F（x，y）= xye ^（ - x ^ 2-y ^ 2）的极值和鞍点是什么？

回答：

#(0,0)# 是一个鞍点

#（1 / sqrt 2,1 / sqrt 2）# 和 #（ - 1 / sqrt 2，-1 / sqrt 2）# 是局部最大值

#（1 / sqrt 2，-1 / sqrt 2）# 和 #（ - 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2）# 是当地的最小值

#（0，pm 1 / sqrt 2）# 和 #（pm 1 / sqrt 2,0）# 是拐点。

说明：

对于一般功能 #F（X，Y）# 有一个静止点 #（X_0，y_0）# 我们有泰勒系列扩展

#F（x_0 + xi，y_0 + eta）= F（x_0，y_0）+ 1 /（2！）（F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta）+ ldots#

对于功能

#f（x）= x y e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

我们有

#（del f）/（del x）= ye ^ { - x ^ 2-y ^ 2} + x y（-2x）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

#qquad = y（1-2x ^ 2）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

#（del f）/（del y）= xe ^ { - x ^ 2-y ^ 2} + x y（-2y）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

#qquad = x（1-2y ^ 2）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

很容易看出，这两个衍生物在以下的思想中消失了

• #(0,0)#
• #（0，pm 1 / sqrt2）#
• #（pm 1 / sqrt2,0）#
• #（pm 1 / sqrt2，pm 1 / sqrt2）#

为了检验这些静止点的性质，我们需要研究那里的二阶导数的行为。

现在

#（del ^ 2 f）/（del x ^ 2）= y（-4x）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2} + y（1-2x ^ 2）（ - 2x）e ^ { - x ^ 2-Y ^ 2}#

#qquad = x y（4x ^ 2-6）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

和类似的

#（del ^ 2 f）/（del y ^ 2）= xy（4y ^ 2-6）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

和

#（del ^ 2 f）/（del xdel y）=（1-2y ^ 2）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2} + x（1-2y ^ 2）（ - 2x）e ^ { - X ^ 2-Y ^ 2}#

#qquad =（1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

#qquad =（1-2x ^ 2）（1-2y ^ 2）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

因此对于 #(0,0)# 我们有 #（del ^ 2 f）/（del x ^ 2）=（del ^ 2 f）/（del y ^ 2）= 0# 和 #（del ^ 2 f）/（del x del y）= 1# - 因此

#f（0 + xi，0 + eta）= f（0,0）+ xi eta = xi eta#

如果你接近 #(0,0)# 沿线 #X = Y#这就变成了

#f（0 + xi，0 + xi）= xi ^ 2#

所以 #(0,0)# 如果你接近这个方向，显然是最小的。另一方面，如果你接近这条线 #X = -y# 我们有

#f（0 + xi，0-xi）= -xi ^ 2#

所以 #(0,0)# 沿这个方向是最大的，

从而 #(0,0)# 是一个 马鞍点.

对于 #（1 / sqrt2,1 / SQRT2）# 很容易看出来

#（del ^ 2 f）/（del x ^ 2）=（del ^ 2 f）/（del y ^ 2）= -2e ^ { - 1/2} <0# 和 #（del ^ 2 f）/（del x del y）= 0#

意思就是

#f（1 / sqrt 2 + xi，1 / sqrt 2 + eta）= f（1 / sqrt 2,1 / sqrt 2）-e ^ { - 1/2（xi ^ 2 + eta ^ 2）}#

因此，无论您何种方式离开，函数都会降低 #（1 / sqrt 2,1 / sqrt 2）# 这是一个 当地最大值。很容易看出同样的情况 #（ - 1 / SQRT2，-1 / SQRT2）# （这应该是显而易见的，因为功能保持不变 #（x，y）到（-x，-y）#!

同样，两者兼而有之 #（1 / SQRT2，-1 / SQRT2）# 和 #（ - 1 / sqrt2,1 / SQRT2）# 我们有

#（del ^ 2 f）/（del x ^ 2）=（del ^ 2 f）/（del y ^ 2）= 2e ^ { - 1/2}> 0# 和 #（del ^ 2 f）/（del x del y）= 0#

所以，这两点都是局部最小值。

这四点 #（0，pm 1 / sqrt2）# 和 #（pm 1 / sqrt2,0）# 更有问题 - 因为所有二阶导数都在这些点上消失了。我们现在必须看看更高阶的衍生品。幸运的是，我们并不需要为此努力工作 - 下一个衍生收益率

#（del ^ 3 f）/（del x ^ 3）= -2y（3-12x ^ 2 + 4x ^ 4）e ^ { - x ^ 2-y ^ 2}#

两者都不为零 #（0，pm 1 / sqrt2）# 和 #（pm 1 / sqrt2,0）#。现在，这意味着，例如

#f（0 + xi，1 / sqrt 2）= f（0,1 / sqrt 2）+1/3（（del ^ 3 f）/（del x ^ 3））_ {（0,1 / sqrt2） } xi ^ 3 + ……#

这表明这将增加 #f（0,1 / sqrt 2）# 在一个方向上，在另一个方向上从中减少。从而 #（0,1 / SQRT2）# 是一个**的拐点。同样的论点适用于其他三点。