结石

Lim _（x-> a）（x ^ 3/8-a ^ 3/8）/（x ^ 5/3-a ^ 5/3）=（9）/（40a ^（2））lim _（ x-> a）（x ^ 3/8-a ^ 3/8）/（x ^ 5/3-a ^ 5/3）我们可以很容易地认识到这是0/0我们将修改分数（ （x ^ 3-a ^ 3）* 3）/（（x ^ 5-a ^ 5）* 8）应用因子分解规则（取消（x -a）（a ^ 2 + ax + x ^ 2）* 3 ）/（8cancel（xa）（x ^ 4 + x ^ 3a + x ^ 2a ^ 2 + xa ^ 3 + a ^ 4）插入值a（（a ^ 2 + aa + a ^ 2）* 3）/ （8（a ^ 4 + a ^ 3a + a ^ 2a ^ 2 + aa ^ 3 + a ^ 4）（（3a ^ 2）* 3）/（8（2a ^ 4 + 2a ^ 3a ^ 1 + a ^ 2a ^ 2）（9a ^ 2）/（8（2a ^ 4 + 2a ^ 4 + a ^ 4）（9a ^ 2）/（8（5a ^ 4）（9a ^ 2）/（40a ^ 4）=（ 9）/（40a ^（4-2））=（9）/（40a ^（2））lim _（x-> a）（x ^ 3/8-a ^ 3/8）/（x ^ 5 / 3-a ^ 5/3）=（9）/（40a ^（2）） 阅读更多 »

Arctan（e ^ x）+ C“写”e ^ x“dx为”d（e ^ x）“，然后我们得到”int（d（e ^ x））/（1+（e ^ x）^ 2 ）“用替换y =”e ^ x“，我们得到”int（d（y））/（1 + y ^ 2）“等于”arctan（y）+ C“现在替代”y = e ^ x：arctan（e ^ x）+ C. 阅读更多 »

“特征方程是：”z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 => z（z ^ 2 - z + 4）= 0 => z = 0“或”z ^ 2 - z + 4 = 0“四边形的圆盘.eq。= 1 - 16 = -15 <0“”所以我们有两个复杂的解，它们是“z =（1 pm sqrt（15）i）/ 2”所以齐次方程的一般解是：“A + B'exp（x / 2）exp（（sqrt（15）/ 2）ix）+ C'exp（x / 2）exp（ - （sqrt（15）/ 2）ix）= A + B exp（x / 2）cos（sqrt（15）x / 2）+ C exp（x / 2）sin（sqrt（15）x / 2）“完全等式的特定解是”“y = x， “这很容易看出来。” “所以完整的解决方案是：”y（x）= x + A + B exp（x / 2）cos（sqrt（15）x / 2）+ C exp（x / 2）sin（sqrt（15）x / 2） 阅读更多 »

请参阅以下答案：积分：1。感谢omatematico.com（对不起葡萄牙语），他们在网站上提醒我们相关费率：2。感谢KMST提醒我们相关费率，请访问网站： http://www.algebra.com/algebra/homework/Finance/Finance.faq.question.831122.html 阅读更多 »

A）衍生物不存在B）是C）没有问题A你可以看到这种多种不同的方式。要么我们可以区分函数来找到：f'（x）= 6/5（x-2）^（ - 3/5）= 6 /（5（x-2）^（3/5））这是未定义的在x = 2。或者，我们可以看一下限制：lim_（h-> 0）（f（2 + h）-f（2））/ h = lim_（h-> 0）（3（2 + h-2）^（ 2/5）-3（2-2）^（3/5））/ h = = lim_（h-> 0）0 / h此限制不存在，这意味着衍生物不存在于那一点。问题B是的，中值定理确实适用。均值定理中的可微性条件只要求函数在开放区间（a，b）上是可微分的（IE不是a和b本身），所以在区间[2,5]上，该定理适用，因为函数是在开放区间（2,5）可微分。我们还可以看到该区间内的平均斜率确实存在一个问题：问题C编号如前所述，中值定理要求函数在开放区间（1,4）上完全可微分，我们之前提到函数在x = 2处不可微分，它位于该区间内。这意味着函数在区间上不可微分，因此均值定理不适用。我们还可以看到，由于曲线中的“急弯”，在该区间中没有包含该函数的平均斜率的点。 阅读更多 »

Lim_（xrarroo）[（3x-2）/（8x + 7）] =颜色（蓝色）（3/8这里有两种不同的方法你可以用来解决这个问题，不同于道格拉斯K.使用l'Hôpital的方法我们被要求找到极限lim_（xrarroo）[（3x-2）/（8x + 7）]你能做到这一点的最简单的方法是为x插入一个非常大的数字（例如10 ^ 10）并且看到结果;出来的值通常是限制（你可能不会总是这样做，所以这种方法通常是不明智的）:( 3（10 ^ 10）-2）/（8（10 ^ 10） +7）~~ color（蓝色）（3/8但是，以下是找到限制的万无一失的方法：我们有：lim_（xrarroo）[（3x-2）/（8x + 7）]让我们除以分子和分母x（主导词）：lim_（xrarroo）[（3-2 / x）/（8 + 7 / x）]现在，当x接近无穷大时，值-2 / x和7 / x都接近0，所以我们留下lim_（xrarroo）[（3-（0））/（8+（0））] =颜色（蓝色）（3/8） 阅读更多 »

Lim_（x-> oo）（e ^ x-1）/ x = oo麦克劳林扩展e ^ x = 1 + x + x ^ 2 /（2！）+ x ^ 3 /（3！）+ .. .....因此，e ^ x-1 = x + x ^ 2 /（2！）+ x ^ 3 /（3！）+ .......：。 lim_（x-> oo）（e ^ x-1）/ x = lim_（x-> oo）（（x + x ^ 2 /（2！）+ x ^ 3 /（3！）+ .... ..）/ x）= lim_（x-> oo）（1 + x /（2！）+（x ^ 2）/（3！）+ .......）= oo 阅读更多 »

请跟我一点，但它涉及基于一阶导数的线的斜率截距方程......我想引导你去做答案的方式，而不仅仅是给你答案......好的在我得到答案之前，我会让你进行（有点）幽默的讨论，我的办公室伙伴和我刚刚......我：“好的，等待......你不知道g（x），但是你知道所有的导数都是正确的（x）...你为什么要根据导数进行线性解释？只需要得到导数的积分，你就得到了原始的公式......对吧？“ OM：“等等，什么？”他读到了上面的问题“圣洁的莫莉，我多年来没有这样做过！”所以，这引发了我们之间关于如何整合这个问题的讨论，但教授真正想要的（可能）不是让你做反向操作（在某些情况下可能真的很难），而是要了解实际上是一阶导数。所以我们抓住了我们的头脑，仔细研究了我们的集体年龄增长记忆，最后同意二阶导数是局部最大值/最小值，一阶导数（你关心的那个）是给定点的曲线斜率。那么，这与墨西哥的蠕虫价格有什么关系呢？好吧，如果我们假设斜率对于所有“附近”点保持相对恒定（要知道这一点，你需要查看曲线，并根据你对事物的了解使用良好的判断 - 但因为这就是你的教授想要，这就是他得到的！），那么我们就可以进行线性插值 - 这正是你所要求的！好吧，那么 - 答案的核心：我们已知值的函数的斜率（m）是：m = sqrt（x ^ 2 + 15）因此，在已知点（x = 1）处的斜率是： m = sqrt（1 ^ 2 + 15）m = sqrt（1 + 15）m = sqrt（16）m 阅读更多 »

F在RR中是凸的我认为解决了它。 f是RR的2倍可微分，所以f和f'在RR中是连续的我们有（f'（x））^ 3 + 3f'（x）= e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7区分两个部分得到3 *（f'（x））^ 2f''（x）+ 3f''（x）= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <=> 3f''（x）（（f'） （x））^ 2 + 1）= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 f'（x）^ 2> = 0所以f'（x）^ 2 + 1> 0 <=> f''（ x）=（e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2）/（3（（f'（x））^ 2 + 1）> 0）我们需要分子的符号，所以我们考虑一个新的函数g（ x）= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2，xinRR g'（x）= e ^ x-cosx + 6x我们注意到g'（0）= e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1- 1 + 0 = 0对于x =π=> g'（π）= e ^π-cosπ+6π= e ^π+ 1 +6π> 0对于x =-πg'（ - π）= e ^（ - π）-cos（-π）-6π= 1 / e ^π+co 阅读更多 »

这是一个相关的费率（变化）类型问题。感兴趣的变量是a =高度A =面积，并且由于三角形的面积是A = 1 / 2ba，我们需要b = base。给定的变化率以每分钟为单位，因此（不可见）自变量是t =以分钟为单位的时间。给出：（da）/ dt = 3/2 cm / min（dA）/ dt = 5 cm“”^ 2 / min当a = 9 cm和A = 81 cm时，我们被要求找到（db）/ dt “”^ 2 A = 1 / 2ba，相对于t，我们得到：d / dt（A）= d / dt（1 / 2ba）。我们需要右边的产品规则。 （dA）/ dt = 1/2（db）/ dt a + 1 / 2b（da）/ dt除了（db）/ dt（我们试图找到）和b之外，我们得到了每个值。使用面积公式和a和A的给定值，我们可以看到b = 18cm。代入：5 = 1/2（db）/ dt（9）+1/2（18）3/2求解（db）/ dt = -17 / 9cm / min。基部以17/9厘米/分钟的速度下降。 阅读更多 »

V = 16 / 15pi ~~ 3.35103该区域是该系统的解：{（y <= - x ^ 2 + 2x + 3），（y> = 3）：}并且在该图中勾画：公式对于x轴旋转体积的体积是：V = pi * int_a ^ bf ^ 2（z）dz。要应用公式，我们应该在x轴上转换半月，区域不会改变，因此它也不会改变音量：y = -x ^ 2 + 2x + 3color（红色）（ - 3 ）= - x ^ 2 + 2x y = 3color（红色）（ - 3）= 0这样我们得到f（z）= - z ^ 2 + 2z。现在在这里绘制了翻译区域：但是哪个是积分的a和b？系统的解：{（y = -x ^ 2 + 2x），（y = 0）：}所以a = 0且b = 2。让我们重写并求解积分：V = pi * int_0 ^ 2（-z ^ 2 + 2z）^ 2 dz V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz V = pi * [z ^ 5 / 5-（4z ^ 4）/ 4 +（4z ^ 3）/ 3] _0 ^ 2 V = pi * [z ^ 5/5-z ^ 4 +（4z ^ 3）/ 3] _0 ^ 2 V = pi *（2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 +（4 * 2 ^ 3）/ 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4-（4 * 0 ^ 3）/ 3）V = pi *（ 32 / 5-16 + 32/3 + 0）V 阅读更多 »

见下文。我希望它有所帮助。偏导数与总变差本质上相关。假设我们有一个函数f（x，y），我们想知道当我们为每个变量引入一个增量时它有多大变化。修正想法，使f（x，y）= kxy我们想知道它是多少df（x，y）= f（x + dx，y + dy）-f（x，y）在我们的函数示例中我们有f（x + dx，y + dy）= k（x + dx）（y + dy）= kxy + kx dx + ky dy + k dx dy然后df（x，y）= kxy + kx dx + ky dy + k dx dy-k xy = kx dx + ky dy + k dx dy选择dx，dy任意小，然后dx dy约为0，然后df（x，y）= kx dx + ky dy但通常为df（x，y） ）= f（x + dx，y + dy）-f（x，y）= 1/2（2 f（x + dx，y + dy）-2f（x，y）+ f（x + dx，y ）-f（x + dx，y）+ f（x，y + dy）-f（x，y + dy））= = 1/2（f（x + dx，y）-f（x，y） ）/ dx dx +1/2（f（x，y + dy）-f（x，y））/ dy dy + + 1/2（f（x + dx，y + dy）-f（x，y +） dy））/ dx dx + 1/2（f（x + dx，y + dy）-f（x + dx，y））/ dy dy现在使dx，dy任意小我们有df（x，y）= 1/2（2f_ 阅读更多 »

这里'/我这样做的方式是： - 我会让一些“”theta = arcsin（9x）“”和一些“”alpha = arccos（9x）所以我得到了，“”sintheta = 9x“”和“” cosalpha = 9x我像这样隐式地区分：=>（costheta）（d（theta））/（dx）= 9“”=>（d（theta））/（dx）= 9 /（costheta）= 9 / （sqrt（1-sin ^ 2theta））= 9 /（sqrt（1-（9x）^ 2） - 接着，我区分cosalpha = 9x =>（ - sinalpha）*（d（alpha））/（dx） = 9“”=>（d（alpha））/（dx）= - 9 /（sin（alpha））= - 9 /（sqrt（1-cosalpha））= - 9 / sqrt（1-（9x）^ 2）总体而言，“”f（x）= theta + alpha So，f ^（''）（x）=（d（theta））/（dx）+（d（alpha））/（dx）= 9 / SQRT（1-（9X）^ 2）-9 / SQRT（1-（9X）^ 2）= 0 阅读更多 »

法线：y =（x-2-e ^ 4）/ e ^ 2。切线：y = e ^ 2x -e ^ 2。直觉：想象一下函数f（x，y）= e ^ x ln（y） - xy描述某些地形的高度，其中x和y是平面中的坐标，ln（y）被认为是自然的对数。然后所有（x，y）使得f（x，y）= a（高度）等于某个常数a被称为水平曲线。在我们的例子中，常数高度a为零，因为f（x，y）= 0。您可能熟悉地形图，其中闭合线表示相等高度的线。现在梯度grad f（x，y）=（（部分f）/（部分x），（部分f）/（部分x））=（e ^ x ln（y） - y，e ^ x / y - x）给出了一个点（x，y）的方向，其中f（x，y）（高度）变化最快。只要我们的地形平滑（可微分），我们就不是直线上升或直下山，而是我们不在顶部，底部或高原（极值点）。这实际上是恒定高度曲线的法线方向，使得at（x，y）=（2，e ^ 2）：grad f（2，e ^ 2）=（e ^ 2 ln（e ^ 2） ） - e ^ 2，e ^ 2 / e ^ 2 - 2）=（e ^ 2，-1）。因此，经过（2，e ^ 2）的那个方向的法线可以描述为（x，y）=（2，e ^ 2）+ s（e ^ 2，-1），其中mathbbR中的s是一个真实的参数。如果你愿意，你可以消除s来表示y作为x的函数，找到y =（x-2-e ^ 4）/ e ^ 2。切线方向的方向导数必须为0（意味着高度不变），因此切向量（u，v）必须 阅读更多 »

C = 4平均值：（int_1 ^ c（4 / x ^ 2）dx）/（c-1）int_1 ^ c（4 / x ^ 2）= [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4因此平均值为（-4 / c + 4）/（c-1）求解（-4 / c + 4）/（c-1）= 1得到c = 4。 阅读更多 »

对于x = -2 pm sqrt（11），dy / dx为零，对于x = -2，dy / dx未定义。找到导数：dy / dx =（d（x ^ 2 - 3x + 1））/ dx 1 /（x + 2）+（x ^ 2 - 3x + 1）（d）/（dx）（1 /（x + 2））=（2x-3）/（x + 2） - （x ^ 2 - 3x + 1）1 /（x + 2）^ 2 =（（2x-3）（x + 2） - （x ^ 2 - 3x + 1））/（x + 2）^ 2 =（2x ^ 2 - 通过乘积规则和各种简化，3x + 4x -6-x ^ 2 + 3x-1）/（x + 2）^ 2 =（x ^ 2 + 4x -7）/（x + 2）^ 2。找到零：当且仅当x ^ 2 + 4x -7 = 0时，dy / dx = 0。这个多项式的根是x_ {1,2} =（1/2）（ - 4 pm sqrt（4 ^ 2 - 4（-7）））= - 2 pm sqrt（11），所以dy / dx = 0对于x = -2 pm sqrt（11）。查找未定义dy / dx的位置：由于不允许除以0，因此dy / dx未定义，其中（x + 2）^ 2 = 0，即x = -2。 阅读更多 »

Dy / dx = 3sqrtx y = 2xsqrtx = uv dy / dx = u（dv）/ dx + v（du）/ dx u = 2x（du）/ dx）= 2 v = sqrtx = x ^（1/2）（ dv）/（dx）= 1/2 * x ^（1 / 2-1）= x ^（ - 1/2）/ 2 dy / dx = 2x * x ^（ - 1/2）/ 2 + 2 *的x ^（1/2）= sqrtx + 2sqrtx = 3sqrtx 阅读更多 »

F（x，y）= x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1（y）del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2（x）“现在取”C_1（y） = y ^ 6 + c C_2（x）= x ^ 4 + c“然后我们有一个相同的f，它满足条件。” => f（x，y）= x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c 阅读更多 »

最大值：1/2最小值：-1/2另一种方法是将函数重新排列为二次方程。像这样：f（x）= x /（1 + x ^ 2）rarrf（x）x ^ 2 + f（x）= xrarrf（x）x ^ 2-x + f（x）= 0设f（x ）= c“”使它看起来更整洁:-) => cx ^ 2-x + c = 0回想一下，对于该等式的所有实根，判别式为正或零所以我们有，（-1）^ 2- 4（c）（c）> = 0“”=> 4c ^ 2-1 <= 0“”=>（2c-1）（2c + 1）<= 0很容易识别-1/2 < = c <= 1/2因此，-1 / 2 <= f（x）<= 1/2这表明最大值是f（x）= 1/2，最小值是f（x）= 1/2 阅读更多 »

交叉曲线可以参数化为（z，r）=（（81/2）sin2 theta，9）。我不确定你的矢量函数是什么意思。但我理解你试图在问句陈述中表示两个表面之间的交点曲线。由于圆柱体围绕z轴对称，因此可以更容易地以圆柱坐标表示曲线。更改为圆柱坐标：x = r cos theta y = r sin theta z = z。 r是距z轴的距离， theta是x，y平面中x轴的逆时针角度。然后第一个表面变成x ^ 2 + y ^ 2 = 81 r ^ 2cos ^ 2 theta + r ^ 2sin ^ 2 theta = 81 r ^ 2 = 81 r = 9，因为毕达哥拉斯三角恒等式。第二个表面变为z = xy z = rcos theta rsin theta z = r ^ 2sin theta cos theta。我们从第一个表面的方程中得知交叉曲线必须与第一个表面的平方距离r ^ 2 = 81，得到z = 81 sin theta cos theta，z =（81/2）sin2 theta，由 theta参数化的曲线。最后一步是三角形身份，仅根据个人喜好进行。从这个表达式我们看到曲线确实是一条曲线，因为它有一个自由度。总而言之，我们可以将曲线写为（z，r）=（（81/2）sin2 theta，9），这是单个变量 theta的向量值函数。 阅读更多 »

一般解决方案是：phi = Ae ^（ - （8pi ^ 2mE）/ h ^ 2x）由于v未定义，我们无法继续进行。我们有：（dphi）/ dx + k phi = 0这是一阶可分离的ODE，所以我们可以写：（dphi）/ dx = - k phi 1 / phi （dphi）/ dx = - k现在，我们将变量分开得到int 1 / phi d phi = - int k dx它由标准积分组成，所以我们可以整合：ln | phi | = -kx + lnA :. |披| = Ae ^（ - kx）我们注意到指数在整个域上是正的，我们也写了C = lnA，作为积分常数。然后我们可以将通用解写为：phi = Ae ^（ - kx） = Ae ^（ - （8pi ^ 2mE）/ h ^ 2x）由于v未定义，我们无法继续进行。 阅读更多 »

Y = - （3x）/14-2.53“正切”：d / dx [f（x）] = f'（x）“正常”： - 1 /（f'（x））= - 1 /（d / DX [cscx +坦-cotx]）= - 1 /（d / DX [cscx] + d / DX [坦] -d / DX [cotx]）= - 1 /（ - cscxcotx +秒^ 2×+ CSC ^ 2× ）-1 /（f'（ - pi / 3））= - 1 /（ - csc（-pi / 3）cot（-pi / 3）+ sec ^ 2（-pi / 3）+ csc ^ 2（ - pi / 3））= - 1 /（14/3）= - 3/14 y = mx + cf（a）= ma + c csc（-pi / 3）+ tan（-pi / 3）-cot（ - PI / 3）= - PI / 3（-3/14）+ CC = CSC（-pi / 3）+黄褐色（-pi / 3）-cot（-pi / 3）+ PI / 3（-3/14 ）c = -2.53 y = - （3x）/14-2.53 阅读更多 »

（dy）/（dx）= secxtanx-sec ^ 2x在这里区分secx'/它如何：secx = 1 / cosx你应该应用商数规则：即“分母（cosx）”xx“分子的导数”（ 1） - “分母（cosx）分子的衍生物”xx“分母的衍生物”（cosx）AND ALL THAT - :(“分母”）^ 2（d（secx））/（dx）=（cosx（0） - 1（-sinx））/（cosx）^ 2 = sinx / cos ^ 2x = 1 / cosx xx sinx / cosx = color（蓝色）（secxtanx）现在我们转到tanx与上面相同的原理：（d（tanx）） /（DX）=（cosx（cosx）-sin（-cosx））/（cosx）^ 2 =（COS ^ 2×+罪^ 2×）/余弦^ 2×= 1 /余弦^ 2×=颜色（蓝色）（秒^ 2x）color（）因此颜色（蓝色）（（d（secx-tanx））/（dx）= secxtanx-sec ^ 2x） 阅读更多 »

Pi ln3如果tan（3 ^ x）= 0，则sin（3 ^ x）= 0并且cos（3 ^ x）= + -1因此对于某个整数k，3 ^ x = kpi。我们被告知[0,1.4]有一个零。该零不是x = 0（因为tan 1！= 0）。最小的正解必须具有3 ^ x = pi。因此，x = log_3 pi。现在让我们来看看衍生品。 f'（x）= sec ^ 2（3 ^ x）* 3 ^ x ln3我们从上面知道3 ^ x = pi，所以在那一点f'= sec ^ 2（pi）* pi ln3 =（ - 1 ）^ 2 pi ln3 = pi ln3 阅读更多 »

A = 2且b = -4给定：y = ax ^ 2 + bx，y（1）= -2从给定的可以用1代替x和2代替y并写下面的等式：-2 = a + b“ [1]“当x = 1 dy / dx = 2ax + b 0 = 2a + b时，我们可以使用一阶导数为0来编写第二个等式”[2]“从等式[2]中减去等式[1]：0 - -2 = 2a + b - （a + b）2 = aa = 2通过将a = 2代入等式[1]来求b的值：-2 = 2 + b -4 = bb = -4 阅读更多 »

（df）/ dx = 2xsin（x）+ x ^ 2cos（x）来自导数的定义并采取一些限制。设f（x）= x ^ 2 sin（x）。然后（df）/ dx = lim_ {h to 0}（f（x + h） - f（x））/ h = lim_ {h to 0}（（x + h）^ 2sin（x + h） - x ^ 2sin（x））/ h = lim_ {h to 0}（（x ^ 2 + 2hx + h ^ 2）（sin（x）cos（h）+ sin（h）cos（x）） - x ^ 2sin（x））/ h = lim_ {h to 0}（x ^ 2sin（x）cos（h） - x ^ 2sin（x））/ h + lim_ {h to 0}（x ^ 2sin （h）cos（x））/ h + lim_ {h to 0}（2hx（sin（x）cos（h）+ sin（h）cos（x）））/ h + lim_ {h to 0} （h ^ 2（sin（x）cos（h）+ sin（h）cos（x）））/ h通过三角恒等式和一些简化。在这四个最后一行中，我们有四个术语。第一项等于0，因为lim_ {h to 0}（x ^ 2sin（x）cos（h） - x ^ 2sin（x））/ h = x ^ 2sin（x）（lim_ {h to 0} （cos（h）-1）/ h）= 0，例如可以看到来自泰勒扩张或L'Hospital的规则。第四项也消失了因为lim_ 阅读更多 »

-sin（x ^ 2 + 1）* 2x d / dx cos（x ^ 2 + 1）对于这个问题，我们需要使用链规则，以及cos（u）= -sin的导数这一事实（ U）。链规则基本上只是声明你可以首先根据函数内部的函数派生外部函数，然后将它乘以函数内部的导数。形式上，dy / dx = dy /（du）*（du）/ dx，其中u = x ^ 2 + 1。我们首先需要计算余弦内部位的导数，即2x。然后，在找到余弦的导数（负正弦）后，我们可以将它乘以2倍。 = -sin（X ^ 2 + 1）* 2倍 阅读更多 »

1568 * pi cc /分钟如果半径为r，那么r相对于时间t的变化率，d / dt（r）= 2 cm /分钟体积作为球形物体的半径r的函数是V（ r）= 4/3 * pi * r ^ 3我们需要在r = 14cm处找到d / dt（V）现在，d / dt（V）= d / dt（4/3 * pi * r ^ 3）= （4pi）/ 3 * 3 * r ^ 2 * d / dt（r）= 4pi * r ^ 2 * d / dt（r）但是d / dt（r）= 2cm /分钟。因此，r = 14cm处的d / dt（V）为：4pi * 14 ^ 2 * 2立方厘米/分钟= 1568 * pi cc /分钟 阅读更多 »

这是相关费率（变化）问题。吹入空气的速率将以每单位时间的体积来测量。这是音量随时间的变化率。吹入空气的速率与球囊体积增加的速率相同。 V = 4/3 pi r ^ 3我们知道（dr）/（dt）= 5“cm / sec”。当r = 13“cm”时，我们想要（dV）/（dt）。关于td /（dt）（V）= d /（dt）（4/3 pi r ^ 3）（dV）/（dt）= 4/3 pi *隐式地区分V = 4/3 pi r ^ 3 3r ^ 2（dr）/（dt）= 4 pi r ^ 2（dr）/（dt）插入你所知道的并解决你不知道的事情。 （dV）/（dt）= 4 pi（13“cm”）^ 2（5“cm / sec”）= 20 * 169 * pi“cm”^ 3“/ sec”空气以一定的速度吹入3380 pi“cm”^ 3“/ sec”。 阅读更多 »

Y = A e ^ -x + x - 1“这是一个线性的一阶diff。eq。有一种解决这种方程的通用技术。”这里的情况更简单“”。 “首先搜索齐次方程的解（=”相同的方程，右边等于零：“{dy} / {dx} + y = 0”这是一个带有常系数的线性一阶diff.eq。 msgstr“我们可以用替换”y = A e ^（rx）来解决这些问题：r A e ^（rx）+ A e ^（rx）= 0 => r + 1 = 0“（在划分为”A“之后） e ^（rx）“）”=> r = -1 => y = A e ^ -x“然后我们搜索整个方程的特定解。”“这里我们有一个简单的情况，因为我们有一个简单的多项式” “在等式的右边。”“我们尝试与解相同程度（度1）的多项式：”y = x + b => 1 + x + b = x => b = -1 => y = x - 1“是特定的解决方案。”“整个解决方案是我们找到的特定解决方案的总和以及均匀方程的解决方案：”=> y = A e ^ -x + x - 1 阅读更多 »

“见解释”“乘以”1 =（sqrt（4 x ^ 2 + x - 1）+ sqrt（x ^ 2 - 7 x + 3））/（sqrt（4 x ^ 2 + x - 1）+ sqrt （x ^ 2 - 7 x + 3））“然后你得到”lim_ {x-> oo}（3 x ^ 2 + 8 x - 4）/（sqrt（4 x ^ 2 + x - 1）+ sqrt（ x ^ 2 - 7 x + 3））“（因为”（ab）（a + b）= a ^ 2-b ^ 2“）”= lim_ {x-> oo}（3 x ^ 2 + 8 x - 4）/（sqrt（4 x ^ 2（1 + 1 /（4x）-1 /（4x ^ 2）））+ sqrt（x ^ 2（1 - 7 / x + 3 / x ^ 2））= lim {x-> oo}（3 x ^ 2 + 8 x - 4）/（2x sqrt（1 + 0 - 0）+ x sqrt（1 - 0 + 0））“（因为”lim_ {x-> oo} 1 / x = 0“）”= lim {x-> oo}（3 x ^ 2 + 8 x - 4）/（3 x）= lim {x-> oo}（x +（8/3） - （ 4/3）/ x）= oo + 8/3 - 0 = oo 阅读更多 »

DY / DX = - （T（T-4）^ 2）/（2（1-叔^ 2）^ 2）= - T / 2（（T-4）/（1-T ^ 2））^ 2 dy / dx =（y'（t））/（x'（t））y（t）= 1 /（1-t ^ 2）y'（t）=（（1-t ^ 2）d / dt [1] -1d / dt [1-t ^ 2]）/（1-t ^ 2）^ 2颜色（白色）（y'（t））=（ - （ - 2t））/（1-t ^ 2）^ 2颜色（白色）（y'（t））=（2t）/（1-t ^ 2）^ 2 x（t）= t /（t-4）x'（t）=（（t -4）d / dt [t] -td / dt [t-4]）/（t-4）^ 2颜色（白色）（x'（t））=（t-4-t）/（t- 4）^ 2颜色（白色）（x'（t））= - 4 /（t-4）^ 2 dy / dx =（2t）/（1-t ^ 2）^ 2 - ： - 4 /（t -4）^ 2 =（2T）/（1-T ^ 2）^ 2xx-（T-4）^ 2/4 =（ - 2吨（T-4）^ 2）/（4（1-叔^ 2 ）^ 2）= - （T（T-4）^ 2）/（2（1-叔^ 2）^ 2）= - T / 2（（T-4）/（1-T ^ 2））^ 2 阅读更多 »

这个积分不存在。由于区间[1，e]中的ln x> 0，我们有sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x这里，所以积分变为int_1 ^ e dx / {x ln x}替换ln x = u，然后dx / x = du使得int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u这是一个不正确的积分，因为被积函数在下限偏离。如果存在，则定义为lim_ {l - > 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u。现在int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l因为这在极限l - > 0 ^ +中发散，所以积分不存在。 阅读更多 »

在x = 1时考虑分母。 x ^ 2 + 2x -3可以写成：x ^ 2 + 2x +1 -4（x + 1）^ 2 -4（x + 1）^ 2 -2 ^ 2现在从关系a ^ 2-b ^ 2 =（a + b）（ab）我们有（x + 1 + 2）（x + 1 -2））（x + 3）（x-1））如果x = 1，则上述函数中的分母为零并且功能倾向于oo而不是可区分的。是不连续的。 阅读更多 »

V = 4 / 3r ^ 3pi（dV）/（dt）= 4/3（3r ^ 2）（dr）/ dtpi（dV）/（dt）=（4r ^ 2）（dr）/（dt）pi现在我们会查看我们的数量，以了解我们需要什么以及我们拥有什么。因此，我们知道音量变化的速度。我们也知道初始体积，这将允许我们求解半径。我们想知道7小时后半径变化的速率。 340 = 4 / 3r ^ 3pi 255 = r ^ 3pi 255 / pi = r ^ 3 root（3）（255 / pi）= r我们将此值插入导数内的“r”:( dV）/（dt） = 4（根（3）（255 / pi））^ 2（dr）/（dt）pi我们知道（dV）/（dt）= -17，所以7小时后它会融化-119“ft “^ 3。 -119 = 4（根（3）（255 / pi））^ 2（dr）/（dt）pi求解（dr）/（dt），得到：（dr）/（dt）= -0.505“ft “/”小时“希望这有帮助！ 阅读更多 »

-3。设f，（x）=（[2-x] + [x-2] -x）。我们会发现f的左手和右手限制为x到2。当x到2-，x <2;“优选地，1 <x <2”。在不等式中加-2，得到-1 lt（x-2）<0，并且将不等式乘以-1得到，1 gt 2-x gt 0 :. [x-2] = - 1 .......，和................. [2-x] = 0。 rArr lim_（x到2-）f（x）=（0 +（ - 1）-2）= - 3 .......................（ star_1）。当x到2 +时，x gt 2;“优选地”，2 lt x lt 3 :. 0 lt（x-2）lt 1，并且-1 lt（2-x）lt 0 :. [2-x] = - 1，.......，和.............. [x-2] = 0。 rArr lim_（x到2+）f（x）=（ - 1 + 0-2）= - 3 .........................（ star_2）。从（star_1）和（star_2），我们得出结论，lim_（x到2）f（x）= lim_（x到2）（[2-x] + [x-2] -x）= - 3。享受数学。！ 阅读更多 »

见下文。速度的导数是加速度，也就是说速度时间图的斜率是加速度。取速度函数的导数：v'= 2 - 2sin（2t）我们可以用a代替v'。 a = 2 - 2sin（2t）现在设置为0. 0 = 2 - 2sin（2t）-2 = -2sin（2t）1 = sin（2t）pi / 2 = 2t t = pi / 4因为我们知道0 <t <2且sin（2x）函数的周期为pi，我们可以看到t = pi / 4是加速度为0的唯一时间。 阅读更多 »

答案是= x“arc”secx-ln（x + sqrt（x ^ 2-1））+ C我们需要（sec ^ -1x）'=（“arc”secx）'= 1 /（xsqrt（x ^ 2-1））intsecxdx = ln（sqrt（x ^ 2-1）+ x）按部分积分是intu'v = uv-intuv'这里，我们有u'= 1，=>，u = xv =“arc “secx，=>，v'= 1 /（xsqrt（x ^ 2-1））因此，int”arc“secxdx = x”arc“secx-int（dx）/（sqrt（x ^ 2-1））通过替换执行第二个积分令x = secu，=>，dx = secutanudu sqrt（x ^ 2-1）= sqrt（sec ^ 2u-1）= tanu intdx / sqrt（x ^ 2-1）= int（secutanudu ）/（tanu）= intsecudu = int（secu（secu + tanu）du）/（secu + tanu）= int（（sec ^ 2u + secutanu）du）/（secu + tanu）设v = secu + tanu，= >，dv =（sec ^ 2u + secutanu）du所以，intdx / sqrt（x ^ 2-1）= int（dv）/（v）= lnv = ln（secu + tanu）= ln（x 阅读更多 »

距离以每小时sqrt（1476）/ 2节的速度变化。让两艘船之间的距离为d，他们旅行的小时数为h。根据毕达哥拉斯定理，我们得到：（15h）^ 2 +（12h）^ 2 = d ^ 2 225h ^ 2 + 144h ^ 2 = d ^ 2 369h ^ 2 = d ^ 2我们现在将其与时间区分开来。 738h = 2d（（dd）/ dt）下一步是找出两小时后两艘船相隔多远。在两个小时内，北行船将完成30节，西行船将达到24节。这意味着两者之间的距离是d ^ 2 = 24 ^ 2 + 30 ^ 2 d = sqrt（1476）我们现在知道h = 2和sqrt（1476）。 738（2）= 2sqrt（1476）（（dd）/ dt）738 / sqrt（1476）=（dd）/ dt sqrt（1476）/ 2 =（dd）/ dt我们不能忘记单位，这将是每个结小时。希望这有帮助！ 阅读更多 »

A）N（14）= 3100-400sqrt2 ~~ 2534颜色（白色）（... |）N（34）= 3900-400sqrt2 ~~ 3334 b）N（t）= 400sqrt（t + 2）+ 1500 400sqrt2我们从求解N（t）开始。我们可以通过简单地积分等式的两边来做到这一点：N'（t）= 200（t + 2）^（ - 1/2）int N'（t） dt = int 200（t + 2） ^（ - 1/2） dt我们可以用u = t + 2进行u替换来评估积分，但我们认识到du = dt，所以我们可以假装t + 2是一个变量并使用幂规则：N（t）=（200（t + 2）^（1/2））/（1/2）+ C = 400sqrt（t + 2）+ C我们可以求解常数C，因为我们知道N （0）= 1500：N（0）= 400sqrt（0 + 2）+ C = 1500 C = 1500-400sqrt2这使得我们的函数N（t）可以表示为：N（t）= 400sqrt（t + 2）+ 1500-400sqrt2然后我们可以插入14和34来得到A部分的答案：N（14）= 400sqrt（14 + 2）+ 1500-400sqrt2 = 3100-400sqrt2 ~~ 2534 N（34）= 400sqrt （34 + 2）+ = 1500-400sqrt2 ~~ 3900-400sqrt2 3334 阅读更多 »

我们来看一些衍生品！对于f（x）= 1 - x - e ^（ - 3x）/ x，我们有f'（x）= - 1 - （-3xe ^（ - 3x）-e ^（ - 3x））/ x ^ 2这简化了（排序）到f'（x）= - 1 + e ^（ - 3x）（3x + 1）/ x ^ 2因此f''（x）= e ^（ - 3x）（ - 3x-2 ）/ x ^ 3-3e ^（ - 3x）（3x + 1）/ x ^ 2 = e ^（ - 3x）（（ - 3x-2）/ x ^ 3-3（3x + 1）/ x ^ 2 ）= e ^（ - 3x）（（ - 3x-2）/ x ^ 3 +（ - 9x-3）/ x ^ 2）= e ^（ - 3x）（（ - 3x-2）/ x ^ 3 + （-9x ^ 2-3x）/ x ^ 3）= e ^（ - 3x）（（ - 9x ^ 2-6x-2）/ x ^ 3）现在让x = 4. f''（4）= e ^（ - 12）（（ - 9（16）^ 2-6（4）-2）/ 4 ^ 3）观察到指数始终为正。对于x的所有正值，分数的分子都是负的。分母对x的正值是正的。因此f''（4）<0。得出关于凹陷的结论。 阅读更多 »

Dy / dx = 2 / x ^ 2你可能想在这里使用隐式微分，但由于你有一个相对简单的方程，因此用x来解决y更容易，然后只使用正规微分。所以：2 + xy = x => y =（x-2）/ x = 1 - 2 / x现在我们只使用一个简单的幂规则：=> dy / dx = - （ - 2x ^ -2）= 2 / x ^ 2你有！请注意，您可以使用隐式微分来解决这个问题，但通过这样做，我们得到了一个仅仅x的导数，这稍微方便一些。但是，无论您使用何种方法，您的答案都应该相同。希望有帮助:) 阅读更多 »

错误如您所愿，为了使陈述成立，需要关闭区间。为了给出一个明确的反例，考虑函数f（x）= 1 / x。 f在RR {0}上是连续的，因此在（0,1）上是连续的。然而，由于lim_（x-> 0 ^ +）f（x）= oo，在（0,1）中明显没有点c，使得f（c）在（0,1）内是最大的。实际上，对于（0,1）中的任何c，我们有f（c）<f（c / 2）。因此该声明不适用于f。 阅读更多 »

请参阅说明。为了表明h是连续的，我们需要在x = 3时检查它的连续性。我们知道，h将是续。在x = 3时，当且仅当，lim_（x到3-）h（x）= h（3）= lim_（x到3+）h（x）............ ...................（AST）。如x到3-，x lt 3 :. H（X）= - X ^ 2 + 4X + 1。 ：。 lim_（x到3-）h（x）= lim_（x到3 - ） - x ^ 2 + 4x + 1 = - （3）^ 2 + 4（3）+ 1，rArr lim_（x到3-） H（X）= 4 ............................................ ..........（AST ^ 1）。类似地，lim_（x至3+）h（x）= lim_（x至3+）4（0.6）^（x-3）= 4（0.6）^ 0。 rArr lim_（x到3+）h（x）= 4 .................................... ................（AST ^ 2）。最后，h（3）= 4（0.6）^（3-3）= 4 ............................... .......（AST ^ 3）。 （ast），（ast ^ 1），（ast ^ 2）和（ast ^ 3）rArr h“在”x = 3时为续。 阅读更多 »

该功能在整个域上是连续的。 f（x）= 1 / sqrtx的域是开放区间（0，oo）。对于每个点，a，在该区间中，f是两个连续函数的商 - 具有非零分母 - 因此是连续的。 阅读更多 »

Root（4）（84）~~ 3.03注意3 ^ 4 = 81，接近84.所以root（4）（84）略大于3.为了得到更好的近似，我们可以使用线性近似，又名牛顿的方法。定义：f（x）= x ^ 4-84然后：f'（x）= 4x ^ 3并给出f（x）的近似零x = a，更好的近似值是：a - （f（a）） /（f'（a））所以在我们的例子中，把a = 3，更好的近似是：3-（f（3））/（f'（3））= 3-（3 ^ 4-84）/ （4（3）^ 3）= 3-（81-84）/（4 * 27）= 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02bar（7）这几乎准确到4位有效数字，但让我们引用近似值为3.03 阅读更多 »

这很容易被看作是不可能通过基本方法，所以我只是用数字解决它并得到：我评估n = 1,1.5,2，...的积分。 。 。 ，9.5,10,25,50,75,100。到那时它显然达到了0.5。 阅读更多 »

（LN（X ^ 2 + 1））/ X ^ 2 = sum_（N = 1）^ OO（-1）^（N + 1）/ NX ^（2N-2）= 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 ...我们知道以下用于ln（x + 1）的Maclaurin系列：ln（x + 1）= sum_（n = 1）^ oo（-1）^（n +1）/ nx ^ n = xx ^ 2/2 + x ^ 3/3 ...我们可以通过用x ^ 2替换所有x来找到ln（x ^ 2 + 1）的系列：ln（x ^ 2 + 1）= sum_（n = 1）^ oo（-1）^（n + 1）/ n（x ^ 2）^ n现在 我们可以除以x ^ 2来找到我们正在寻找的系列： （ln（x ^ 2 + 1））/ x ^ 2 = 1 / x ^ 2sum_（n = 1）^ oo（-1）^（n + 1）/ nx ^（2n）= = sum_（n = 1 ）^ OO（-1）^（N + 1）/ N *的x ^（2N）/ X ^ 2 = sum_（N = 1）^ OO（-1）^（N + 1）/ NX ^（2N- 2）= = x ^（2-2）-x ^（2 * 2-2）/ 2 + x ^（3 * 2-2）/ 3-x ^（4 * 2-2）/ 4 ... = = 1-x ^ 2/2 + x ^ 4/3-x ^ 6/4 ......这是我们正在寻找的系列。 阅读更多 »

总体步骤是：绘制与给定信息一致的三角形，标记相关信息确定哪些公式在情形中有意义（基于两个固定长度边的整个三角形的面积，以及可变高度的直角三角形的三角关系）任何未知变量（高度）回到变量（theta），它对应于唯一的给定速率（（dθ）/（dt））将一些替换成“主”公式（区域公式），以便您可以预期使用给定的速率区分并使用给定的速率来找到你的目标速率（（dA）/（dt））让我们写下正式给出的信息：（d theta）/（dt）=“0.07 rad / s”然后你有两个固定长度的边和它们之间的角度。第三个长度是一个变量值，但从技术上讲它是一个不相关的长度。我们想要的是（dA）/（dt）。然而，没有任何迹象表明这是一个直角三角形，所以让我们先假设它现在不是。理论上一致的三角形是：请记住，这不是按比例代表真正的三角形。这个区域最容易找到：A =（B * h）/ 2其中我们的基地当然是6.但是什么是h？如果我们从顶点向下垂直绘制一条分界线，我们自动在整个三角形的左侧有一个直角三角形，无论边x的长度如何：现在我们有一个直角三角形。但请注意，我们的区域公式有h但不是theta，我们只知道（d theta）/（dt）。因此，我们需要用角度来表示h。知道左边三角形上唯一已知的边是7长边：sintheta = h / 7 7sintheta = h到目前为止，我们有：（d theta）/（dt）=“0.07 rad / s”（ 1）A =（Bh）/ 2（2）7sint 阅读更多 »

我们通过找到相切点来开始这个问题。用x代替值1。 x ^ 3 + y ^ 3 = 9（1）^ 3 + y ^ 3 = 9 1 + y ^ 3 = 9 y ^ 3 = 8不知道如何在苏格拉底使用我们的数学符号显示立方根但请记住将数量提高到1/3功率是等效的。将两侧提升到1/3功率（y ^ 3）^（1/3）= 8 ^（1/3）y ^（3 * 1/3）= 8 ^（1/3）y ^（3 / 3）= 8 ^（1/3）y ^（1）= 8 ^（1/3）y =（2 ^ 3）^（1/3）y = 2 ^（3 * 1/3）y = 2 ^（3/3）y = 2 ^（1）y = 2我们刚刚发现当x = 1时，y = 2完成隐式微分3x ^ 2 + 3y ^ 2（dy / dx）= 0代替那些x来自上面的y值=>（1,2）3（1）^ 2 + 3（2）^ 2（dy / dx）= 0 3 + 3 * 4（dy / dx）= 0 3 + 12（dy / dx）= 0 12（dy / dx）= - 3（12（dy / dx））/ 12 =（ - 3）/ 12（dy）/ dx =（ - 1）/4=-0.25 =>斜率= m现在使用斜率截距公式，y = mx + b我们有（x，y）=>（1,2）我们有m = -0.25取代y = mx + b 2 = -0.25（1）+ b 2 = -0.25 + b 0.25 + 2 = b 2.25 = b切线方程... y = 阅读更多 »

无论你在那里说什么，看起来我们应该做的就是显示hatT_L = e ^（ihatp_xL //ℏ）。看起来你从这个问题得到的任何地方都对hatT_L的定义感到困惑。我们最终将证明使用hatT_L - = e ^（LhatD）= e ^（ihatp_xL //ℏ）给出[hatD，hatx] - = [ihatp_x //ℏ，hatx] = 1而不是hatT_L = e ^（ - LhatD）。如果我们希望一切都是一致的，那么如果hatT_L = e ^（ - LhatD），则必须是[hatD，hatx] = bb（-1）。我已经解决了这个问题并已经解决了。从第1部分开始，我们已经证明了对于这个定义（hatT_L - = e ^（LhatD）），[hatx，hatT_L] = -LhatT_L。由于f（x_0 - L）是hatT_L的本征态，因此想到的直接形式是指数运算符e ^（LhatD）。我们知道hatD = + ihatp_x //ℏ，我们会证明这是真的。回想一下，在第1部分所示的证明中，我们写了：hatx（hatT_L f（x_0））=（[hatx，hatT_L] + hatT_Lhatx）f（x_0）= -LhatT_Lf（x_0）+ hatT_Lhatxf（x_0），这是我们必须使用它。我们所要做的就是泰勒扩展指数运算符并证明上述证据仍然成立。这也在这里详细说明。我将它扩展为更彻底...... e ^（LhatD）= sum_（n 阅读更多 »

I = x * tan ^ -1（4x）-1 / 4log | sqrt（1 + 16x ^ 2）| + C = x * tan ^ -1（4x）-1 / 8log |（1 + 16x ^ 2）| + C（1）I = inttan ^ -1（4x）dx令，tan ^ -1（4x）= urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udurArrdx = 1 / 4sec ^ 2udu I = intu * 1 / 4sec ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu使用按部件集成，I = 1/4 [u * intsec ^ 2udu-int（d /（du）（u）* intsec ^ 2udu）du] = 1/4 [u * tanu-int1 * tanudu] = 1/4 U * TANU日志| SECU |] + C = 1/4黄褐色^ -1（4次）*（4×）-log | SQRT（1 +黄褐色^ 2U |] + C = X * tan ^ -1（4x）-1 / 4log | sqrt（1 + 16x ^ 2）| + C第二种方法：（2）I = int1 * tan ^ -1（4x）dx = tan ^ -1（4x） * x-int（1 /（1 + 16x ^ 2）* 4）xdx = x * tan ^ -1（4x）-1 / 8int（32x）/（1 + 16x ^ 2）dx = x * tan 阅读更多 »

通过部件的替换和积分，int ln（2x + 1）dx = 1/2（2x + 1）[ln（2x + 1）-1] + C让我们看一些细节。 int ln（2x + 1）dx由替换t = 2x + 1。 Rightarrow {dt} / {dx} = 2 Rightarrow {dx} / {dt} = 1/2 Rightarrow dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt by Parts by Parts，设你u = ln t dv = dt Rightarrow du = dt / t和v = t = 1/2（tlnt-int dt）= 1/2（tlnt-t）+ C，通过分解t，= 1 / 2t（lnt-1）+ C把t = 2x + 1放回去，= 1/2（2x + 1）[ln（2x + 1）-1] + C 阅读更多 »

我们的目标是降低ln x的功率，以便更容易评估积分。我们可以通过使用部件集成来实现这一点。请记住IBP公式：int u dv = uv - int v du现在，我们将u =（lnx）^ 2和dv = dx。因此，du =（2lnx）/ x dx且v = x。现在，将这些碎片组装在一起，得到：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - int（2xlnx）/ x dx这个新积分看起来好多了！简化一点，并将常数带到前面，得到：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - 2 int lnx dx现在，为了摆脱下一个积分，我们将进行第二次积分按部分，让u = ln x和dv = dx。因此，du = 1 / x dx且v = x。组装给我们：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - 2（xlnx - int x / x dx）现在，剩下要做的就是简化，记住要添加整合常量：int（ln x）^ 2 dx = x（ln x）^ 2 - 2xlnx + 2x + C我们有它。记住，按部分集成就是为了挑选你，以便从被积函数中消除混乱的东西。在这种情况下，我们将（ln x）^ 2降低到ln x，然后降低到1 / x。最后，一些x被取消了，并且它变得更容易集成。 阅读更多 »

通过部分集成，int sin ^ { - 1} xdx = xsin ^ { - 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C让我们看一些细节。设u = sin ^ { - 1} x和dv = dx。 Rightarrow du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2}和v = x按部分积分，int sin ^ { - 1} xdx = xsin ^ { - 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2 } dx设u = 1-x ^ 2。 Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / { - 2x} intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {u} {du} / { - 2x} = -1 / 2intu ^ { - 1/2} du = -u ^ {1/2} + C = -sqrt {1-x ^ 2} + C因此，int sin ^ { - 1} xdx = xsin ^ { - 1} X + SQRT {1-x ^ 2} + C 阅读更多 »

使用按部分进行积分，intx ^ 2sinpixdx =（ - 1 / pi）x ^ 2cospix +（（2）/ pi ^ 2）xsinpix +（2 / pi ^ 3）cospix + C请记住，按部分集成使用公式：intu dv = uv - intv du这是基于衍生产品规则的基础：uv = vdu + udv要使用这个公式，我们必须决定哪个项是u，哪个是dv。找出哪个术语在哪里的有用方法是ILATE方法。反向Trig对数代数Trig指数这给你一个优先顺序，用于“u”，所以剩下的就是我们的dv。我们的函数包含一个x ^ 2和一个sinpix，所以ILATE方法告诉我们x ^ 2应该用作我们的u，因为它在代数上比sinpix更高，而sinpix是trig。我们现在有：u = x ^ 2，dv = sinpix我们在公式中需要的下一项是“du”和“v”，我们通过找到“u”的导数和“dv”的积分得到。使用幂规则获得导数：d / dxx ^ 2 = 2x = du对于积分，我们可以使用替换。使用w = pix，我们最终得到（-1 / pi）cosw我们现在有：du = 2x dx，v =（ - 1 / pi）cospix插入我们原来的Integration by Parts公式，我们有：intu dv = uv - intv du = intx ^ 2sinpixdx =（ - 1 / pi）x ^ 2cospix - （-1 / pi）i 阅读更多 »

按部件集成，int x ^ 5lnx dx = x ^ 6/36（6lnx-1）+ C让我们看一些细节。设u = lnx，dv = x ^ 5dx。 Rightarrow du = {dx} / x和v = x ^ 6/6按部件集成int udv = uv-int vdu，我们有int（lnx）cdot x ^ 5dx =（lnx）cdot x ^ 6/6-int x ^ 6 / 6cdot dx / x通过分解x = 6来简化比特，= x ^ 6 / 6lnx-int x ^ 5 / 6dx by Power Rule，= x ^ 6 / 6lnx-x ^ 6/36 + C / 36，= x ^ 6/36（6lnx-1）+ C. 阅读更多 »

我们将记住部分积分的公式，即：int u dv = uv - int v du为了成功找到这个积分，我们将u = x，并且dv = cos 5x dx。因此，du = dx且v = 1/5 sin 5x。 （v可以使用快速u替换找到）我选择x作为u的值的原因是因为我知道稍后我将最终积分v乘以u的导数。因为u的导数只有1，并且因为积分trig函数本身并不会使它变得更复杂，所以我们已经有效地从被积函数中去除了x，现在只需要担心正弦。因此，插入IBP的公式，我们得到：int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - int 1/5 sin 5x dx拉出被积函数的1/5给出：int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - 1/5 int sin 5x dx积分正弦仅取u取代。由于我们已经使用u作为IBP的公式，我将使用字母q代替：q = 5x dq = 5 dx要在被积函数内得到5 dx，我将把积分乘以另外的1/5：int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - 1/25 int 5sin 5x dx并且，用q替换所有内容：int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 - 1/25 int sinq * dq我们知道sin的积分是-cos，所以我们可以很容易地完成这个积分。记住积分常数：int xcos5x dx =（x sin5x）/ 5 + 1/25 cos q + C现在我们将简单地替换回q：in 阅读更多 »

Int xe ^（ - x）dx = -xe ^（ - x） - e ^（ - x）+ C过程：int x e ^（ - x）dx =？这个整体将需要按部件集成。请记住公式：int u dv = uv - int v du我们将u = x，并且dv = e ^（ - x）dx。因此，du = dx。查找v将需要u替换;我将使用字母q而不是u，因为我们已经在部件集成公式中使用了u。 v = int e ^（ - x）dx let q = -x。因此，dq = -dx我们将重写积分，添加两个负数以适应dq：v = -int -e ^（ - x）dx用q表示：v = -int e ^（q）dq因此，v = -e ^（q）替换为q给我们：v = -e ^（ - x）现在，回顾IBP的公式，我们得到了开始替换所需的一切：int xe ^（ - x）dx = x *（ - e ^（ - x）） - int -e ^（ - x）dx简化，取消两个底片：int xe ^（ - x）dx = -xe ^（ - x）+ int e ^（ - x）dx第二个积分应该很容易解决 - 它等于v，我们已经找到了。简单地替换，但记得添加积分常量：int xe ^（ - x）dx = -xe ^（ - x） - e ^（ - x）+ C 阅读更多 »

我们将使用部分集成。记住IBP的公式，即int u dv = uv - int v du Let u = ln x，dv = x dx。我们已经选择了这些值，因为我们知道ln x的导数等于1 / x，这意味着我们现在最终会集成一些非常简单的东西，而不是集成复杂的东西（自然对数）。 （多项式）因此，du = 1 / x dx，并且v = x ^ 2 / 2.插入IBP的公式给出了：int x ln x dx =（x ^ 2 ln x）/ 2 - int x ^ 2 /（2x）dx an x 将从新的被积函数中取消：int x ln x dx =（x ^ 2 ln x）/ 2 - int x / 2 dx现在可以使用幂规则轻松找到解决方案。不要忘记积分常数：int x ln x dx =（x ^ 2 ln x）/ 2 - x ^ 2/4 + C 阅读更多 »

= lim_（h-> 0）（（x + h）^ 2 + 9（x + h） - 3 - （x ^ 2 + 9x - 3））/ h = lim_（h-> 0）（x ^ 2 + 2xh + h ^ 2 + 9x + 9h - 3 - x ^ 2 - 9x + 3）/ h = lim_（h-> 0）（取消（x ^ 2）+ 2xh + h ^ 2 +取消（9x）+ 9h - 取消（3） - 取消（x ^ 2） - 取消（9x）+取消（3））/ h = lim_（h-> 0）（2xh + h ^ 2 + 9h）/ h = lim_（h-> 0）（h（2x + h + 9））/ h = lim_（h-> 0）（取消（h）（2x + h + 9））/取消（h）= lim_（h-> 0）2x + 0 + 9 = 2x + 9 阅读更多 »

0.02083（实际值0.0208008）这可以用泰勒公式求解：f（a + x）= f（a）+ xf'（a）+（x ^ 2/2）f''（a）......如果f（a）= a ^（1/3）我们将得到：f'（a）=（1/3）a ^（ - 2/3）现在如果a = 0.008则f（a）= 0.2并且f'（a）=（1/3）0.008 ^（ - 2/3）= 25/3因此，如果x = 0.001，那么f（0.009）= f（0.008 + 0.001）~~ f（0.008）+ 0.001xxf' （0.008）= = 0.2 + 0.001 * 25/3 = 0.2083 阅读更多 »

请看下面。因此，f（x）= 1 / 2x - sinx，是一个非常简单的区分函数。回想一下，对于RR中的某些k，d / dx（sinx）= cosx，d / dx（cosx）= -sinx和d / dx（kx）= k。因此，f'（x）= 1/2 - cosx。因此，f''（x）= sinx。回想一下，如果曲线是'向上凹'，f''（x）> 0，如果是'凹下'，则f''（x）<0。我们可以相当容易地使用我们对y = sinx的图表的知识来解决这些方程，这是从pi的“偶数”倍数到“奇数”倍数的正数，从“偶数”倍数到“奇数”的负数是正数多。因此，对于（0，pi）uu（2pi，3pi）中的所有x，f（x）是向上凹的，对于（pi，2pi）中的所有x，向下凹。一般来说，曲线将具有拐点，其中f''（x）= 0（并非总是 - 必须有凹度的变化），并且求解该等式给出：{0，pi，2pi，3pi}中的x。我们从b部分知道这些点的凹度有变化，因此（0,0），（pi，pi / 2），（2pi，pi）和（3pi，3pi / 2）都是拐点。 阅读更多 »

设：a_n = 5 + 1 / n然后对于任何m，n在NN中n> m：abs（a_m-a_n）= abs（（5 + 1 / m） - （5 + 1 / n））abs（a_m -a_n）= abs（5 + 1 / m -5-1 / n）abs（a_m-a_n）= abs（1 / m -1 / n），n> m => 1 / n <1 / m：abs （a_m-a_n）= 1 / m -1 / n并且1 / n> 0：abs（a_m-a_n）<1 / m。给定任何实数epsilon> 0，然后选择整数N> 1 / epsilon。对于任何整数m，n> N，我们得到：abs（a_m-a_n）<1 / N abs（a_m-a_n）<epsilon，它证明了Cauchy对序列收敛的条件。 阅读更多 »

使用指数函数的属性来确定N，例如| 2 ^（ - n）-2 ^（ - m）| <epsilon for m，n> N收敛的定义表明{a_n}收敛如果：AA epsilon> 0“”EE N：AA m，n> N“”| a_n-a_m | <epsilon所以，给定epsilon> 0取N> log_2（1 / epsilon）和m，n> N，其中m <n As m <n，（2 ^（ - m） - 2 ^（ - n））> 0所以| 2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）| = 2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）= 2 ^（ - m）（1-2 ^（mn））现在2 ^ x总是正，（1-2 ^（mn））<1，所以2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）<2 ^（ - m）和2 ^（ - x）严格下降，m> N > log_2（1 / epsilon）2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）<2 ^（ - m）<2 ^（ - N）<2 ^（ - log_2（1 / epsilon）但是：2 ^（ -log_2（1 / epsilon））= 2 ^（log_2（epsilon））= epsilon所以：| 2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）| <epsilon 阅读更多 »

1“注意：”颜色（红色）（cos ^ 2（x）-sin ^ 2（x）= cos（2x））“所以这里我们有”lim_ {x-> pi / 2} sin（cos（x） ））/ cos（x）“现在应用规则de'Hôptial：”= lim_ {x-> pi / 2} cos（cos（x））*（ - sin（x））/（ - sin（x）） = lim_ {x-> pi / 2} cos（cos（x））= cos（cos（pi / 2））= cos（0）= 1 阅读更多 »

F'（x）=（ - 4e ^（4x）csc ^ 2（e ^（4x））（cot（e ^（4x）））^（ - 1/2））/ 2颜色（白色）（f' （x））= - （2e ^（4x）csc ^ 2（e ^（4x）））/ sqrt（cot（e ^（4x））f（x）= sqrt（cot（e ^（4x）））颜色（白色）（f（x））= sqrt（g（x））f'（x）= 1/2 *（g（x））^（ - 1/2）* g'（x）颜色（白色） ）（f'（x））=（g'（x）（g（x））^（ - 1/2））/ 2 g（x）= cot（e ^（4x））颜色（白色）（g （x））= cot（h（x））g'（x）= - h'（x）csc ^ 2（h（x））h（x）= e ^（4x）颜色（白色）（h（ x））= e ^（j（x））h'（x）= j'（x）e ^（j（x））j（x）= 4x j'（x）= 4 h'（x）= 4e ^（4x）g'（x）= - 4e ^（4x）csc ^ 2（e ^（4x））f'（x）=（ - 4e ^（4x）csc ^ 2（e ^（4x）） （cot（e ^（4x）））^（ - 1/2））/ 2颜色（白色）（f'（x））= - （2e ^（4x）csc ^ 2（e ^（4x））） / SQRT（COT（E ^（4×） 阅读更多 »

Lim_（x-> 0）（lncotx）^ tanx = 1 lim_（x-> 0）tanx = 0 lim_（x-> 0 ^ +）cotx = + oo lim_（x-> 0 ^ - ）cotx = -oo lim_（x - > + oo）ln（x）= oo oo ^ 0 = 1因为a ^ 0 = 1，a！= 0（我们会说a！= 0，因为它有点复杂，否则，有些说它是1，有人说0，其他人说它是未定义的，等等） 阅读更多 »

水的上表面的半径r与水深w的比率是恒定的，取决于锥体的整体尺寸r / w = 5/10 rarr r = w / 2锥体的体积水由公式V（w，r）= pi / 3 r ^ 2w给出，或者就给定情况而言仅用w表示V（w）= pi /（12）w ^ 3（dV）/（dw） = pi / 4w ^ 2 rarr（dw）/（dV）= 4 /（piw ^ 2）我们被告知（dV）/（dt）= -3（cu.ft./min。）（dw）/（ dt）=（dw）/（dV）*（dV）/（dt）= 4 /（piw ^ 2）*（ - 3）=（ - 12）/（piw ^ 2）当w = 6时，水深是以（dw）/（dt）（6）= =（ - 12）/（pi * 36）= -1 /（3pi）的速率变化以水位下降的速度，水深来表示水是6英尺，水以1 /（3pi）英尺/分钟的速度下降。 阅读更多 »

设V为水箱中的水量，单位为cm ^ 3;设h为水的深度/高度，单位为cm;让r为水面（顶部）的半径，单位为cm。由于水箱是倒锥形，水的质量也是如此。由于坦克的高度为6米，顶部的半径为2米，因此类似的三角形意味着 frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3，因此h = 3r。然后，倒圆锥形水的体积为V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}。现在就时间t（以分钟为单位）区分双方，得到 frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt}（链规则用于此步）。如果V_ {i}是泵入的水量，那么 frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot（ frac {200 } {3}）^ {2} cdot 20（当水的高度/深度为2米时，水的半径为 frac {200} {3} cm）。因此 frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 about 847758 frac { mbox {cm} ^ 3} {min}。 阅读更多 »

=（5）/（9 pi）ft / min对于圆柱体中的流体或半径r的给定高度h，体积为V = pi r ^ 2 h区分时间点V = 2 pi r dot rh + pi r ^ 2 dot h但是点r = 0因此点V = pi r ^ 2点h点h =点V /（pi r ^ 2）=（5）/（pi（3 ^ 2））=（5） /（9 pi）ft / min 阅读更多 »

40pi“cm”^ 2“/ min”首先，我们应该从一个我们知道的关于圆形区域，池和半径的方程开始：A = pir ^ 2但是，我们想看看有多快的区域游泳池正在增加，这听起来很像速度......听起来很像衍生物。如果我们采用A = pir ^ 2相对于时间t的导数，我们看到：（dA）/ dt = pi * 2r *（dr）/ dt（不要忘记链规则适用于右边手边，r ^ 2 - 这类似于隐式区分。）因此，我们要确定（dA）/ dt。问题告诉我们（dr）/ dt = 4，当它说“池的半径以4厘米/分钟的速度增加”时，我们也知道当r = 5时我们想要找到（dA）/ dt 。将这些值插入，我们看到：（dA）/ dt = pi * 2（5）* 4 = 40pi为了把它写成文字，我们说：池的面积以bb40pi cm“”的速度增加当圆的半径为bb5 cm时，^ bb2 / min。 阅读更多 »

R = 20 / sqrt（3）=（20sqrt（3））/ 3让我按照我的理解重述这个问题。如果此物体的表面积为200pi，则最大化体积。计划知道表面积，我们可以将高度h表示为半径r的函数，然后我们可以将体积表示为仅一个参数的函数 - 半径r。使用r作为参数需要最大化此函数。这给出了r的值。表面区域包括：4个壁，其形成平行六面体的侧表面，具有基部6r和高度h的周边，其总面积为6rh。1个屋顶，半径r和高度r的圆柱体的侧面的一半，其具有屋顶的面积，半径为r的半圆，其总面积为pi r ^ 2。得到的物体的总表面积是S = 6rh + 2pi r ^ 2知道这等于200pi，我们可以用r表示h：6rh + 2pir ^ 2 = 200pi r =（100pi-pir ^ 2） /（3r）=（100pi）/（3r） - pi / 3r此物体的体积有两部分：屋顶下方和屋顶内。在屋顶下方，我们有一个平行六面体，底座面积为2r ^ 2，高度为h，即它的体积为V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3在屋顶内我们有半个圆柱体，半径为r和高度r，它的体积是V_2 = 1 / 2pir ^ 3我们必须最大化函数V（r）= V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3看起来像这样（不按比例）图{2x-0.6x 阅读更多 »

当飞机距离雷达站2mi时，其距离增加率约为433mi / h。下面的图像代表我们的问题：P是飞机的位置R是雷达站的位置V是雷达站垂直位于飞机高度的点h是飞机的高度d是飞机与雷达站之间的距离x是平面与V点之间的距离由于平面水平飞行，我们可以得出结论，PVR是一个直角三角形。因此，毕达哥拉斯定理允许我们知道d被计算：d = sqrt（h ^ 2 + x ^ 2）我们对d = 2mi时的情况感兴趣，并且，由于飞机水平飞行，我们知道h = 1mi无论情况如何。我们正在寻找（dd）/ dt = dotd d ^ 2 = h ^ 2 + x ^ 2 rarr（d（d ^ 2））/ dt =（d（d ^ 2））/（dd）（dd）/ dt =取消（（d（h ^ 2））/（dh）（dh）/ dt）+（d（x ^ 2））/（dx）（dx）/ dt = 2d dotd = 2xdotx rarr dotd =（2xdotx ）/（2d）=（xdotx）/ d我们可以计算出，当d = 2mi时：x = sqrt（d ^ 2-h ^ 2）= sqrt（2 ^ 2-1 ^ 2）= sqrt3 mi知道飞机以500mi / h的恒定速度飞行，我们可以计算：dotd =（sqrt3 * 500）/ 2 = 250sqrt3 ~~ 433 mi / h 阅读更多 »

让我们在无穷远处找到极限。 lim_ {x to + infty} {5 + 2 ^ x} / {1-2 ^ x}将分子和分母除以2 ^ x，= lim_ {x到+ infty} {5/2 ^ x + 1 } / {1/2 ^ x-1} = {0 + 1} / {0-1} = - 1和lim_ {x到-infty} {5 + 2 ^ x} / {1-2 ^ x} = {5 + 0} / {1-0} = 5因此，它的水平渐近线是y = -1和y = 5它们看起来像这样： 阅读更多 »

见下文。 int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6（k ^ 6-2 ^ 6）和k ^ 6-2 ^ 6 =（k ^ 3 + 2 ^ 3）（k ^ 3-2 ^ 3）但k ^ 3 + 2 ^ 3 =（k +2）（k ^ 2-2k + 2 ^ 2）和k ^ 3-2 ^ 3 =（k-2）（k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2）所以k ^ 6 -2 ^ 6 =（k +2）（k ^ 2-2k + 2 ^ 2）（k-2）（k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2）或{（k + 2 = 0），（k ^ 2-2k + 2 ^ 2 = 0），（k-2 = 0），（k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2 = 0）：}最后实数值k = {-2,2}复数值k = {-1pm i sqrt3,1pm i sqrt3} 阅读更多 »

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我们有：f（x，y）=（x + y + 1）^ 2 /（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）步骤1 - 找到偏导数我们计算两个或更多个函数的偏导数变量通过区分wrt一个变量，而其他变量被视为常数。因此：第一个导数是：f_x = {（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）（2（x + y + 1）） - （（x + y + 1）^ 2）（2x）} /（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）^ 2 = {2（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）（x + y + 1） - 2x（x + y + 1）^ 2} /（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）^ 2 = {2（x + y + 1）（x ^ 2 + y ^ 2 + 1- x ^ 2-xy-x）} /（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）^ 2 = {2（x + y + 1）（y ^ 2-xy-x + 1）} /（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）^ 2 f_y = { （x ^ 2 + y ^ 2 + 1）（2（x + y + 1）） - （（x + y + 1）^ 2）（2y）} /（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）^ 2 = {2（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）（x + y + 1） - 2y（x + y + 1）^ 2} /（x ^ 2 + y ^ 2 + 1）^ 2 = {2（x + y + 1）（x ^ 2 + y ^ 2 + 1- y ^ 2-xy-y）} /（x 阅读更多 »

Dy / dx =（xcos（x）+ sin（x） - 1）/（x + cos（x））^ 2“首先，让我们回想一下商数规则：” qquad qquad qquad qquad qquad [f （x）/ g（x）] ^' = {g（x）f'（x） - f（x）g'（x）} / {g（x）^ 2} quad。 “我们有了区分功能：” qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad y = {2 + sinx} / {x + cosx} quad。使用商规则推导出以下内容：y'= {[（x + cosx）（2 + sinx）'] - [（2 + sinx）（x + cosx）']} /（x + cosx）^ 2 y '= {[（x + cosx）（cosx）] - [（2 + sinx）（1 -sinx）]} /（x + cos x）^ 2乘以分子得到你：y'= {xcosx + cos ^ 2x - （2 - 2 sinx + sinx - sin ^ 2x）} /（x + cos）^ 2 quad = {xcosx + cos ^ 2x - （2 - sinx - sin ^ 2x）} /（x + cos）^ 2 quad = {xcosx + cos ^ 2x - 2 + s 阅读更多 »

当根据时间t描述对象的位置时，参数方程是有用的。我们来看几个例子。示例1（2-D）如果粒子沿着以（x_0，y_0）为中心的半径为r的圆形路径移动，则其在时间t的位置可以通过参数方程来描述，如：{（x（t）= x_0 + rcost ），（y（t）= y_0 + rsint）：}示例2（3-D）如果粒子沿着z轴居中的半径为r的螺旋路径上升，则其在时间t的位置可以通过参数描述等式：{（x（t）= rcost），（y（t）= rsint），（z（t）= t）：}参数方程在这些例子中很有用，因为它们允许我们描述位置的每个坐标颗粒分别在时间上。我希望这有用。 阅读更多 »

物理和工程中的有用应用。从物理学家的角度来看，极坐标（r和theta）可用于计算来自许多机械系统的运动方程。通常情况下，物体会以圆圈运动，并且可以使用称为拉格朗日和系统的哈密顿量的技术来确定它们的动力学。使用极坐标有利于笛卡尔坐标将简化事情。因此，您导出的方程将是整洁和易于理解的。除了机械系统，您还可以使用极坐标并将其扩展为3D（球面坐标）。这将有助于在字段上进行计算。示例：电场，磁场和温度场。简而言之，极坐标使物理学家和工程师更容易计算。多亏了这一点，我们拥有更好的机器和更好的电力和磁力（发电必不可少）。 PS：即使你不打算在现实生活中使用它们，也要知道学校的原因和方法。关键是我们必须把无知放在一边，并欣赏我们认为理所当然的事情。没有数学，科学甚至文学，我们所知道的生活将永远不会是一样的。感谢你提出这个问题！ 阅读更多 »

可分的等式通常如下所示：{dy} / {dx} = {g（x）} / {f（y）}。通过乘以dx和f（y）来分离x和y，Rightarrow f（y）dy = g（x）dx通过积分两边，Rightarrow int f（y）dy = int g（x）dx，我们隐含地表达了解决方案：右箭头F（y）= G（x）+ C，其中F和G分别是f和g的抗衍生物。有关详细信息，请观看此视频： 阅读更多 »

限制为1. Lim_（x - > 0）（3x）/（tan3x）= Lim_（x - > 0）（3x）/（（sin3x）/（cos3x））= Lim_（x - > 0）（3xcos3x ）/（sin3x）= Lim_（x - > 0）（3x）/（sin3x）.cos3x = Lim_（x - > 0）颜色（红色）（（3x）/（sin3x））。cos3x = Lim_（x - > 0）cos3x = Lim_（x - > 0）cos（3 * 0）= Cos（0）= 1请记住：Lim_（x - > 0）颜色（红色）（（3x）/（sin3x））= 1和Lim_（x - > 0）颜色（红色）（（sin3x）/（3x））= 1 阅读更多 »

Dy / dx =（e ^ y-ye ^ x）/（e ^ x-xe ^ y）首先我们取每个项的d / dx。 d / dx [ye ^ x] = d / dx [xe ^ y] yd / dx [e ^ x] + e ^ xd / dx [y] = xd / dx [e ^ y] + e ^ yd / dx [使用链规则，我们知道：d / dx = d / dy * dy / dx ye ^ x + dy / dxe ^ xd / dy [y] = dy / dxxd / dy [e ^ y] + e ^ y ye ^ x + dy / dxe ^ x = dy / dxxe ^ y + e ^ y现在收集相似的术语。 dy / dxe ^ x-dy / dxxe ^ y = e ^ y-ye ^ x dy / dx（e ^ x-xe ^ y）= e ^ y-ye ^ x dy / dx =（e ^ y-ye ^ X）/（E ^ X-XE ^ y）的 阅读更多 »

面积=（32/3）u ^ 2，体积=（512 / 15pi）u ^ 3首先找到x轴的截距y = 4x-x ^ 2 = x（4-x）= 0因此，x = 0且x = 4面积为dA = ydx A = int_0 ^ 4（4x-x ^ 2）dx = [2x ^ 2-1 / 3x ^ 3] _0 ^ 4 = 32-64 / 3 -0 = 32 / 3u ^ 2体积为dV = piy ^ 2dx V = piint_0 ^ 4（4x-x ^ 2）^ 2dx = piint_0 ^ 4（16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4）dx = pi [16 / 3x ^ 3-2x ^ 4 + 1 / 5x ^ 5] _0 ^ 4 = pi（1024 / 3-512 + 1024 / 5-0）= pi（5120 / 15-7680/15 + 3072/15） = PI（一十五分之五百十二） 阅读更多 »

F'（x）= 3x ^ 2sqrt（x-2）sinx +（x ^ 3sinx）/（2sqrt（x-2））+ x ^ 3sqrt（x-2）cosx如果f（x）= g（x）h （x）j（x），则f'（x）= g'（x）h（x）j（x）+ g（x）h'（x）j（x）+ g（x）h（x ）j'（x）g（x）= x ^ 3 g'（x）= 3x ^ 2 h（x）= sqrt（x-2）=（x-2）^（1/2）h'（x ）= 1/2 *（x-2）^（ - 1/2）* d / dx [x-2]颜色（白色）（h'（x））=（x-2）^（ - 1/2 ）/ 2 * 1颜色（白色）（h'（x））=（x-2）^（ - 1/2）/ 2颜色（白色）（h'（x））= 1 /（2sqrt（x-） 2））j（x）= sinx j'（x）= cosx f'（x）= 3x ^ 2sqrt（x-2）sinx + x ^ 3 1 /（2sqrt（x-2））sinx + x ^ 3sqrt （x-2）cosx f'（x）= 3x ^ 2sqrt（x-2）sinx +（x ^ 3sinx）/（2sqrt（x-2））+ x ^ 3sqrt（x-2）cosx 阅读更多 »

增加为了找出函数f（x）是否在点f（a）处增加或减少，我们取导数f'（x）并找到f'（a）/如果f'（a）> 0它正在增加如果f'（a）= 0则为拐点如果f'（a）<0则减小f（x）= cosx + sinx f'（x）= - sinx + cosx f'（pi / 6）= cos （pi / 6）-sin（pi / 6）=（ - 1 + sqrt（3））/ 2 f'（pi / 6）> 0，因此它在f（pi / 6）处增加 阅读更多 »

在[0,3]上，最大值为19（在x = 3时），最小值为-1（在x = 1时）。为了在闭区间找到（连续）函数的绝对极值，我们知道极值必须发生在区间中或区间端点处的任何一个数字上。 f（x）= x ^ 3-3x + 1具有导数f'（x）= 3x ^ 2-3。在x = + - 1时，3x ^ 2-3永远不是未定义的，3x ^ 2-3 = 0。由于-1不在区间[0,3]中，我们将其丢弃。要考虑的唯一关键数字是1. f（0）= 1 f（1）= -1和f（3）= 19.因此，最大值为19（x = 3），最小值为-1（at X = 1）。 阅读更多 »

没有全局最大值。全局最小值为-3并且发生在x = 3.f（x）=（x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6）/（x - 1）f（x）=（（x - 1）（x ^ 2 - 6x + 6））/（x - 1）f（x）= x ^ 2 - 6x + 6，其中x 1 f'（x）= 2x - 6绝对极值发生在端点或关键数字。端点：1和4：x = 1 f（1）：“未定义”lim_（x 1）f（x）= 1 x = 4 f（4）= -2临界点：f'（x） = 2x - 6 f'（x）= 0 2x - 6 = 0，x = 3在x = 3 f（3）= -3时没有全局最大值。没有全局最小值为-3并且发生在x = 3处。 阅读更多 »

绝对最大值为f（.4636）约2.2361绝对最小值为f（pi / 2）= 1 f（x）= 2cosx + sinx通过微分f（x）f'（x）= - 求f'（x） 2sinx + cosx通过设置f'（x）等于0来找到任何相对极值：0 = -2sinx + cosx 2sinx = cosx在给定的时间间隔内，f'（x）改变符号（使用计算器）的唯一位置是x = .4636476现在通过将x值插入f（x）来测试x值，并且不要忘记包含边界x = 0和x = pi / 2 f（0）= 2颜色（蓝色）（f（。 4636）约2.236068）颜色（红色）（f（pi / 2）= 1）因此，[0，pi / 2]中x的f（x）的绝对最大值是颜色（蓝色）（f（.4636） ）约为2.2361），间隔上f（x）的绝对最小值为颜色（红色）（f（pi / 2）= 1） 阅读更多 »

-3（发生在x = -3）和-28（发生在x = -2）闭区间的绝对极值发生在区间的端点或f'（x）= 0处。这意味着我们必须将导数设置为0并查看得到我们的x值，并且我们必须使用x = -3和x = -1（因为这些是端点）。因此，从取导数开始：f（x）= x ^ 4-8x ^ 2-12 f'（x）= 4x ^ 3-16x设置等于0并求解：0 = 4x ^ 3-16x 0 = x ^ 3-4x 0 = x（x ^ 2-4）x = 0且x ^ 2-4 = 0因此，解是0,2和-2。我们立即摆脱0和2，因为它们不在区间[-3，-1]，只留下x = -3，-2和-1作为极值可能发生的可能位置。最后，我们逐一评估它们，看看绝对最小值和最大值是多少：f（-3）= - 3 f（-2）= - 28 f（-1）= - 19因此-3是绝对最大值-28是区间[-3，-1]的绝对最小值。 阅读更多 »

6和-2绝对极值（一个函数在一个区间内的最小值和最大值）可以通过评估区间的端点和函数的导数等于0的点来找到。我们首先评估端点间隔;在我们的例子中，这意味着找到f（0）和f（4）：f（0）= 2（0）^ 2-8（0）+ 6 = 6 f（4）= 2（4）^ 2-8 （4）+ 6 = 6注意f（0）= f（4）= 6。接下来，使用幂规则找到导数：f'（x）= 4x-8->并找到临界点;即f'（x）= 0：0 = 4x-8 x = 2的值评估临界点（我们只有一个，x = 2）：f（2）= 2（2）^ 2-8（ 2）+ 6 = -2最后，确定极值。我们看到f（x）= 6处的最大值和f（x）= - 2处的最小值;因为问题是询问绝对极值是什么，我们报告6和-2。如果问题是询问极值发生在哪里，我们将报告x = 0，x = 2和x = 4。 阅读更多 »

在[-8,8]中，O处的绝对最小值为0. x = + -8是垂直渐近线。所以，没有绝对的最大值。当然，| f | to oo，as x to + -8 ..第一个是整体图。该图是对称的，约为O.第二个是给定的极限x在[-8,8]图中{（（2x ^ 3-x）/（x ^ 2-64）-y）（y-2x）= 0 [-160,160，-80,80]}图{{2x ^ 3-x）/（x ^ 2-64）[ - 10,10,5，-5,5}}通过实际除法，y = f（ x）= 2x +127/2（1 /（x + 8）+ 1 /（x-8）），显示倾斜渐近线y = 2x，垂直渐近线x = + -8。因此，没有绝对最大值，因为| y |到oo，x到+ -8。 y'= 2-127 / 2（1 /（x + 8）^ 2 + 1 /（x-8）^ 2）= 0，在x = + -0.818和x = 13.832，几乎。 y'= 127（（2x ^ 3 + 6x）/（（x ^ 2-64）^ 3），给出x = 0作为其0. f'''在x = 0处为ne。因此，原点是点拐点（POI）。在-8,8]中，相对于原点，图（在渐近线x = + -8之间）在Q_2中是凸的并且是凹的ib Q_4#。因此，绝对最小值是0 POI，O。 阅读更多 »

绝对最大值：（pi / 4，pi / 4）绝对最小值：（0,0）给定：f（x）= 2x sin ^ 2x + x cos2x in [0，pi / 4]使用产品规则两次查找一阶导数。产品规则：（uv）'= uv'+ v u'令你= 2x; “”u'= 2设v = sin ^ 2x =（sin x）^ 2; “”v'= 2 sin x cos x f'（x）= 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + ...对于等式的后半部分：设u = x; “”u'= 1设v = cos（2x）; “”v'=（ - sin（2x））2 = -2sin（2x）f'（x）= 2x2 sin x cos x + 2sin ^ 2x + x（-2sin（2x））+ cos（2x）（1 ）简化：f'（x）=取消（2x sin（2x））+ 2sin ^ 2x取消（-2x sin（2x））+ cos（2x）f'（x）= 2 sin ^ 2x + cos（2x） f'（x）= 2 sin ^ 2x + cos ^ 2x - sin ^ 2x f'（x）= sin ^ 2x + cos ^ 2x毕达哥拉斯同一性sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1这意味着没有临界值当f'（x）= 0绝对最大值和最小值将在函数间隔的端点处找到。测试函数的端 阅读更多 »

F（x）的绝对最大值是f（1）= 6，绝对最小值是f（0）= 0。为了找到函数的绝对极值，我们需要找到它的关键点。这些是函数的点，其导数为零或不存在。函数的导数是f'（x）= 3x ^（ - 2/3）-3。这个功能（衍生物）无处不在。让我们找到零的位置：0 = 3x ^（ - 2/3）-3rarr3 = 3x ^（ - 2/3）rarrx ^（ - 2/3）= 1rarrx = 1我们还要考虑函数的端点当寻找绝对极值时：极值的三种可能性是f（1），f（0）和f（5）。计算这些，我们发现f（1）= 6，f（0）= 0，f（5）= 9root（3）（5）-15 ~~ 0.3，所以f（0）= 0是最小的f（1）= 6是最大值。 阅读更多 »

绝对最小值是（9 * root3（9））/ 26 = 0.7200290。 。 。当x = 9时发生。绝对最大值是（9 * root3（2））/ 11 = 1.030844495。 。 。当x = 2时发生。函数的绝对极值是给定域上函数的最大和最小y值。这个域可能会给我们（如在这个问题中）或它可能是函数本身的域。即使我们被赋予了域，我们也必须考虑函数本身的域，以防它排除我们给出的域的任何值。 f（x）包含指数1/3，它不是整数。幸运的是，p（x）= root3（x）的域是（-oo，oo）所以这个事实不是问题。但是，我们仍然需要考虑分母不能等于零的事实。当x = + - （1/3）= + - （sqrt（3）/ 3）时，分母将等于零。这两个值都不在[2,9]的给定域中。所以，我们转而寻找[2,9]的绝对极值。绝对极值发生在域的端点或局部极值处，即函数改变方向的点。局部极值发生在关键点，即导数等于0或不存在的域中的点。因此，我们必须找到衍生物。使用商规则：f'（x）=（（3x ^ 2-1）*（1/3）（9x ^（ - 2/3）） - 9x ^（1/3）* 6x）/（3x ^ 2-1）^ 2 f'（x）=（（3x ^ 2-1）* 3x ^（ - 2/3）-54x ^（4/3））/（3x ^ 2-1）^ 2 f' （x）=（9x ^（4/3）-3x ^（ - 2/3）-54x ^（4/3））/（3x ^ 2-1）^ 2 f& 阅读更多 »

在[-1 / pi，1 / pi]中x上存在无数个相对极值，其中f（x）= + - 1首先，让我们将区间[-1 / pi，1 / pi]的端点插入查看结束行为的功能。 f（-1 / pi）= - 1 f（1 / pi）= - 1接下来，我们通过将导数设置为零来确定临界点。 f'（x）= 1 / xcos（1 / x）+ 1 /（x ^ 2）sin（1 / x）-sin（1 / x）1 / xcos（1 / x）+ 1 /（x ^ 2 ）sin（1 / x）-sin（1 / x）= 0不幸的是，当你绘制最后一个方程时，得到以下结果因为导数的图有无穷多个根，原始函数的数量无穷大局部极端。通过查看原始函数的图形也可以看出这一点。但是，它们都没有超过+ -1 阅读更多 »

在x = 0时最小值为0，在x = 4时最大值为4 ^ 4 / e ^ 4.首先注意，在[0，oo]上，f从不为负。此外，f（0）= 0因此必须是最小值。 f'（x）=（x ^ 3（4-x））/ e ^ x，其在（0,4）上为正，在（4，oo）上为负。我们得出结论，f（4）是相对最大值。由于该函数在域中没有其他临界点，因此该相对最大值也是绝对最大值。 阅读更多 »

Y'=（ - 2x（x ^ 2 +5）^ 2 - 2（-x ^ 2 + 5）（x ^ 2 + 5）（2x））/（（x ^ 2 +5）^ 2）^ 2 y'=（ - 2x（x ^ 2 +5）^ 2 - 2（-x ^ 2 + 5）（x ^ 2 + 5）（2x））/（（x ^ 2 +5）^ 2）^ 2 y'=（ - 2x（x ^ 4 + 10x +25） - 4x（-x ^ 4 - 取消（5x ^ 2）+取消（5x ^ 2）+ 25））/（（x ^ 2 +5）^ 4 y'=（ - 2 ^ 5 - 20x ^ 2 -50x + 4x ^ 5 - 100x）/（（x ^ 2 +5）^ 4 y'=（2x ^ 5 - 20x ^ 2 - 150x）/（（ x ^ 2 +5）^ 4 阅读更多 »

绝对最大值：x = pi / 8绝对最小值。位于端点：x = 0，x = pi / 4使用链规则求出一阶导数：设u = 2x; u'= 2，所以y = sinu + cos uy'=（cosu）u' - （sinu）u'= 2cos2x - 2sin2x通过设置y'= 0和因子：2（cos2x-sin2x）= 0找到关键数字cosu = sinu？当u = 45 ^ @ = pi / 4所以x = u / 2 = pi / 8找到第二个导数：y''= -4sin2x-4cos2x使用二阶导数检验检查你是否在pi / 8处有一个最大值：y''（pi / 8）~~ -5.66 <0，因此pi / 8是区间中的绝对最大值。检查端点：y（0）= 1; y（pi / 4）= 1最小值从图中：graph {sin（2x）+ cos（2x）[ - 1，.78539816，-.5,1.54]} 阅读更多 »