使用a）和b）证明hatT_L = e ^（LhatD）（a）[hatT_L，hatD] = 0（b）[hatx，hatT_L] = - LhatT_L？

无论你在那里说什么，看起来我们应该做的就是表明这一点 #hatT_L = e ^（ihatp_xL //ℏ）#。看起来你从这个问题得到的任何地方都对这个问题的定义感到困惑 #hatT_L#.

我们最终将证明使用

#hatT_L - = e ^（LhatD）= e ^（ihatp_xL //ℏ）#

给

#hatD，hatx - = ihatp_x //ℏ，hatx = 1#

和 不 #hatT_L = e ^（ - LhatD）#。如果我们希望一切都是一致的，那么如果 #hatT_L = e ^（ - LhatD）#，它必须是那样的 #hatD，hatx = bb（-1）#。我已经解决了这个问题并已经解决了。

从第1部分开始，我们已经证明了这个定义（那个 #hatT_L - = e ^（LhatD）#),

#hatx，hatT_L = -LhatT_L#.

以来 #f（x_0 - L）# 是一个本征状态 #hatT_L#，想到的直接形式是指数运算符 ·E ^（LhatD）#。我们直觉 #hatD = + ihatp_x //ℏ#，我们将证明这是真的。

回想一下，在第1部分所示的证据中，我们写道：

#hatx（hatT_L f（x_0））=（hatx，hatT_L + hatT_Lhatx）f（x_0）#

#= -LhatT_Lf（x_0）+ hatT_Lhatxf（x_0）#

这就是我们必须使用它的地方。我们所要做的就是 泰勒扩大 指数运算符并显示上述证据仍然成立。

这也在这里详细说明。我把它扩展到更彻底……

#e ^（LhatD）= sum_（n = 0）^（oo）（LhatD）^（n）/（n！）= sum_（n = 0）^（oo）1 /（n！）L ^ n（ hatD）^ N#

给那个 #L# 是一个常数，我们可以将其从换向器中分解出来。 #hatx# 可以进入，而不是依赖于索引。因此：

#hatx，e ^（LhatD） = sum_（n = 0）^（oo）{1 /（n！）（L ^ n）hatx，hatD ^ n}#

现在，我们提出了 #hatD = ihatp_x //ℏ#，这是有道理的，因为我们知道：

#hatx，hatp_x f（x）=-iℏx（df）/（dx）+iℏd/（dx）（xf（x））#

#=取消（-iℏx（df）/（dx）+iℏx（df）/（dx））+iℏf（x）#

以便 #hatx，hatp_x =iℏ#。这意味着只要 #hatT_L = e ^（LhatD）#，我们最终可以在问题的两个部分得到一个CONSISTENT定义，并得到：

#color（蓝色）（hatD“，”hatx）= （ihatp_x）/（ℏ），hatx#

#= - （hatp_x）/（iℏ），hatx = -1 /（iℏ）hatp_x，hatx#

#= -1 /（iℏ）cdot - hatx，hatp_x#

#= -1 /（iℏ）cdot-iℏ= color（blue）（1）#

由此，我们进一步扩展了换向器：

#hatx，e ^（ihatp_xL //ℏ） = sum_（n = 0）^（oo）{1 /（n！）（L ^ n）hatx，（（ihatp_x）/（ℏ））^ n }#

#= sum_（n = 0）^（oo）{1 /（n！）（（iL）/（ℏ））^ n hatx，hatp_x ^ n}#

现在，我们知道 #hatx，hatp_x#，但不一定 #hatx，hatp_x ^ n#。你可以说服自己

#d ^ n /（dx ^ n）（xf（x））= x（d ^ nf）/（dx ^ n）+ n（d ^（n-1）f）/（dx ^（n-1） ）#

然后

#hatp_x ^ n = hatp_xhatp_xhatp_xcdots#

#= （-iℏ）d /（dx） ^ n =（ - iℏ）^ n（d ^ n）/（dx ^ n）#

以便：

#hatx，hatp_x ^ n = hatxhatp_x ^ n - hatp_x ^ nhatx#

#= x cdot（-iℏ）^ n（d ^ n f）/（dx ^ n） - （-iℏ）^ n d ^ n /（dx ^ n）（xf（x））#

#=（-iℏ）^ nx（d ^ nf）/（dx ^ n） - （-iℏ）^ n（x（d ^ nf）/（dx ^ n）+ n（d ^（n-1） F）/（DX ^（N-1）））#

#=（-iℏ）^ n {cancel（x（d ^ nf）/（dx ^ n）） - cancel（x（d ^ nf）/（dx ^ n）） - n（d ^（n-1） F）/（DX ^（N-1））}#

#=（-iℏ）^（n-1）（ - iℏ）（ - n（d ^（n-1）f）/（dx ^（n-1）））#

#=iℏn（-iℏ）^（n-1）（d ^（n-1））/（dx ^（n-1））f（x）#

我们认识到这一点 #hatp_x ^（n-1）=（ - iℏ）^（n-1）（d ^（n-1））/（dx ^（n-1））#。从而，

#hatx，hatp_x ^ n =iℏnhatp_x^（n-1）#，提供 #n> = 1#.

由此，我们发现：

#hatx“，”e ^（ihatp_xL //ℏ） = sum_（n = 0）^（oo）{1 /（n！）（L ^ n）hatx，（（ihatp_x）/（ℏ）） ^ N}#

#= sum_（n = 1）^（oo）{1 /（n！）（（iL）/（ℏ））^niℏnhatp_x^（n-1）}#

如果你评价的话 #n = 0# 术语，你应该看到它变为零，所以我们省略了它。继续，我们有：

#=iℏsum_（n = 1）^（oo）n /（n！）（（iL）/（ℏ））^ n hatp_x ^（n-1）#

#=iℏsum_（n = 1）^（oo）1 /（（n-1）！）（（iL）/ℏ）^（n-1）（（iL）/ℏ）hatp_x ^（n-1 ）#

在这里，我们只是试图让它看起来像指数函数。

#=iℏ（（iL）/ℏ）sum_（n = 1）^（oo）（（ihatp_xL）/ℏ）^（n-1）/（（n-1）！）#

（小组条款）

#= -L sum_（n = 1）^（oo）（（ihatp_xL）/ℏ）^（n-1）/（（n-1）！）#

（评估外面）

#= -L overbrace（sum_（n = 0）^（oo）（（ihatp_xL）/ℏ)^（n）/（n！））^（e ^（ihatp_xL //ℏ））#

（如果 #N# 从零开始， 为#（n-1）#这个词就成了 #N#这个词。）

结果，我们终于得到：

#=> color（蓝色）（hatx“，”e ^（ihatp_xL //ℏ））= -Le ^（ihatp_xL //ℏ）#

# - = -Le ^（LhatD）#

# - = color（蓝色）（ - LhatT_L）#

我们再次回到原来的换向器即那个

#hatx，hatT_L = -LhatT_L颜色（蓝色）（sqrt“”）#

最后，让我们来表明 #hatT_L，hatD = 0#.

#hatT_L，hatD = e ^（LhatD），hatD#

#= sum_（n = 0）^（oo）（（LhatD）^ n）/（n！），hatD#

#=（sum_（n = 0）^（oo）（（LhatD）^ n）/（n！））hatD - hatD（sum_（n = 0）^（oo）（（LhatD）^ n）/（n ！））#

明确地写出来，我们可以看到它的工作原理：

#= color（蓝色）（hatT_L“，”hatD）= （（LhatD）^ 0）/（0！）hatD +（（LhatD）^ 1）/（1！）hatD +。 。 。 - hatD（（LhatD）^ 0）/（0！）+ hatD（（LhatD）^ 1）/（1！）+。 。 。 #

#=（（LhatD）^ 0）/（0！）hatD - hatD（（LhatD）^ 0）/（0！）+（（LhatD）^ 1）/（1！）hatD - hatD（（LhatD）^ 1）/（1！）+。 。 。 #

#= （（LhatD）^ 0）/（0！），hatD + （LhatD）^（1）/（1！），hatD +。 。 。 #

#= L ^ 0 /（0！）（hatD）^ 0，hatD + L ^ 1 /（1！）（hatD）^（1），hatD +。 。 。 #

#= color（蓝色）（sum_（n = 0）^（oo）L ^ n /（n！）（hatD）^ n“，”hatD）#

从那以后 #hatD# 总是与自己通勤， #hatD ^ n，hatD = 0# 因此，

#hatT_L，hatD = 0# #COLOR（蓝色）（开方 “”）#