回答：
要点 #(0,0),(1,0)#，和 #(0,1)# 是马鞍点。关键点 #(1/3,1/3)# 是一个局部最大点。
说明：
我们可以扩大 #F# 至 #F（X，Y）= XY-X ^ 2Y-XY ^ 2#。接下来，找到偏导数并将它们设置为零。
# frac { partial f} { partial x} = y-2xy-y ^ 2 = y（1-2x-y）= 0#
# frac { partial f} { partial y} = x-x ^ 2-2xy = x（1-x-2y）= 0#
显然， #（X，Y）=（0,0），（1,0），# 和 #(0,1)# 是这个系统的解决方案，因此是关键点 #F#。另一种解决方案可以从系统中找到 #1-2倍-Y = 0#, #1-X-2Y = 0#。求解第一个等式 #Y# 就……而言 #X# 给 #Y = 1-2倍#，可插入第二个等式得到 #1-x-2（1-2x）= 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3#。由此， #Y = 1-2（1/3）= 1-2 / 3 = 1/3# 同样。
为了测试这些关键点的性质，我们找到了二阶导数：
# frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}} = - 2y#, # frac { partial ^ {2} f} { partial y ^ {2}} = - 2x#，和 # frac { partial ^ {2} f} { partial x partial y} = frac { partial ^ {2} f} { partial y partial x} = 1-2x-2y#.
因此，判别是：
#d = 4xy-（1-2倍-2Y）^ 2#
#= 4xy-（1-2倍-2Y-2X + 4X ^ 2 + 4XY-2Y + 4XY + 4Y ^ 2）#
#= 4X + 4Y-4X ^ 2-4y ^ 2-4xy-1#
插入前三个关键点给出：
#D（0,0）= - 1 <0#, #D（1,0）= 4-4-1 = -1 <0#，和 #D（0,1）= 4-4-1 = -1 <0#，使这些点成为马鞍点。
插入最后一个临界点给出了 #D（1 / 3,1 / 3）= 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0#。另请注意 # frac { partial ^ {2} f} { partial x ^ {2}}（1 / 3,1 / 3）= - 2/3 <0#。因此， #(1/3,1/3)# 是本地最大值的位置 #F#。您可以检查本地最大值本身 #F（1 / 3,1 / 3）= 1/27#.
下面是等高线图（等级曲线）的图片 #F# （输出的曲线 #F# 是不变的），以及4个关键点 #F#.
