回答：
该地区是 #=（32/3）U ^ 2# 而且音量是 #=（512 / 15pi）U ^ 3#
说明：
首先找到x轴的截距
#Y = 4X-X ^ 2 = X（4×）= 0#
因此，
#X = 0# 和 #X = 4#
该地区是
#DA = YDX#
#A = INT_0 ^ 4（4倍-X ^ 2）DX#
#= 2×^ 2-1 / 3×^ 3 _0 ^ 4#
#=32-64/3-0#
#= 32 / 3U ^ 2#
音量是
#的dV = PIY ^ 2DX#
#V = piint_0 ^ 4（4倍-X ^ 2）^ 2DX#
#= piint_0 ^ 4（16倍频^ 2-8x ^ 3 + X ^ 4）DX#
#= PI 16/3×^ 3-2x ^ 4 + 1/5倍^ 5 _0 ^ 4#
#= PI（1024 / 3-512 + 1024 / 5-0）#
#= PI（5120 / 15-7680 / 15 +一十五分之三千〇七十二）#
#= PI（一十五分之五百十二）#
回答：
一个。 #32/3#
湾 #（512pi）/ 15#
说明：
首先，我们需要找到图表所穿过的点 #X#-轴。
#4倍-X ^ 2 = X（4×）= 0#
或 #X = 0# 要么 #4-X = 0#
#x = 0或4#
现在我们知道了我们的上限和下限。
一个。 #“图表下的区域”= int_b ^ af（x）dx#
#int_0 ^ 4 4x-x ^ 2dx = 2x ^ 2-x ^ 3/3 _0 ^ 4 =（2（4）^ 2-4 ^ 3/3） - （2（0）^ 2-0 ^ 3/3）=3分之32#
湾 #“旋转量”= piint_b ^ a（f（x））^ 2dx#
#F（X）^ 2 =（4×-X ^ 2）^ 2 = 16×^ 2-8x ^ 3 + X ^ 4#
#piint_0 ^ 4 16x ^ 2-8x ^ 3 + x ^ 4dx = pi （16x ^ 3）/ 3-2x ^ 4 + x ^ 5/5 _0 ^ 4 = pi （（16（4）^ 3 ）/ 3-2（4）^ 4 + 4 ^ 10/10） - （（16（0）^ 3）/ 3-2（0）^ 4 + 0 ^ 10/10） = PI 一十五分之五百十二 =（512pi）/ 15#
