回答：
正常线： #Y =（X-2-E ^ 4）/ E ^ 2#。切线： #y = e ^ 2x -e ^ 2#.
说明：
直觉：想象一下这个功能 #f（x，y）= e ^ x ln（y） - xy# 描述了某些地形的高度，在哪里 #X# 和 #Y# 是飞机上的坐标和 #ln（y）的# 假设是自然对数。然后全部 #（X，Y）# 这样的 #F（X，Y）= A# （高度）等于某个常数 #一个# 被称为水平曲线。在我们的例子中恒定的高度 #一个# 是的，因为 #F（X，Y）= 0#.
您可能熟悉地形图，其中闭合线表示相等高度的线。
现在是渐变 #grad f（x，y）=（（部分f）/（部分x），（部分f）/（部分x））=（e ^ x ln（y） - y，e ^ x / y - x） # 给我们一点方向 #（X，Y）# 在其中 #F（X，Y）# （高度）变化最快。只要我们的地形平滑（可微分），我们就不是直线上升或直下山，而是我们不在顶部，底部或高原（极值点）。这实际上是恒定高度曲线的法线方向，例如at #（X，Y）=（2，E ^ 2）#:
#grad f（2，e ^ 2）=（e ^ 2 ln（e ^ 2） - e ^ 2，e ^ 2 / e ^ 2 - 2）=（e ^ 2，-1）#.
因此， 正常线 在那个方向经历 #（2，E ^ 2）# 可谓是
#（x，y）=（2，e ^ 2）+ s（e ^ 2，-1）#, 哪里 #b in mathbbR# 是一个真实的参数。你可以消除 #小号# 表达 #Y# 作为一个功能 #X# 如果你愿意，找到
#Y =（X-2-E ^ 4）/ E ^ 2#.
切线方向的方向导数必须为 #0# （意思是高度不变），所以是切线向量 #（U，V）# 必须满足
#grad f（2，e ^ 2）cdot（u，v）= 0#
#（e ^ 2，-1）cdot（u，v）= 0#
#e ^ 2u - v = 0#
·V = E ^ 2U#, 哪里 ##CDOT 是指点积。所以 #（u，v）=（1，e ^ 2）# 是一个有效的选择。因此， 切线 经历 #（2，E ^ 2）# 可谓是
#（x，y）=（2，e ^ 2）+ t（1，e ^ 2）#, #b in mathbbR#.
解决 #Y# 给出了
#y = e ^ 2x -e ^ 2#.
你最后应该检查一下 #（2，E ^ 2）# 躺在曲线上 #F（X，Y）#，在切线上和法线上。
