/（部分y）= 0即，何时：{：（f_x = y -2x e ^（ - x ^ 2-y ^ 2），= 0，... [A]），（f_y = x -2y e ^（ - x ^ 2-y ^ 2），= 0， ...... [B]）：}}我 阅读更多 »

{:(“临界点”，“结论”），（（0,0,0），“马鞍”）：}识别z = f（x，y）极值的理论是：同时求解临界方程（部分f）/（部分x）=（部分f）/（部分y）= 0 （即f_x = f_y = 0）评估f_（xx），f_（yy）和f_（xy）（= f_ （yx））在这些关键点的每一个。因此，在每个点处评估Delta = f_（x x）f_（yy）-f_（xy）^ 2确定极值的性质; {:( Delta> 0，“如果”f_（xx）<0则有最小值，（，“如果”f_（yy）> 0则为最大值），（Delta <0，“有一个鞍点”） ，（Delta = 0，“进一步分析是必要的”）：}所以我们有：f（x，y）= xy（e ^（y ^ 2）-e ^（x ^ 2））“”= xye ^（ y ^ 2） - xye ^（x ^ 2）让我们找到第一个偏导数:(部分f）/（部分x）= ye ^（y ^ 2）+ {（-xy）（2xe ^（x ^ 2） ））+（ - y）（e ^（x ^ 2））} = ye ^（y ^ 2）-2x ^ 2ye ^（x ^ 2）-ye ^（x ^ 2） （部分f）/（部分y）= {（xy）（2ye ^（y ^ 2））+（x）（e ^（y ^ 2））} - xe ^（x ^ 2） = 2xy ^ 2e ^（y ^ 2）+ xe ^（y ^ 2） - xe ^（x ^ 2）所以我们的临界方程是：y 阅读更多 »

始终以间隔内的功能草图开始。在区间[1,6]上，图形如下所示：从图中可以看出，函数从1增加到6.因此，没有局部最小值或最大值。但是，绝对极值将存在于区间的终点：绝对最小值：f（1）= 11绝对最大值：f（6）= 1/216 + 60 ~~ 60.005希望有帮助 阅读更多 »

在区间[-2,4]，x = -1时全局最小值为2，x = 4时全局最大值为27。全局极值可能发生在两个位置之一的间隔：端点或区间内的临界点。我们必须测试的端点是x = -2和x = 4。要找到任何临界点，找到导数并将其设置为0. f（x）= 2 +（x ^ 2 + 2x + 1）= x ^ 2 + 2x + 3通过幂规则，f'（x） = 2x + 2设置等于0,2x + 2 = 0“”=>“”x = -1 x = -1处有一个临界点，这意味着它也可能是一个全局极值。测试我们发现的三个点找到间隔的最大值和最小值：f（-2）= 2 +（ - 2 + 1）^ 2 = 3 f（-1）= 2 +（ - 1 + 1） ^ 2 = 2 f（4）= 2 +（4 + 1）^ 2 = 27因此，在区间[-2，x = -1时全局最小值为2，x = 4时全局最大值为27， 4]。 阅读更多 »

F（x）在x = 1时的绝对最大值为-1 f（x）= -2x ^ 2 + 4x-3 f（x）在[-oo，+ oo]上是连续的，因为f（x）是抛物线如果x ^ 2中的项具有-ve系数，则f（x）将具有单个绝对最大值，其中f'（x）= 0 f'（x）= -4x + 4 = 0 - > x = 1 f（ 1）= -2 + 4-3 = -1因此：f_max =（1，-1）这个结果可以在下面的f（x）图上看到：图{-2x ^ 2 + 4x-3 [-2.205 ，5.59，-3.343,0.554]} 阅读更多 »

X_1 = -2是最大值x_2 = 1/3是最小值。首先，我们通过将一阶导数等于零来识别临界点：f'（x）= 6x ^ 2 + 10x -4 = 0给出：x = frac（-5 + - sqrt（25 + 24））6 =（ -5 + - 7）/ 6 x_1 = -2和x_2 = 1/3现在我们研究临界点周围的二阶导数的符号：f''（x）= 12x + 10，这样：f''（ - 2）<0即x_1 = -2是最大f''（1/3）> 0，即x_2 = 1/3是最小值。图{2x ^ 3 + 5x ^ 2-4x-3 [-10,10,10,10]} 阅读更多 »

域上的绝对最小值出现在大约。 （pi / 2,3.7124），域上的绝对最大值出现在大约。 （3pi / 4,5.6544）。没有当地的极端情况。在我们开始之前，我们应该分析并查看sin x在间隔的任何点上是否取值为0。对于所有x，sin x为零，使得x = npi。 pi / 2和3pi / 4都小于pi且大于0pi = 0;因此，sin x在这里不具有零值。为了确定这一点，回想一下极端发生在f'（x）= 0（临界点）或其中一个端点处。考虑到这一点，我们取上述f（x）的导数，找到这个导数等于0（df）/ dx = d / dx（3x） - d / dx（1 / sin x）= 3 - d的点/ dx（1 / sinx）我们应该如何解决这个最后一个学期？简要考虑一下互惠规则，该规则是为处理我们上一个术语d /（dx）（1 / sin x）等情况而开发的。相互规则允许我们直接使用链或商规则绕过给定可微函数g（x）：d / dx 1 / g（x）=（-g'（x））/（（g（x ））^ 2当g（x）！= 0回到我们的主方程时，我们离开了; 3 - d / dx（1 / sin x）。由于sin（x）是可微的，我们可以在这里应用倒数规则：3 - d / dx（1 / sin x）= 3 - （-cos x）/ sin ^ 2x设置此值等于0，我们得出：3 + cos x / sin ^ 2x = 0.这只能在cos x / sin 阅读更多 »

F（x）在x = 2处具有最小值在继续之前，请注意这是一个向上的抛物线，这意味着我们可以在不进一步计算的情况下知道它将没有最大值，并且在其顶点处具有单个最小值。完成正方形将向我们显示f（x）= 3（x- 2）^ 2 + 1，给出顶点，因此在x = 2时给出唯一的最小值。让我们看看如何使用微积分来完成。任何极值都将发生在给定间隔的临界点或端点处。由于我们给定的（-oo，oo）间隔是开放的，我们可以忽略端点的可能性，因此我们将首先确定函数的关键点，即函数的导数为0的点或者不存在。 f'（x）= d / dx（3x ^ 2-12x + 13）= 6x-12设置此值等于0，我们在x = 2时发现临界点6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2现在，我们可以通过检查该点周围的f值或使用二阶导数测试来测试它是否是极值（以及什么类型）。我们用后者吧。 （d ^ 2x）/（dx ^ 2）= d / dx（6x-12）= 6当f''（2）= 6> 0时，二阶导数测试告诉我们f（x）具有局部最小值x = 2因此，使用f'（x）和f''（x），我们发现f（x）在x = 2处具有最小值，与我们使用代数发现的结果相匹配。 阅读更多 »

让我们来看看。令给定的函数为y，使得rarr y = f（x）= - x ^ 2 + 2x + 3现在区分wrt x：dy / dx = -2x + 2现在二阶导数是：（d ^ 2y）/ dx ^ 2 = -2现在，二阶导数是负的。因此，该函数只有极值而且没有最小值。因此，最大值的点是-2。函数的最大值是f（-2）。希望能帮助到你：） 阅读更多 »

让我们来看看。让给定的函数为y，使得rarr为给定范围内的任何x值。 y = f（x）= - 3x ^ 2 + 30x-74：.dy / dx = -6x + 30：。（d ^ 2y）/ dx ^ 2 = -6现在，由于函数的二阶导数是否定，f（x）的值将是最大值。因此，只能获得最大值或极值点。现在，无论是最大值还是最小值，dy / dx = 0：.- 6x + 30 = 0：.6x = 30：.x = 5因此，最大点为5.（答案）。因此，f（x）的最大值或极值是f（5）。 ：.f（5）= - 3.（5）^ 2 + 30.5-74：.f（5）= - 75 + 150-74：.f（5）= 150-149：.f（5）= 1 。希望能帮助到你：） 阅读更多 »

该函数不包含极值。通过商规则找到f'（x）。 f'（x）=（（x ^ 2-1）d / dx（3x）-3xd / dx（x ^ 2-1））/（x ^ 2-1）^ 2 =>（3（x ^ 2） -1）-3x（2x））/（x ^ 2-1）^ 2 =>（ - 3（x ^ 2 + 1））/（x ^ 2-1）^ 2找到函数的转折点。当分子等于0时，函数的导数等于0. f'（x）= 0时出现这些。-3（x ^ 2 + 1）= 0 x ^ 2 + 1 = 0 x ^ 2 = -1 f' （x）永远不等于0.因此，该函数没有极值。图{（3x）/（x ^ 2-1）[ - 25.66,25.66，-12.83,12.83]} 阅读更多 »

该函数在x = 3处具有最小值，其中f（3）= - 35 f（x）= 4x ^ 2-24x + 1第一导数给出了特定点处的线的梯度。如果这是一个静止点，则该值为零。 f'（x）= 8x-24 = 0：.8x = 24 x = 3要查看我们所拥有的静止点类型，我们可以测试一阶导数是增加还是减少。这是由二阶导数的符号给出的：f''（x）= 8因为这是+ ve，所以一阶导数必须增加，表示f（x）的最小值。 graph {（4x ^ 2-24x + 1）[ - 20,20，-40,40]}这里f（3）= 4xx3 ^ 2-（24xx3）+ 1 = -35 阅读更多 »

最大值x = 1且Min x = 0取原函数的导数：f'（x）= 18x-18x ^ 2设置等于0，以便找出导数函数从正变为负的位置，这将告诉我们原始函数何时将其斜率从正变为负。 0 = 18x-18x ^ 2因子a 18x来自等式0 = 18x（1-x）x = 0,1创建一条线并绘制值0和1输入0之前，0之后，1之前和之后的值1然后指出线图的哪些部分是正的，哪些是负的。如果绘图从负到正（低点到高点），如果它从正到负（从高到低）则是最小值，它是最大值。导数函数中0之前的所有值均为负数。在0之后他们是积极的，在1之后他们是消极的。所以这个图表从低到高变为低，这是0的1低点和1的1高点 阅读更多 »

在间隔上找到临界值（当f'（c）= 0或不存在时）。 f（x）= 64-x ^ 2 f'（x）= - 2x设置f'（x）= 0。 -2x = 0 x = 0并且始终定义f'（x）。要找到极值，请插入端点和关键值。请注意，0符合这两个标准。 f（-8）= 0larr“绝对最小值”f（0）= 64larr“绝对最大值”图{64-x ^ 2 [-8,0，-2,66]} 阅读更多 »

F（x）> 0.最大f（x）isf（0）= 1.x轴在两个方向上渐近f（x）。 f（x）> 0.使用函数规则的函数，y'= - 2xe ^（ - x ^ 2）= 0，在x = 0. y''= - 2e ^（ - x ^ 2）-2x（ - 2x）e ^（ - x ^ 2）= - 2，在x = 0.在x = 0时，y'= 0且y''<0。因此，f（0）= 1是f（x的最大值） ）， 按要求， 。在[-.5，a]中的1，a> 1. x = 0在两个方向上渐近f（x）。 As，xto + -oo，f（x）to0有趣的是，y = f（x）= e ^（ - x ^ 2）的图是缩放的（1单位= 1 / sqrt（2 pi））正态概率曲线，对于正态概率分布，均值= 0，标准差= 1 / sqrt 2 阅读更多 »

在x = 8时绝对最小值为-512，在x = 1/16时绝对最大值为1/32当在一个间隔上找到极值时，它们可能有两个位置：处于临界值或其中一个端点间隔。要找到临界值，找到函数的导数并将其设置为0.由于f（x）= - 8x ^ 2 + x，通过幂规则我们知道f'（x）= - 16x + 1。将此值设置为0会使我们在x = 1/16处有一个临界值。因此，我们对潜在最大值和最小值的位置是x = -4，x = 1/16和x = 8。找到它们的每个函数值：f（-4）= - 8（-4）^ 2-4 = ul（-132）f（1/16）= - 8（1/16）^ 2 + 1/16 = -1 / 32 + 1/16 = ul（1/32）f（8）= - 8（8）^ 2 + 8 = ul（-504）由于最高值是1/32，这是绝对最大值间隔。请注意，最大值本身为1/32，但其位置为x = 1/16。同样，最低值和绝对最小值是-512，位于x = 8。这是f（x）图：你可以看到它的最大值和最小值确实是我们找到的地方。图{-8x ^ 2 + x [-4.1,8.1，-550,50]} 阅读更多 »

X = -3或x = -1 f = e ^ x，g = x ^ 2 + 2x + 1 f'= e ^ x，g'= 2x + 2 f'（x）= fg'+ gf'= e ^ x（2x + 2）+ e ^ x（x ^ 2 + 2x + 1）= 0 e ^ x（2x + 2 + x ^ 2 + 2x + 1）= 0 e ^ x（x ^ 2 + 4x + 3）= 0 e ^ x（x + 3）（x + 1）= 0 e ^ x = 0或x + 3 = 0或x + 1 = 0不可能，x = -3或x = -1 f（ -3）= e ^ -3（9-6 + 1）= 0.199-> max f（-1）= e ^ -1（1-2 + 1）= 0-> min 阅读更多 »

由于f（x）在任何地方都是可微的，只需找到f'（x）= 0 f'（x）= sin（x）-cos（x）= 0的位置求解：sin（x）= cos（x）现在，要么使用单位圆或绘制两个函数的图形来确定它们相等的位置：在区间[0,2pi]上，两个解是：x = pi / 4（最小值）或（5pi）/ 4（最大值）希望这有帮助 阅读更多 »

（3,2）是最低限度。 （1,6）和（6,11）是最大值。当f'（x）= 0时发生相对极值。也就是说，当2x-6 = 0时。即当x = 3时。为了检查x = 3是相对最小值还是最大值，我们观察到f''（3）> 0，因此=> x = 3是相对最小值，即（3，f（3））=（3 ，2）是相对最小值，也是绝对最小值，因为它是二次函数。由于f（1）= 6且f（6）= 11，这意味着（1,6）和（6,11）是区间[1,6]上的绝对最大值。图{x ^ 2-6x + 11 [-3.58,21.73，-0.37,12.29]} 阅读更多 »

相对最大值为（5 / 2,21 / 4）=（2.5,5.25）求一阶导数：f（x）'= -2x + 5求临界数：f'（x）= 0; x = 5/2使用二阶导数测试来查看临界数是否是相对最大值。或相对最小值：f''（x）= -2; f''（5/2）<0;相对最大在x = 5/2找到最大值的y值：f（5/2）= - （5/2）^ 2 + 5（5/2） - 1 = -25/4 + 25/2 -1 = -25/4 + 50/4 - 4/4 = 21/4相对最大值（5 / 2,21 / 4）=（2.5,5.25） 阅读更多 »

该函数在x = 4时具有最小值{x ^ 2-8x + 12 [-10,10,5，-5,5}}给定 - y = x ^ 2-8x + 12 dy / dx = 2x-8 dy / dx = 0 => 2x-8 = 0 x = 8/2 = 4（d ^ 2y）/（dx ^ 2）= 2> 0在x = 4时; dy / dx = 0;（d ^ 2y）/（dx ^ 2）> 0因此函数在x = 4处具有最小值 阅读更多 »

给定函数总是递减，因此既没有最大值也没有最小值。函数的导数是y'=（2x（x ^ 2-3x）-x ^ 2（2x-3））/（x ^ 2-3x）^ 2 = =（取消（2x ^ 3）-6x ^ 2cancel（-2x ^ 3）+ 3x ^ 2）/（x ^ 2-3x）^ 2 =（ - 3x ^ 2）/（x ^ 2-3x） ^ 2和y'<0 AA x in [4; 9]给定函数函数总是递减，因此既没有最大也没有最小图{x ^ 2 /（x ^ 2-3x）+8 [-0.78,17 ，4.795,13.685]} 阅读更多 »

我们在x = 0处具有最小值并且在x = 3处具有拐点。最大值是函数上升然后再次下降的高点。因此，切点的斜率或该点处的导数值将为零。此外，由于最大值左侧的切线将向上倾斜，然后变平然后向下倾斜，切线的斜率将连续减小，即二阶导数的值将为负。另一方面，最小值是函数下降然后再次上升的低点。因此，切线或最小值处的导数值也将为零。但是，由于最小值左侧的切线将向下倾斜，然后变平然后向上倾斜，切线的斜率将不断增加或二阶导数的值将为正。如果二阶导数为零，则我们有一个点。然而，这些最大值和最小值可以是通用的，即整个范围的最大值或最小值，或者可以是局部的，即在有限范围内的最大值或最小值。让我们参考问题中描述的函数来看这一点，为此我们首先区分f（x）=（x ^ 2-9）^ 3 + 10。其一阶导数由f'（x）= 3（x ^ 2-9）^ 2 * 2x = 6x（x ^ 4-18x ^ 2 + 81）= 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x给出。对于x ^ 2-9 = 0或x = + - 3或0，这将为零。其中仅{0,3}在[-1,3}范围内。因此，最大值或最小值出现在点x = 0和x = 3处。为了找出它是最大值还是最小值，让我们看一下f''（x）= 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486的第二个微分，因此当x = 0时，f''（x）= 486并且在x = 3时为正，f''（x）= 2430-29 阅读更多 »

最小值：f（-2）= 1最大值：f（+2）= 9步骤：评估给定域的端点f（-2）=（ - 2）^ 3-2（-2）+5 = -8 + 4 + 5 =颜色（红色）（1）f（+2）= 2 ^ 3-2（2）+5 = 8-4 + 5 =颜色（红色）（9）评估内部任何关键点的功能域名。为此，找到域内的点，其中f'（x）= 0 f'（x）= 3x ^ 2-2 = 0 rarrx ^ 2 = 2/3 rarr x = sqrt（2/3）“或者“x = -sqrt（2/3）f（sqrt（2/3））~~ color（红色）（3.9）（并且，不，我没有用手算出这个）f（-sqrt（2） /3))~color(red)(~6.1）最小{color（red）（1,9,9.9,6.1）} = 1 at x = -2 {color（red）的最大值（1,9,3.9） ，6.1）} = 9 at x = + 2这是用于验证目的的图：图{x ^ 3-2x + 5 [-6.084,6.4,1.095,7.335]} 阅读更多 »

函数的极值是（4.5，-0.25）f（x）=（x-4）（x-5）可以重写为f（x）= x ^ 2 - 5x - 4x + 20 = x ^ 2- 9X + 20。如果你推导出这个函数，你将得到这样的结果：f'（x）= 2x - 9.如果你不是如何推导出这样的函数，请进一步检查描述。你想知道f'（x）= 0的位置，因为这是梯度= 0的地方。把f'（x）= 0; 2x - 9 = 0 2x = 9 x = 4.5然后将此x值放入原始函数中。 f（4.5）=（4.5 - 4）（4.5-5）f（4.5）= 0.5 *（ - 0.5）f（4.5）= -0.25关于如何推导这些类型的函数的过程：将指数乘以基数数字，并将指数减1.例如：f（x）= 3x ^ 3 - 2x ^ 2 - 2x + 3 f'（x）= 3 * 3x ^（3-1） - 2 * 2x ^（2- 1） - 1 * 2x ^（1-1）f'（x）= 9x ^ 2 - 2x - 2x ^ 0 f'（x）= 9x ^ 2 - 2x - 2 阅读更多 »

在区间[0,5]上找到f（x）的临界值。 f'（x）=（（x ^ 2 + 9）d / dx [x] -xd / dx [x ^ 2 + 9]）/（x ^ 2 + 9）^ 2 f'（x）=（x ^ 2 + 9-2x ^ 2）/（x ^ 2 + 9）^ 2 f'（x）= - （x ^ 2-9）/（x ^ 2 + 9）^ 2 f'（x）= 0当x = + - 3时。 f'（x）永远不会定义。要找到极值，请将区间的端点和区间内的任何关键数插入f（x），在这种情况下，只有3. f（0）= 0larr“绝对最小值”f（3）= 1/6larr“绝对最大值”f（5）= 5/36检查图形：图形{x /（x ^ 2 + 9）[ - 0.02,5，-0.02,0.2]} 阅读更多 »

没有绝对的极值，相对极值的存在取决于你对相对极值的定义。 f（x）= x /（x-2）不受限制地增加为右边的xrarr2。那就是：lim_（xrarr2 ^ +）f（x）= oo所以，函数没有绝对最大值[-5,5] f减小而没有作为xrarr2从左边界，所以没有绝对最小值[-5 ，5]。现在，f'（x）=（ - 2）/（x-2）^ 2总是负的，所以，当域为[-5,2）uu（2,5）时，函数会减少[ - 这告诉我们f（-5）是f值的最大值，仅考虑域中的x值。它是单侧相对最大值。并非所有的微积分处理允许单侧相对极值。同样，如果你的方法允许单侧相对极值，那么#f（5）是一个相对最小值。为了帮助可视化，这里是一个图。受限域图是实心的，端点是标记的。自然域图扩展到图片的虚线部分。 阅读更多 »

X = + - pi / 4表示x [ - pi / 2，pi / 2] g（x）= 2sin（2x-pi）+4 g（x）= -2sin（2x）+4对于g的极值（ x），g'（x）= 0 g'（x）= -4cos（2x）g'（x）= 0 -4cos（2x）= 0 cos（2x）= 0 2x = + - pi / 2 x = + -pi / 4表示[-pi / 2，pi / 2]中的x 阅读更多 »

极值在x = + - 1且x = + - sqrt（1/35）h（x）= 7x ^ 5 -12x ^ 3 + x h'（x）= 35x ^ 4 -36x ^ 2 +1因子分解h '（x）并将其等于零，它将是（35x ^ 2 -1）（x ^ 2-1）= 0临界点因此是+ -1，+ -sqrt（1/35）h''（ x）= 140x ^ 3-72x对于x = -1，h''（x）= -68，因此对于x = 1，h ='（x）= 68，在x = -1处将存在最大值，因此对于x = sqrt（1/35），x = 1会有一个最小值，h''（x）= 0.6761-12.1702 = - 11.4941，因此此时x =#-sqrt（1）会有一个最大值/ 35），h''（x）= -0.6761 + 12.1702 = 11.4941，因此此时会有一个最小值。 阅读更多 »

最小值为（1/4，-27 / 256），最大值为（1,0）y = x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2-x dy / dx = 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x -1对于静止点，dy / dx = 0 4x ^ 3-9x ^ 2 + 6x-1 = 0（x-1）（4x ^ 2-5x + 1）= 0（x-1）^ 2（4x- 1）= 0 x = 1或x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 12x ^ 2-18x + 6测试x = 1 d ^ 2y / dx ^ 2 = 0因此，可能的水平拐点（in这个问题，你不需要找出它是否是一个水平拐点）测试x = 1/4 d ^ 2y / dx ^ 2 = 9/4> 0因此，x = 1/4时最小和凹陷现在，找到x截距，让y = 0（x ^ 3-x）（x-3）= 0 x（x ^ 2-1）（x-3）= 0 x = 0，+ - 1,3找到y-intercepts，让x = 0 y = 0（0,0）graph {x ^ 4-3x ^ 3 + 3x ^ 2-x [-10,10,5，-5,5}}从图中，你可以看到最小值是（1/4，-27 / 256），最大值是（1,0） 阅读更多 »

答案是：y''=（ - x ^ 3cosx + 3x ^ 4sinx + 6xcosx-6sinx）/ x ^ 4。这就是为什么：y'=（（（cosx + x *（ - sinx）-cosx）x ^ 2-（xcosx-sinx）* 2x））/ x ^ 4 = =（ - x ^ 3sinx-2x ^ 2cosx + 2xsinx）/ x ^ 4 = =（ - x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx）/ x ^ 3 y''=（（ - 2xsinx-x ^ 2cosx-2cosx-2x（-sinx）+ 2cosx）x ^ 3-（ -x ^ 2sinx-2xcosx + 2sinx）* 3x ^ 2）/ x ^ 6 = =（（ - x ^ 2cosx）x ^ 3 + 3x ^ 4sinx + 6x ^ 3cosx-6x ^ 2sinx）/ x ^ 6 = =（ -x ^ 3cosx + 3×^ 4sinx + 6xcosx-6sinx）/ X ^ 4。 阅读更多 »

我们将f重写为f（x）= 2x ^ 7 *（1-1 / x ^ 2）但是lim_（x-> oo）f（x）= oo因此没有全局极值。对于局部极值，我们找到其中（df）/ dx = 0 f'（x）= 0 => 14x ^ 6-10x ^ 4 = 0 => 2 * x ^ 4 *（7 * x ^ 2-5）的点）= 0 => x_1 = sqrt（5/7）和x_ 2 = -sqrt（5/7）因此我们在x = -sqrt（5/7）处的局部最大值是f（-sqrt（5/7）） = 100/343 * sqrt（5/7），x = sqrt（5/7）的局部最小值为f（sqrt（5/7））= - 100/343 * sqrt（5/7） 阅读更多 »

局部极值是（0,6）和（1 / 3,158 / 27），全局极值是+ -oo我们使用（x ^ n）'= nx ^（n-1）让我们找到一阶导数f'（ x）= 24x ^ 2-8x对于局部极值f'（x）= 0所以24x ^ 2-8x = 8x（3x-1）= 0 x = 0且x = 1/3所以让我们做一个符号xcolor的图表（白色）（aaaaa）-colocolor（白色）（aaaaa）0color（白色）（aaaaa）1/3color（白色）（aaaaa）+ oo f'（x）颜色（白色）（aaaaa）+颜色（白色）（ aaaaa）-color（白色）（aaaaa）+ f（x）颜色（白色）（aaaaaa）uarrcolor（白色）（aaaaa）darrcolor（白色）（aaaaa）uarr所以在点（0,6）我们有一个本地最大值和at（1 / 3,158 / 27）我们有一个点拐点f''（x）= 48x-8 48x-8 = 0 => x = 1/6 limitf（x）= - oo xrarr-oo limitf（x）= + oo xrarr + oo graph {8x ^ 3-4x ^ 2 + 6 [-2.804,3.19,4.285,7.28]} 阅读更多 »

F（x）的绝对最小值为（-1.0）f（x）的局部最大值为（-3,4e ^ -3）f（x）= e ^ x（x ^ 2 + 2x + 1） f'（x）= e ^ x（2x + 2）+ e ^ x（x ^ 2 + 2x + 1）[乘积规则] = e ^ x（x ^ 2 + 4x + 3）对于绝对或局部极值： f'（x）= 0那就是：e ^ x（x ^ 2 + 4x + 3）= 0因为e ^ x> 0 forall x in RR x ^ 2 + 4x + 3 = 0（x + 3）（ x-1）= 0 - > x = -3或-1 f''（x）= e ^ x（2x + 4）+ e ^ x（x ^ 2 + 4x + 3）[产品规则] = e ^ x（x ^ 2 + 6x + 7）同样，由于e ^ x> 0，我们只需要在极值点处测试（x ^ 2 + 6x + 7）的符号，以确定该点是最大值还是最小值。 f''（ - 1）= e ^ -1 * 2> 0 - > f（-1）是最小值f''（ - 3）= e ^ -3 *（ - 2）<0 - > f（ - 3）是最大值考虑到下面的f（x）的图表，很清楚f（-3）是局部最大值而f（-1）是绝对最小值。图{e ^ x（x ^ 2 + 2x + 1）[-5.788,2.005，-0.658,3.24]}最后，评估极 阅读更多 »

（0,0）是局部最小值，（4 / 3,32 / 27）是局部最大值。没有全球极端。首先将括号相乘以使区分更容易，并以y = f（x）= 2x ^ 2-x ^ 3的形式得到函数。当导数f'（x）= 0时，即当4x-3x ^ 2 = 0时，=> x（4-3x）= 0 => x = 0或x =时出现局部或相对极值或转折点4/3。因此f（0）= 0（2-0）= 0和f（4/3）= 16/9（2-4 / 3）= 32/27。由于二阶导数f''（x）= 4-6x的值为f''（0）= 4> 0且f''（4/3）= - 4 <0，因此暗示（0,0） ）是局部最小值，（4 / 3,32 / 27）是局部最大值。全局或绝对最小值是-oo，全局最大值是oo，因为函数是无界的。函数图验证所有这些计算：图{x ^ 2（2-x）[-7.9,7.9，-3.95,3.95]} 阅读更多 »

局部：x = -2,0,2全局：（-2，-32），（2,32）要找到极值，只需找到f'（x）= 0或未定义的点。所以：d / dx（x ^ 3 + 48 / x）= 0为了使这成为一个幂规则问题，我们将48 / x重写为48x ^ -1。现在：d / dx（x ^ 3 + 48x ^ -1）= 0现在，我们只取这个导数。我们最终得到：3x ^ 2 - 48x ^ -2 = 0再次从负指数到分数：3x ^ 2 - 48 / x ^ 2 = 0我们已经可以看到我们的一个极值会发生在哪里：f'（x由于48 / x ^ 2，在x = 0时未定义。因此，这是我们的极端之一。接下来，我们解决其他问题。首先，我们将两边乘以x ^ 2，只是为了摆脱分数：3x ^ 4 - 48 = 0 => x ^ 4 - 16 = 0 => x ^ 4 = 16 => x =±2我们有3个极值发生的地方：x = 0,2，-2。为了弄清楚我们的全局（或绝对）极值是什么，我们将它们插入到原始函数中：因此，我们的绝对最小值是点（-2，-32），而我们的绝对最大值是（2，-32）。希望有帮助:) 阅读更多 »

该函数没有全局极值。它的局部最大值为f（（ - 4-sqrt31）/ 3）=（308 + 62sqrt31）/ 27，局部最小值为f（（ - 4 + sqrt31）/ 3）=（308-62sqrt31）/ 27 For f（x）= x ^ 3 + 4x ^ 2 - 5x，lim_（xrarr-oo）f（x）= - oo所以f没有全局最小值。 lim_（xrarroo）f（x）= oo所以f没有全局最大值。 f'（x）= 3x ^ 2 + 8x-5永远不是未定义的，并且在x =（ - 4 + -sqrt31）/ 3时为0对于远离0的数字（正和负），f'（x）为正。对于（（-4-sqrt31）/ 3，（ - 4 + sqrt31）/ 3）中的数字，3f'（x）为负。当我们移过x =（ - 4-sqrt31）/ 3时，f'（x）的符号从+变为 - 所以f（（ - 4-sqrt31）/ 3）是局部最大值。当我们移过x =（ - 4 + sqrt31）/ 3时，f'（x）的符号从 - 变为+，因此f（（ - 4 + sqrt31）/ 3）是局部最小值。通过算术来得到答案：f的局部最大值为f（（ - 4-sqrt31）/ 3）=（308 + 62sqrt31）/ 27，局部最小值为f（（ - 4 + sqrt31）/ 3 ）=（308-62sqrt31）/ 27# 阅读更多 »

局部极值：x = -1/3和x = 1全局极值：x = + - infty局部极值，也称为极大值和极小值，或者有时是临界点，正如它们听起来的那样：当函数达到短暂的最大值或者最低限度的。他们被称为本地人，因为当你在寻找关键点时，你通常只关心那个点附近的最大值。找到当地的关键点非常简单。查找函数何时不变，并且当您猜到它时，函数不变，导数等于零。功率规则的简单应用给出了f'（x），f'（x）= 3x ^ 2 -2x - 1.当这个表达式等于零时，我们担心：0 = 3x ^ 2 - 2x - 1现在我们我们发现自己正在看x中的二次方程，这应该很容易解决。这个二次方确实有两个实值解，由二次公式或你选择的方法给出，它们是x = -1/3和x = 1.所以我们确定有两个局部极值，如以及他们的位置。对每个点是最大值还是最小值进行分类是一个不同的故事，我不会在这里进行分析，但如果您想阅读这些内容，我可以指导您。现在，谈到全球的极端情况。全局极值被定义为整个区间上函数的单个最大或单个最小点。通常，给出间隔，例如“在区间[0,3]上找到诸如此类的全局极值”，但它也可以是函数的整个域。在全球极端情况下，您需要考虑的不仅仅是衍生品。您必须确定此间隔是否存在任何关键点，因为如果是这样，可能（但不一定）也可能是全局极值。对于这些类型的情况，有一个计算器图是最有帮助的，但一点分析揭示了关键点。 （我可以引导你到这个页面获取更多信息和一些例子）在这种情况下， 阅读更多 »

在（2，-9）有一个最小值。给定 - y = x ^ 2-4x-5求前两个导数dy / dx = 2x-4 Maxima和Minima由二阶导数确定。 （d ^ 2y）/（dx ^ 2）= 2> 0dy / dx = 0 => 2x-4 = 0 2x = 4 x = 4/2 = 2 at x = 2; y = 2 ^ 2-4（2）-5 y = 4-8-5 y = 4-13 = -9因为二阶导数大于1。在（2，-9）有一个最小值。 阅读更多 »

F（x）= 2ln（x ^ 2 + 3）-x具有x = 1的局部最小值和x = 3的局部最大值我们得到：f（x）= 2ln（x ^ 2 + 3）-x函数在所有RR中定义为x ^ 2 + 3> 0 AA x我们可以通过找出一阶导数等于零的位置来识别临界点：f'（x）=（4x）/（x ^ 2 + 3） - 1 = - （x ^ 2-4x + 3）/（x ^ 2 + 3） - （x ^ 2-4x + 3）/（x ^ 2 + 3）= 0 x ^ 2-4x + 3 = 0 x = 2 + -sqrt（4-3）= 2 + -1因此临界点为：x_1 = 1且x_2 = 3由于分母始终为正，因此f'（x）的符号与符号相反分子（x ^ 2-4x + 3）现在我们知道具有正前导系数的二阶多项式在根之间的区间之外是正的，而在根之间的区间中是负的，所以：f'（x）< 0表示x in（-oo，1）和x表示（3，+ oo）f'（x）> 0表示x in（1,3）我们有f（x）正在减少（-oo，1） ），在（1,3）中增加，在（3，+ oo）中再次减小，因此x_1 = 1必须是局部最小值，x_2 = 3必须是局部最大值。图{2ln（x ^ 2 + 3）-x [-1.42,8.58，-0.08,4.92] 阅读更多 »

请看下面的解释函数是f（x，y）= x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4偏导数是（delf）/（delx）= 2x + y + 3（delf） /（dely）= 2y + x-3令（delf）/（delx）= 0和（delf）/（dely）= 0然后，{（2x + y + 3 = 0），（2y + x-3 = 0）：} =>，{（x = -3），（y = 3）：}（del ^ 2f）/（delx ^ 2）= 2（del ^ 2f）/（dely ^ 2）= 2（del ^ 2f）/（delxdely）= 1（del ^ 2f）/（delydelx）= 1 Hessian矩阵是Hf（x，y）=（（（del ^ 2f）/（delx ^ 2），（del ^ 2f） /（delxdely）），（（del ^ 2f）/（delydelx），（del ^ 2f）/（dely ^ 2）））行列式是D（x，y）= det（H（x，y））= |（2,1），（1,2）| = 4-1 = 3> 0因此，没有鞍点。 D（1,1）> 0和（del ^ 2f）/（delx ^ 2）> 0，在（-3,3）处存在局部最小值 阅读更多 »

局部最大值为80（在x = -1），局部最小值为-80（在x = 1时.f（x）= 120x ^ 5 - 200x ^ 3 f'（x）= 600x ^ 4 - 600x ^ 2 = 600x ^ 2（x ^ 2 - 1）临界数是：-1,0和1当f传递x = -1时，f'的符号从+变为 - 所以f（-1）= 80是局部最大值（由于f是奇数，我们可以立即得出结论：f（1）= - 80是相对最小值而f（0）不是局部极值。）f'的符号不会随着我们传递x = 0而改变，所以f（0）不是局部极值。当我们通过x = 1时，f'的符号从 - 变为+，因此f（1）= -80是局部最小值。 阅读更多 »

局部最大值13为1，局部最小值为0为0.域f为RR f'（x）= 2 + 2x ^（ - 13/15）=（2x ^（13/15）+2）/ x ^ （13/15）f'（x）= 0在x = -1且f'（x）在x = 0时不存在。-1和9都在f的域中，因此它们都是临界数。一阶导数测试：On（-oo，-1），f'（x）> 0（例如在x = -2 ^ 15）On（-1,0），f'（x）<0（例如at x = -1 / 2 ^ 15）因此f（-1）= 13是局部最大值。在（0，oo）上，f'（x）> 0（使用任何大的正x）因此f（0）= 0是局部最小值。 阅读更多 »

对于f（x），RR ^ n中没有局部极值我们首先需要取f（x）的导数。 dy / dx = 2d / dx [x ^ 3] -3d / dx [x ^ 2] + 7d / dx [x] -0 = 6x ^ 2-6x + 7因此，f'（x）= 6x ^ 2- 6x + 7为了求解局部极值，我们必须将导数设置为0 6x ^ 2-6x + 7 = 0 x =（6 + -sqrt（6 ^ 2-168））/ 12现在，我们已经达到了问题。这就是x inCC所 以局部极值是复杂的。当我们从立方表达式开始时会发生这种情况，复杂的零点可能发生在一阶导数测试中。在这种情况下，对于f（x），RR ^ n中没有局部极值。 阅读更多 »

最大f是f（5/2）= 69.25。最小f是f（-3/2）= 11.25。 d / dx（f（x））= - 6x ^ 2 + 12x + 18 = 0，当x = 5/2和-3/2时，二阶导数为-12x + 12 = 12（1-x）<0 at x = 5/2且x = 3/2时> 0。因此，f（5/2）是局部（对于有限x）最大值，f（-3/2）是局部（对于有限x）最小值。作为xto oo，fto -oo和xto-oo，fto + oo .. 阅读更多 »

局部最大值x = -2局部最小值x = 4 f（x）= 2x ^ 3 - 6x ^ 2 - 48x + 24 f'（x）= 6x ^ 2 - 12x - 48 = 6（x ^ 2 - 2x - 8）= 6（x-4）（x + 2）意味着当x = -2时f'= 0,4 f''= 12（x-1）f''（ - 2）= -36 <0 ie max f''（4）= 36> 0即最小全局最大最小值由显性x ^ 3项驱动，因此lim_ {x到pm oo} f（x）= pm oo它必须看起来像这样.. 阅读更多 »

X = { - 3,0,3}只要斜率等于0就会出现局部极值，所以我们必须首先找到函数的导数，将其设置为0，然后求解x以找到所有x的函数。局部极端。使用断电规则，我们可以发现f'（x）= 8x ^ 3-72x。现在设置它等于0. 8x ^ 3-72x = 0。为了求解，将因子8x得到8x（x ^ 2-9）= 0然后使用两个正方形的差分的规则将x ^ 2-9分成两个因子得到8x（x + 3）（x- 3）= 0。现在将这些中的每一个分别设置为0，因为当任何项为0时，整个表达式将为0.这给出了3个等式：8x = 0，x + 3 = 0，x-3 = 0。为了解决第一个问题，将两边除以8得到x = 0。对于第二个，从两侧减去3得到x = -3。最后，对于第三个，向两侧添加3以获得x = 3。这些都是发生局部极值的x值。希望我帮忙！ 阅读更多 »

唯一的极值是x = 0.90322 ...，函数最小但是你必须求解一个三次方程式才能到达并且答案根本不是“很好” - 你确定这个问题输入正确吗？我还提供了如何处理答案的建议，而没有进入下面完整显示的分析数量。 1.标准方法指向我们艰难的方向首先计算导数：f（x）=（4x-3）^ 2-（x-4）/ x so（通过链和商规则）f'（x）= 4 * 2（4x-3） - （x-（x-4））/ x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2然后设置此值等于0并求解x：32x-24-4 / x ^ 2 = 0 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0我们有一个三次方程式，可由基团解决，但这不是一个简单的过程。我们知道这个等式通常有三个根，但并不是说它们都是真实的，尽管它们中至少有一个是 - 至少有一个是我们从中间值定理知道的 - http：// en。 wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - 它告诉我们，因为函数在一端变为无穷大而在另一端变为无穷大，所以它必须在一个点或另一个点之间取所有值。尝试一些简单的值（1通常是一个信息丰富，快速尝试的值），我们看到有一个介于1/2和1之间的根，但我们没有找到任何明显的解决方案来简化方程式。求解一个三次方程是一个漫长而乏味的过程（我们将在下面做），所以在这样做之前尝试告知一个人的直觉是值得的。进一步尝试解决方 阅读更多 »

在1的局部最小值为0（也是全局的），并且在e ^ 2处的局部最大值为4 / e ^ 2。对于f（x）=（lnx）^ 2 / x，首先注意f 的域是正实数，（0，oo）。然后找到f'（x）=（[2（lnx）（1 / x）] * x - （lnx）^ 2 [1]）/ x ^ 2 =（lnx（2-lnx））/ x ^ 2。 f'在x = 0时未定义，不在f的域中，因此它不是f的临界数。 f'（x）= 0其中lnx = 0或2-lnx = 0 x = 1或x = e ^ 2测试间隔（0,1），（1，e ^ 2）和（e ^ 2，oo ）。 （对于测试数字，我建议e ^ -1，e ^ 1，e ^ 3 - 召回1 = e ^ 0并且e ^ x正在增加。）我们发现当我们通过1时f'从负变为正，所以f（1）= 0是局部最小值，并且当我们通过e ^ 2时f'从正变为负，所以f（e ^ 2）= 4 / e ^ 2是局部最大值。 阅读更多 »

F（x）的极值是：x = 0时的最大值2 = x = 2时的最小值为0，为了找到任何函数的极值，可以执行以下操作：1）区分函数2）设置导数等于0 3）求解未知变量4）将解代入f（x）（不是导数）在f（x）= sqrt（4-x ^ 2）的例子中：f（x）=（4 -x ^ 2）^（1/2）1）区分函数：按链规则**：f'（x）= 1/2（4-x ^ 2）^（ - 1/2）*（ - 2x ）简化：f'（x）= -x（4-x ^ 2）^（ - 1/2）2）设定导数等于0：0 = -x（4-x ^ 2）^（ - 1 / 2）现在，由于这是一个产品，你可以将每个部分设置为0并求解：3）求解未知变量：0 = -x和0 =（4-x ^ 2）^（ - 1/2）现在你可以看到x = 0，并且为了解决右边，将两边都增加到-2以取消指数：0 ^ -2 =（（4-x ^ 2）^（ - 1/2）） ^（ - 2）0 = 4-x ^ 2 0 =（2-x）（2 + x）x = -2,2 4）将解决方案替换为f（x）：我不打算写出来替换的完整解决方案，因为它很简单，但我会告诉你：f（0）= 2 f（-2）= 0 f（2）= 0因此，您可以看到在x = 0时绝对最大值为2，在x = -2时绝对最小值为0，希望一切都清晰简洁！希望我能帮忙！ :) 阅读更多 »

此功能没有局部极值。在局部极值处，我们必须有f prime（x）= 0现在，f prime（x）=（x ^ 2 + 8x + 3）e ^ x + 8让我们考虑这是否可以消失。为此，g（x）=（x ^ 2 + 8x + 3）e ^ x的值必须等于-8。由于g prime（x）=（x ^ 2 + 10x + 11）e ^ x，g（x）的极值位于x ^ 2 + 10x + 11 = 0的点，即x = -5 pm sqrt {14}。由于g（x）到infty和0分别为x到pm infty，因此很容易看出最小值将在x = -5 + sqrt {14}。我们有g（-5 + sqrt {14}）~~ -1.56，所以f prime（x）〜6.44的最小值 - 使得它永远不会达到零。 阅读更多 »

抛物线只有一个极值，即顶点。它是（-4 1/2，-19 1/4）。由于{d ^ 2 f（x）} / dx = 2，函数到处都是凹陷的，这一点必须是最小的。你有两个根找到抛物线的顶点：一，使用微积分找到导数是零;二，不惜一切代价避免计算，只需完成广场。我们将使用微积分进行练习。 f（x）= x ^ 2 + 9x + 1，我们需要得到它的导数。 {df（x）} / dx = {d} / dx（x ^ 2 + 9x + 1）通过导数的线性，我们得到{df（x）} / dx = {d} / dx（x ^ 2） + {d} / dx（9x）+ {d} / dx（1）。使用幂规则，d / dx x ^ n = n x ^ {n-1}我们有{d f（x）} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9。我们将其设置为零以找到临界点，局部和全局最小值和最大值以及有时拐点具有零的导数。 0 = 2x + 9 => x = -9 / 2，因此我们在x = -9 / 2或-4 1/2处有一个临界点。为了找到临界点的y坐标，我们将x = -9 / 2转回到函数中，f（-9/2）=（ - 9/2）^ 2 + 9（-9/2）+1 = 81/4 - 81/2 + 1 = 81/4 - 162/4 + 4/4 = -77 / 4 = -19 1/4。临界点/顶点是（-4 1/2，-19 1/4）。我们知道因为a> 阅读更多 »

局部极值：x ~~ -1.15 x = 0 x ~~ 1.05求导数f'（x）集f'（x）= 0这些是你的临界值和潜在的局部极值。用这些值绘制一个数字行。在每个间隔内插入值;如果f'（x）> 0，则函数正在增加。如果f'（x）<0，则函数正在减少。当函数从负变为正并且在该点连续时，存在局部最小值;反之亦然。 f'（x）= [（3x ^ 2 + 4x）（3-5x） - （ - 5）（x ^ 3 + 2x ^ 2）] /（3-5x）^ 2 f'（x）= [9x ^ 2-15x ^ 3 + 12x-20x ^ 2 + 5x ^ 3 + 10x ^ 2] /（3-5x）^ 2 f'（x）=（ - 10x ^ 3-x ^ 2 + 12x）/（3 -5x）^ 2 f'（x）= [ - x（10x ^ 2 + x-12）] /（3-5x）^ 2临界值：x = 0 x =（sqrt（481）-1）/ 20 ~~ 1.05 x = - （sqrt（481）+1）/20 ~~ -1.15 x！= 3/5 <------（ - 1.15）------（0）---- - （3/5）-----（1.05）------>在这些间隔之间插入值：你会得到：正值（-oo，-1.15）负值（-1.15,0） ）正值为（0,3 / 5）正值为（3 / 5,1.05）负值为（1.05，oo）: 阅读更多 »

X = 0，-4 / 3求f（x）= x ^ 2（x + 2）的导数。您必须使用产品规则。 f'（x）= x ^ 2 +（x + 2）2x = x ^ 2 + 2x ^ 2 + 4x = 3x ^ 2 + 4x f'（x）= x（3x + 4）集合f'（x）等于零以找到临界点。 x = 0 3x + 4 = 0 rarr x = -4 / 3 f（x）在x = 0，-4 / 3处具有局部极值。 OR f（x）在点（0,0）和（-4 / 3,32 / 27）处具有局部极值。 阅读更多 »

该函数有2个极值：f_ {max}（ - 2）= 18和f_ {min}（2）= - 14我们有一个函数：f（x）= x ^ 3-12x + 2为了找到极值，我们计算导数f'（x）= 3x ^ 2-12找到极值点的第一个条件是这样的点只存在于f'（x）= 0 3x ^ 2-12 = 0 3（x ^ 2-4）= 0） 3（x-2）（x + 2）= 0 x = 2 vv x = -2现在我们必须检查导数在坐标点处是否改变符号：graph {x ^ 2-4 [-10,10， - 4.96,13.06]}从图中可以看出，f（x）对于x = -2具有最大值，对于x = 2具有最小值。最后一步是计算值f（-2）和f（2） 阅读更多 »

X ^ 3-3x + 6在x = -1且x = 1处具有局部极值。函数的局部极值发生在函数的一阶导数为0且一阶导数的符号发生变化的点处。也就是说，对于x，其中f'（x）= 0且f'（x-varepsilon）<= 0且f'（x + varepsilon）> = 0（局部最小值）或f'（x-varepsilon）> = 0和f'（x + varepsilon）<= 0（局部最大值）为了找到局部极值，那么，我们需要找到f'（x）= 0的点.f'（x）= 3x ^ 2 - 3 = 3（x ^ 2 - 1）= 3（x + 1）（x-1）所以f'（x）= 0 <=> 3（x + 1）（x-1）= 0 <=> x = + -1看f'的符号我们得到{（f'（x）> 0，如果x <-1），（f'（x）<0 if -1 <x <1），（f'（x ）> 0如果x> 1）：}因此f'的符号在x = -1和x = 1的每一个处发生变化，这意味着两个点都存在局部极值。注意：根据符号的变化，我们可以进一步说明在x = -1处存在局部最大值，在x = 1处存在局部最小值。 阅读更多 »

Maxima = 19 at x = -1 Minimum = -89 atx = 5> f（x）= x ^ 3-6x ^ 2-15x + 11要找到局部极值，首先找到临界点f'（x）= 3x ^ 2-12x-15设置f'（x）= 0 3x ^ 2-12x-15 = 0 3（x ^ 2-4x-5）= 0 3（x- 5）（x + 1）= 0 x = 5或x = -1是关键点。我们需要做二阶导数测试f ^（''）（x）= 6x-12 f ^（''）（5）= 18> 0，所以f在x = 5时达到最小值，最小值为f （5）= - 89 f ^（''）（ - 1）= -18 <0，所以f在x = -1时达到最大值，最大值为f（-1）= 19 阅读更多 »

给定的函数有一个最小点，但肯定没有最大点。给定的函数是：f（x）=（x ^ 3-4x ^ 2-3）/（8x-4）在分化时，f'（x）=（4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6）/ （4 *（2x-1）^ 2）对于临界点，我们必须设置，f'（x）= 0.暗示（4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6）/（4 *（2x-1） ）^ 2）= 0意味着x ~~ -0.440489这是极值点。为了检查函数在该特定值处是否达到最大值或最小值，我们可以进行二阶导数测试。 f''（x）=（4x ^ 3-6x ^ 2 + 3x-16）/（2 *（2x-1）^ 3）f''（ - 0.44）> 0因为此时二阶导数为正，这意味着该函数在该点达到最小点。 阅读更多 »

该函数的一个实数临界点是x约-9.01844。此时出现局部最小值。通过商数规则，该函数的导数是f'（x）=（（x + 6）* 3x ^ 2-（x ^ 3-3）* 1）/（（x + 6）^ 2）=（ 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3）/（（x + 6）^ 2）当且仅当2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3 = 0时，此函数等于零。这个立方体的根包括负无理（实数）和两个复数。实根是x约-9.01844。如果你插入一个比f'更小的数字，你将获得一个负输出，如果你将一个比这更大的数字插入f'，你将得到一个正输出。因此，该临界点给出f的局部最小值（和f（-9.01844）约244是局部最小值（输出）。 阅读更多 »

（0.14414,0.05271）是局部最大值（1.45035,0.00119），（ - 1.59449，-1947.21451）是局部最小值。 。 f（x）= y = xe ^（x ^ 3-7x）dy / dx = x（3x ^ 2-7）e ^（x ^ 3-7x）+ e ^（x ^ 3-7x）= e ^ （x ^ 3-7x）（3x ^ 3-7x + 1）= 0 e ^（x ^ 3-7x）= 0，：。 1 / e ^（7x-x ^ 3）= 0，：。 e ^（7x-x ^ 3）= - oo，:. x = oo这不符合本地极值。 3x ^ 3-7x + 1 = 0为了求解这个三次函数的根，我们使用Newton-Raphson方法：x_（n + 1）= x_n-f（x_x）/（f'（x_n））这是一个迭代过程，它将使我们更接近函数的根。我不是在这里包括漫长的过程但是到了第一个根，我们可以执行长除法并且容易解决其余两个根的剩余二次方。我们将获得以下根：x = 0.14414,1.45035和-1.59449我们现在执行一阶导数测试，并尝试每个根的左侧和右侧的值，以查看导数在哪里为正或负。这将告诉我们哪个点是最大值，哪个点是最小值。结果如下：（0.14414,0.05271）是局部最大值（1.45035,0.00119），（ - 1.59449，-1947.21451）是局部最小值。您可以在下图中看到其中一个最小值：以下视图显示最大值和最小值 阅读更多 »

F_min = f（1）= 0 f_max = f（e ^（ - 2））约0.541 f（x）=（xlnx）^ 2 / x =（x ^ 2 *（lnx）^ 2）/ x = x（ lnx）^ 2应用乘积规则f'（x）= x * 2lnx * 1 / x +（lnx）^ 2 * 1 =（lnx）^ 2 + 2lnx对于局部最大值或最小值：f'（x）= 0设z = lnx :. z ^ 2 + 2z = 0 z（z + 2）= 0 - > z = 0或z = -2因此对于局部最大值或最小值：lnx = 0或lnx = -2：.x = 1或x = e ^ -2约0.135现在检查下面的x（lnx）^ 2的图形。 graph {x（lnx）^ 2 [-2.566,5.23，-1.028,2.87]}我们可以观察到简化的f（x）在x = 1时具有局部最小值，在x中具有局部最大值（0,0.25）因此：f_min = f（1）= 0且f_max = f（e ^（ - 2））约为0.541 阅读更多 »