回答：
#（LN（X ^ 2 + 1））/ X ^ 2 = sum_（N = 1）^ OO（-1）^（N + 1）/ NX ^（2N-2）= 1-x ^ 2/2 + X ^ 4/3-x ^ 6/4 …#
说明：
我们知道以下Maclaurin系列 #ln（X + 1）#:
#ln（X + 1）= sum_（N = 1）^ OO（-1）^（N + 1）/ NX ^ N = X-X ^ 2/2 +的x ^三分之三…#
我们可以找到一个系列 #ln（X ^ 2 + 1）# 通过替换所有的 #X#随着 #x的^ 2#:
#ln（X ^ 2 + 1）= sum_（N = 1）^ OO（-1）^（N + 1）/ n的（X ^ 2）^ N#
现在我们可以分开 #x的^ 2# 找到我们正在寻找的系列：
#（LN（X ^ 2 + 1））/ X ^ 2 = 1 / X ^ 2sum_（N = 1）^ OO（-1）^（N + 1）/ NX ^（2N）=#
#= sum_（N = 1）^ OO（-1）^（N + 1）/ N *的x ^（2N）/ X ^ 2 = sum_（N = 1）^ OO（-1）^（n + 1个）/ NX ^（2N-2）=#
#= X ^（2-2）-x ^（2×2-2）/ 2 +的x ^（3 * 2-2）/ 3-x ^（4 * 2-2）/ 4 … =#
#= 1-X ^ 2/2 +的x ^ 4/3-x ^ 6/4 …#
这是我们正在寻找的系列。
