使用收敛的定义，你如何证明序列{2 ^ -n}从n = 1收敛到无穷大？

$使用收敛的定义，你如何证明序列{2 ^ -n}从n = 1收敛到无穷大？$

回答：

使用指数函数的属性来确定N等 #| 2 ^（ - n）的-2 ^（ - M）| <epsilon# 为每一个 #m，n> N#

说明：

收敛的定义表明了 #{一个}# 收敛如果：

#AA epsilon> 0“”EE N：AA m，n> N“”| a_n-a_m | <epsilon#

所以，给定 #epsilon> 0# 采取 #N> log_2（1 / epsilon）# 和 #m，n> N# 同 #m <n#

如 #m <n#, #（2 ^（ - m） - 2 ^（ - n））> 0# 所以 #| 2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）| = 2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）#

#2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）= 2 ^（ - m）（1-2 ^（m-n））#

现在 #2 ^ X# 永远是积极的， #（1- 2 ^（m-n））<1#所以

#2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）<2 ^（ - m）#

并作为 #2 ^（ - x）的# 正在严格减少 #m> N> log_2（1 / epsilon）#

#2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）<2 ^（ - m）<2 ^（ - N）<2 ^（ - log_2（1 / epsilon）#

但：

#2 ^（ - log_2（1 / epsilon））= 2 ^（log_2（epsilon））= epsilon#

所以：

#| 2 ^（ - m） - 2 ^（ - n）| <epsilon#

证明完毕

使用收敛的定义，你如何证明序列{5+（1 / n）}从n = 1收敛到无穷大？

设：a_n = 5 + 1 / n然后对于任何m，n在NN中n> m：abs（a_m-a_n）= abs（（5 + 1 / m） - （5 + 1 / n））abs（a_m -a_n）= abs（5 + 1 / m -5-1 / n）abs（a_m-a_n）= abs（1 / m -1 / n），n> m => 1 / n <1 / m：abs （a_m-a_n）= 1 / m -1 / n并且1 / n> 0：abs（a_m-a_n）<1 / m。给定任何实数epsilon> 0，然后选择整数N> 1 / epsilon。对于任何整数m，n> N，我们得到：abs（a_m-a_n）<1 / N abs（a_m-a_n）<epsilon，它证明了Cauchy对序列收敛的条件。

使用收敛的定义，如何证明序列lim 1 /（6n ^ 2 + 1）= 0收敛？

给定任何数字epsilon> 0选择M> 1 / sqrt（6epsilon），其中M为NN。然后，对于n> = M，我们得到：6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 /（6epsilon）= 1 / epsilon，因此：n> = M => 1 /（6n ^ 2 + 1）<epsilon证明了极限。