使用收敛的定义，你如何证明序列{5+（1 / n）}从n = 1收敛到无穷大？

让：

#a_n = 5 + 1 / n#

然后为任何 #N，n在NN# 同 #n> m#:

#abs（a_m-a_n）= abs（（5 + 1 / m） - （5 + 1 / n））#

#abs（a_m-a_n）= abs（5 + 1 / m -5-1 / n）#

#abs（a_m-a_n）= abs（1 / m -1 / n）#

如 #n> m => 1 / n <1 / m#:

#abs（a_m-a_n）= 1 / m -1 / n#

并作为 #1 / n> 0#:

#abs（a_m-a_n）<1 / m#.

给出任何实数 #epsilon> 0#，然后选择一个整数 #N> 1 /小量#.

对于任何整数 #m，n> N# 我们有：

#abs（a_m-a_n）<1 / N#

#abs（a_m-a_n）<epsilon#

这证明了Cauchy对序列收敛的条件。