结石

我们在x = 0处有一个最大值。因为f（x）= - 2x ^ 2 + 9，f'（x）= - 4x因为对于x = 0，f'（x）= 0，因此我们在x处有一个局部极值= -9 / 4此外，f''（x）= - 4因此在x = 0时，我们在x = 0图上有一个最大值{-2x ^ 2 + 9 [-5,5，-10,10] } 阅读更多 »

没有当地的极端情况。当f'= 0并且f'从正切换为负或反之时，可能发生局部极值。 f（x）= x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x f'（x）= - x ^ -2 - （ - 3x ^ -4）+ 5x ^ 4-1乘以x ^ 4 / x ^ 4：f'（x）=（ - x ^ 2 + 3 + 5x ^ 8-x ^ 4）/ x ^ 4 =（5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3）/ x ^ 4当f'= 0时，可能发生局部极值。因为当代数发生时我们无法求解，让我们用图表f'：f'（x）：graph {（5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3）/ x ^ 4 [-5,5， -10.93,55]} f'没有零。因此，f没有极值。我们可以用f：graph {x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x [-5,5，-118.6,152.4]}的图来检查。没有极值！ 阅读更多 »

局部极值在x = -sqrt（3/2）处为-2sqrt（6），在x = sqrt（3/2）处为2sqrt（6）局部极值位于函数的一阶导数求值为0的点处。因此，为了找到它们，我们首先找到导数f'（x），然后求解f'（x）= 0. f'（x）= d / dx（2x + 3 / x）=（d / dx2x ）+ d / dx（3 / x）= 2 - 3 / x ^ 2接下来，求解f'（x）= 0 2-3 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2 = 3/2 => x = + -sqrt（3/2）因此，在这些点评估原始函数时，我们得到-2sqrt（6）作为x = -sqrt（3/2）和2sqrt（6）的局部最大值作为局部最小值x = sqrt（3/2） 阅读更多 »

最小f：38.827075，x = 4.1463151，另一个是负x。我很快就会访问这里，其他最小值。实际上，f（x）=（x中的双二次）/（x-1）^ 2。使用部分分数的方法，f（x）= x ^ 2 + 3x + 4 + 3 /（x-1）+ 42 /（x-1）^ 2这个形式揭示了渐近抛物线y = x ^ 2 + 3x +4和垂直渐近线x = 1.当x到+ -oo，f到oo。第一张图显示了低位的抛物线渐近线。第二个显示垂直渐近线左侧的图形，x = 1，第三个是右侧。这些被适当地缩放以显示局部最小值f = 6和35，几乎使用具有起始器x_0 = 3的数值迭代方法，Q_1最小值f在38.827075处，在x = 4.1473151处，接近。我很快就会到来，Q_2最低限度。图{（x ^ 2 + 3x + 4 + 3 /（x-1）+ 42 /（x-1）^ 2-y）（x + .0000001y-1）（yx ^ 2-3x-4）= 0 [ -10,10,0,50]}图{{x ^ 2 + 3x + 4 + 3 /（x-1）+ 42 /（x-1）^ 2-y）（x + .0000001y-1）= 0 [-10,10，-10,10]}图{{x ^ 2 + 3x + 4 + 3 /（x-1）+ 42 /（x-1）^ 2-y）（x + .0000001y-1） = 0 [0,10,0,50]} 阅读更多 »

F_（分钟）= F（1/4 + 2 ^（ - 5/3））=（2 ^（2/3）+ 3 + 2 ^（5/3））/ 4。观察到，f（x）= 4x ^ 2-2x + x /（x-1/4）; x在RR- {1/4}。 = 4X ^ 2-2x + 1 / 4-1 / 4 + {（X-1/4）+1/4} /（X-1/4）; xne1 / 4 =（2x-1/2）^ 2-1 / 4 + {（x-1/4）/（x-1/4）+（1/4）/（x-1/4）}; xne1 / 4 = 4（x-1/4）^ 2-1 / 4 + {1+（1/4）/（x-1/4）}; xne1 / 4 :. F（X）= 4（X-1/4）^ 2 + 3/4 +（1/4）/（X-1/4）; xne1 / 4。现在，对于局部极值，f'（x）= 0，和f''（x）>或<0，“根据”f_（min）或f_（max），“resp。” f'（x）= 0 rArr 4 {2（x-1/4）} + 0 + 1/4 {（ - 1）/（x-1/4）^ 2} = 0 ...（ast）rArr 8（x-1/4）= 1 / {4（x-1/4）^ 2}，或（x-1/4）^ 3 = 1/32 = 2 ^ -5。 rArr x = 1/4 + 2 ^（ - 5/3）此外，（ast）rArr f''（x）= 8-1 / 4 {-2（x-1/4）^ - 3}，“所以那个，“f 阅读更多 »

在x = pi / 2 f''（x）= - 1时，我们有局部最大值，在x = 3pi / 2时，f''（x）= 1，我们有局部最小值。最大值是函数上升然后再次下降的高点。因此，切点的斜率或该点处的导数值将为零。此外，由于最大值左侧的切线将向上倾斜，然后变平然后向下倾斜，切线的斜率将连续减小，即二阶导数的值将为负。另一方面，最小值是函数下降然后再次上升的低点。因此，切线或最小值处的导数值也将为零。但是，由于最小值左侧的切线将向下倾斜，然后变平然后向上倾斜，切线的斜率将不断增加或二阶导数的值将为正。然而，这些最大值和最小值可以是通用的，即整个范围的最大值或最小值，或者可以是局部的，即在有限范围内的最大值或最小值。让我们参考问题中描述的函数来看这一点，为此我们首先区分f（x）= sinx。 f'（x）= cosx且在[0,2pi]上，在x = pi / 2且x =（3pi）/ 2时为0。 f''（x）= - sinx，而在x = pi / 2 f''（x）= - 1意味着我们有一个局部最大值，在x = 3pi / 2，f''（x）= 1意味着我们有一个当地的最小值。图{sinx [-1,7，-1.5,1.5]} 阅读更多 »

接近+ -1.7。请参见给出此近似值的图表。稍后我会尝试给出更准确的值。第一个图显示渐近线x = 0，+ -pi / 2 + -3 / 2pi，+ -5 / 2pi，..注意，tan x / x ^ 2 =（1 / x）（tanx / x）具有limit + -oo，as x to 0 _ + - 第二个（不按比例的ad hoc）图形将局部极值近似为+ -1.7。我稍后会改进这些。没有全球极端。图{tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-20,20，-10,10]}图{tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-2,2，-5,5 ]} 阅读更多 »

X = 1.763使用商法则得出lnx / e ^ x的导数：f'（x）=（（1 / x）e ^ x-ln（x）（e ^ x））/ e ^（2x）取出ae ^ x从顶部向下移动到分母：f'（x）=（（1 / x）-ln（x））/ e ^ x当f'（x）= 0时找到这只发生在numerator为0：0 =（1 / x-ln（x））你需要一个图形计算器。 x = 1.763插入1.763以下的数字会给你一个积极的结果，而插入一个高于1.763的数字会给你带来负面结果。所以这是一个局部最大值。 阅读更多 »

最小值（0,0）最大值（-4 / 3,1 5/27）给定-y = x ^ 2（x + 2）y = x ^ 3 + 2x ^ 2 dy / dx = 3x ^ 2 + 4x（d ^ 2y）/（dx ^ 2）= 6x + 4 dy / dx = 0 => 3x ^ 2 + 4x = 0 x（3x + 4）= 0 x = 0 3x + 4 = 0 x = -4 / 3 X = 0; （d ^ 2y）/（dx ^ 2）= 6（0）+ 4 = 4> 0在x = 0时; dy / dx = 0;（d ^ 2y）/（dx ^ 2）> 0因此函数在x = 0时具有最小值在x = 0; y =（0）^ 2（0 + 2）= 0最小值（ 0,0）在x = -4 / 3; （d ^ 2y）/（dx ^ 2）= 6（-4/3）+ 4 = -4 <0 at x = -4; dy / dx = 0;（d ^ 2y）/（dx ^ 2）<0因此该函数的最大值为x = -4 / 3在x = -4 / 3; y =（ - 4/3）^ 2 （-4/3 + 2）= 1 5/27 Maxima（-4 / 3,1 5/27）观看视频 阅读更多 »

局部最大值为25 +（26sqrt（13/3））/ 3局部最小值为25 - （26sqrt（13/3））/ 3为了找到局部极值，我们可以使用一阶导数检验。我们知道，在局部极值处，函数的一阶导数至少等于零。所以，让我们采用一阶导数并将其设置为0并求解x。 f（x）= -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x +13 f'（x）= -3x ^ 2 + 6x + 10 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10这种相等性可以通过二次方便地求解式。在我们的例子中，a = -3，b = 6和c = 10二次公式状态：x =（ - b + - sqrt（b ^ 2 - 4ac））/（2a）如果我们将我们的值插回到二次公式中，我们得到x =（ - 6 + - sqrt（156））/ - 6 = 1 + - sqrt（156）/ 6 = 1 + - sqrt（13/3）现在我们得到局部极值的x值是的，让我们把它们插回到我们原来的等式中得到：f（1 + sqrt（13/3））= 25 +（26sqrt（13/3））/ 3和f（1 - sqrt（13/3））= 25 - （26sqrt（13/3））/ 3 阅读更多 »

MAX（0; 0）和MIN（-10 / 3,20 / 29）我们计算f'（x）= - x（3x + 10）/（x ^ 2-3x-5）^ 2 f''（x ）= 2（3x ^ 2 + 15x ^ 2 + 25）/（x ^ 2-3x-5）^ 3所以f'（x）= 0如果x = 0或x = -10 / 3我们还有f' '（0）= - 2/5 <0且f''（ - 10/3）= 162/4205> 0 阅读更多 »

X = -5 f（x）= [（x-2）（x-4）^ 3] /（x ^ 2-2）x ^ 2-2 =（x + 2）（x-2）所以函数将成为：f（x）= [（x-4）^ 3] /（x + 2）现在f'（x）= d / dx [（x-4）^ 3] /（x + 2）f' （x）= [3（x + 2）（x-4）^ 2-（x-4）^ 3] /（x + 2）^ 2对于局部极值点f'（x）= 0所以[3（ x + 2）（x-4）^ 2-（x-4）^ 3] /（x + 2）^ 2 = 0 [3（x + 2）（x-4）^ 2-（x-4） ^ 3] = 0 3（x + 2）（x-4）^ 2 =（x-4）^ 3 3x + 6 = x-4 2x = -10 x = -5 阅读更多 »

相对最大值：（ - 1,6）相对最小值：（3，-26）给定：f（x）= x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x + 1通过找到一阶导数并将其设置为等于找到临界数零：f'（x）= 3x ^ 2 -6x - 9 = 0因子：（3x + 3）（x -3）= 0临界数：x = -1，“”x = 3使用二阶导数检验找出这些关键数字是相对最大值还是相对最小值：f''（x）= 6x - 6 f''（ - 1）= -12 <0 =>“相对最大值”x = -1 f''（ 3）= 12> 0 =>“相对最小值”x = 3 f（-1）=（ - 1）^ 3 - 3（-1）^ 2 - 9（-1）+ 1 = 6 f（3） = 3 ^ 3 - 3（3）^ 2 - 9（3）+ 1 = -26相对最大值：（ - 1,6）相对最小值：（3，-26） 阅读更多 »

当函数的导数为零时，即当f'（x）= 0时，发生转折点（局部极值）。即当3x ^ 2-7 = 0 => x = + - sqrt（7/3）时。由于二阶导数f''（x）= 6x，而f''（sqrt（7/3））> 0和f''（ - sqrt（7/3））<0，它意味着sqrt（7 / 3）是相对最小值，-sqrt（7/3）是相对最大值。通过替换回原始等式可以找到相应的y值。函数图表验证了上述计算。图{x ^ 3-7x [-16.01,16.02，-8.01,8]} 阅读更多 »

（0,15），（4，-17）当函数的导数为0时，将出现局部极值或相对最小值或最大值。因此，如果我们找到f'（x），我们可以将它设置为相等到0. f'（x）= 3x ^ 2-12x设置等于0. 3x ^ 2-12x = 0 x（3x-12）= 0设置每个部分等于0. {（x = 0），（ 3x-12 = 0rarrx = 4）：}极值发生在（0,15）和（4，-17）。在图表上查看它们：图形{x ^ 3-6x ^ 2 + 15 [-42.66,49.75，-21.7,24.54]}极值或方向变化位于（0,15）和（4， - 17）。 阅读更多 »

F（x）_max =（1.37,8.71）f（x）_min =（4.63，-8.71）f（x）= x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 f'（x）= 3x ^ 2-18x +19 f''（x）= 6x-18对于局部最大值或最小值：f'（x）= 0因此：3x ^ 2-18x + 19 = 0应用二次公式：x =（18 + -sqrt（18） ^ 2-4xx3xx19））/ 6 x =（18 + -sqrt96）/ 6 x = 3 + -2 / 3sqrt6 x~ = 1.367或4.633测试局部最大值或最小值：f''（1.367）<0 - >局部最大值f''（4.633）> 0 - >局部最小值f（1.367）〜= 8.71局部最大值f（4.633）〜= -8.71局部最小值这些局部极值可以在下面的f（x）图上看到。图{x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 [-22.99,22.65，-10.94,11.87]} 阅读更多 »

F（x）的局部最大值约为（0.1032,15.0510）f（x）的局部最小值约为（3.2301，-0.2362）f（x）=（x-3）（x ^ 2-2x-5）应用产品规则。 f'（x）=（x-3）* d / dx（x ^ 2-2x-5）+ d / dx（x-3）*（x ^ 2-2x-5）应用幂规则。 f'（x）=（x-3）（2x-2）+ 1 *（x ^ 2-2x-5）= 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 = 3x ^ 2-10x +1对于局部极值f'（x）= 0因此，3x ^ 2-10x + 1 = 0应用二次方程式。 x =（+ 10 + -sqrt（（ - 10）^ 2-4 * 3 * 1））/（2 * 3）=（10 + -sqrt（88））/ 6约3.2301或0.1032 f''（x ）= 6x-10对于极值点处的局部最大f''<0。对于极端点的局部最小f'> 0。测试f''（3.2301）> 0 - > f（3.2301）= f_min测试f''（0.1032）<0 - > f（0.1032）= f_max因此，f_max约（0.1032-3）（0.1032 ^ 2-2 * 0.1032-5）约15.0510并且，f_min约（3.2301-3）（3.2301 ^ 2-2 * 3.2 阅读更多 »

X_1 = -1是最大值x_2 = 1是最小值首先通过将一阶导数等于零来找到临界点：f'（x）= 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 = 0当x！= 0时，我们可以乘以x ^ 2 3x ^ 4-x ^ 2-3 = 0 x ^ 2 = frac（1 + -sqrt（1 + 24））6 so x ^ 2 = 1，因为另一个根是负数，x = + - 1然后我们看二阶导数的符号：f''（x）= 6x + 6 / x ^ 3 f''（ - 1）= -12 <0 f''（1）= 12> 0因此：x_1 = -1是最大值x_2 = 1是最小值{x ^ 3-x + 3 / x [-20,20，-10,10] } 阅读更多 »

局部最大值~~ -0.794（在x~~-0.563）和局部最小值为~~ 18.185（在x~~-3.107）和~~-2.081（在x~0.887）f'（x）=（2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2-8x-12）/（x ^ 3-3x + 4）^ 2临界数是2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2的解-8x-12 = 0.我没有确切的解决方案，但使用数值方法会发现实际解近似为：-3.107， - 0.563和0.887 f''（x）=（2x ^ 9-18x ^ 7 + 14x ^ 6 + 108x ^ 5-426x ^ 4 + 376x ^ 3 + 72x ^ 2 + 96x-104）/（x ^ 3-3x + 4）^ 3应用二阶导数测试：f''（ - 3.107）> 0，所以f（-3.107）~~ 18.185是局部最小值f''（ - 0.563）<0，所以f（ - 0.563）~~ -0.794是局部最大值f''（0.887）> 0，所以f（0.887） ）~~ -2.081是局部最小值 阅读更多 »

（1，e ^ -1）我们需要使用乘积规则：d / dx（uv）= u（dv）/ dx + v（du）/ dx :. f'（x）= xd / dx（e ^ -x）+ e ^ -x d / dx（x）:. f'（x）= x（-e ^ -x）+ e ^ -x（1）:. f'（x）= e ^ -x-xe ^ -x at min / max f'（x）= 0 f'（x）= 0 => e ^ -x（1-x）= 0现在，e RR中的^ x> 0 AA x :. f'（x）= 0 =>（1-x）= 0 => x = 1 x = 1 => f（1）= 1e ^ -1 = e ^ -1因此，在（1）处有一个转折点，e ^ -1）图{xe ^ -x [-10,10，-5,5]} 阅读更多 »

此功能没有局部极值。 f（x）= xlnx-xe ^ x表示g（x）equiv f ^'（x）= 1 + lnx - （x + 1）e ^ x对于x为局部极值，g（x）必须为零。我们现在将证明，对于x的任何实际值都不会出现这种情况。注意g ^'（x）= 1 / x-（x + 2）e ^ x，qquad g ^ {''}（x）= -1 / x ^ 2-（x + 3）e ^ x因此g如果e ^ x = 1 /（x（x + 2）），则^'（x）将消失。这是一个可以用数值求解的超越方程。由于g ^'（0）= + oo和g ^'（1）= 1-3e <0，因此根位于0和1之间。由于g ^ {''}（0）<0表示所有正x，这是唯一的根，它对应于g（x）的最大值很容易用数字求解方程，这表明g（x）在x = 0.3152处有一个最大值，最大值是g（0.3152） = -1.957。由于g（x）的最大值是负的，因此没有g（x）消失的x的值。以图形方式查看它可能是有益的：graph {xlog（x）-xe ^ x [-0.105,1，-1.175,0.075]}从上图中可以看出，函数f（x）实际上有一个最大值在x = 0 - 但这不是局部最大值。下图显示g（x）equiv f ^'（x）从不取零值。图{1 + log（x） - （x + 1）* e ^ x [-0.105 阅读更多 »

X_1 = 2.430500874043和y_1 = -1.4602879768904最大点x_2 = -1.0971675407097和y_2 = -0.002674986072485最小点确定f（x）的导数f'（x）=（（x-2）（x-4）^ 3 * 1 -x [（x-2）* 3（x- 4）^ 2 +（x-4）^ 3 * 1]）/ [（x-2）（x-4）^ 3] ^ 2取分子然后等于零（（x-2）（x-4）^ 3 * 1-x [（x-2）* 3（x- 4）^ 2 +（x-4）^ 3 * 1]）= 0简化（x-2）（x-4）^ 3-3x（x-2）（x-4）^ 2-x（x-4）^ 3 = 0分解共同项（x-4）^ 2 * [ （x-2）（x-4）-3x（x-2）-x（x-4）] = 0（x-4）^ 2 *（x ^ 2-6x + 8-3x ^ 2 + 6x- x ^ 2 + 4x）= 0（x-4）^ 2（-3x ^ 2 + 4x + 8）= 0 x的值为：x = 4渐近线x_1 =（4 + sqrt（112））/ 6 = 2.430500874043使用x_1获取y_1 = -1.4602879768904最大x_2 =（4-sqrt（112））/ 6 = -1.0971675407097使用x_2获取y_2 = -0.002674986072485#最小值 阅读更多 »

多项式在任何地方都是可微的，所以通过简单地找到f'= 0 f'= 12x ^ 2 + 6x-6 = 0的解来寻找临界值使用代数来求解这个简单的二次方程：x = -1且x = 1 / 2通过插入二阶导数确定它们是min还是max：f''= 24x + 6 f''（ - 1）<0，所以-1是最大f''（1/2）> 0，所以1/2是帮助的最小希望 阅读更多 »

F（x）= x ^ 2 / {（x-2）^ 2这个函数在x = 2处有一个垂直渐近线，当x到达+ oo（水平渐近线）时从上面接近1并且随着x变为接近1到-oo。所有衍生物在x = 2时也未定义。在x = 0，y = 0时有一个局部最小值（对于原点来说都是麻烦！）注意你可能想检查我的数学，即使我们中最好的人丢掉奇怪的负号，这是一个很长的问题。 f（x）= x ^ 2 / {（x-2）^ 2此函数在x = 2时具有垂直渐近线，因为当x = 2时分母为零。它从上面接近1，因为x到+ oo（水平渐近线）并且当x到达-oo时从下面接近1，因为对于大值x ^ 2~ =（x-2）^ 2，其中x ^ 2>（x对于x> 0，-2）^ 2，对于x <0，x ^ 2 <（x-2）^ 2。为了找到最大/最小值，我们需要一阶和二阶导数。 {d f（x）} / dx = d / dx（x ^ 2 / {（x-2）^ 2}）使用商规则！ {df（x）} / dx =（{（d / dx x ^ 2）（x-2）^ 2 - x ^ 2（d / dx（x-2）^ 2）} / {（x-2） ^ 4}）。使用权力规则和链规则得到：{df（x）} / dx = {（2x）（x-2）^ 2 - x ^ 2（2 *（x-2）* 1）} /（x -2）^ 4。我们现在小了一点... {df（x）} / dx = {2x（x ^ 2-4x + 4） - x ^ 2（2 阅读更多 »

Bb l（lambda）=（39,81）+ lambda（8,27）bb r（t）=（4t ^ 2 + 3,3t ^ 3）bbr（3）=（39,81）bb r'（t ）=（8t，9t ^ 2）这是切向量。 bb r'（3）=（24,81）切线是：bb l（lambda）= bb r（3）+ lambda bb r'（3）=（39,81）+ lambda（24,81）我们可以稍微考虑方向向量：bb l（lambda）=（39,81）+ lambda（8,27） 阅读更多 »

Int ln（xe ^ x）/（x）dx = ln ^ 2（x）/ 2 + x + C我们给出： int ln（xe ^ x）/（x）dx使用ln（ab）= ln （a）+ ln（b）：= int（ln（x）+ ln（e ^ x））/（x）dx使用ln（a ^ b）= bln（a）：= int（ln（x ）+ xln（e））/（x）dx使用ln（e）= 1：= int（ln（x）+ x）/（x）dx分割分数（x / x = 1）：= int （ln（x）/ x + 1）dx分离求和积分：= int ln（x）/ xdx + int dx第二个积分只是x + C，其中C是任意常数。第一个积分，我们使用u替换：设u equiv ln（x），因此du = 1 / x dx使用u替换：= int udu + x + C积分（任意常数C可以吸收任意常数第一个不定积分：= u ^ 2/2 + x + C代替x：= ln ^ 2（x）/ 2 + x + C 阅读更多 »

T = 0和t =（ - 3 + -sqrt（13））/ 2函数的临界点是函数的导数为零或未定义的位置。我们首先找到衍生物。我们可以使用幂规则来做到这一点：d / dt（t ^ n）= nt ^（n-1）s'（t）= 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t该函数是为所有实数定义的，所以我们不会找到任何关键点，但我们可以求解函数的零点：12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t = 0 12t（t ^ 2 + 3t-1）= 0使用零因子原理，我们看到t = 0是一个解决方案。我们可以使用二次方程式求解二次因子等于零时：t =（ - 3 + -sqrt（9 + 4））/ 2 =（ - 3 + -sqrt（13））/ 2 阅读更多 »

-cosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C 阅读更多 »

当n很大时，序列与n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n具有相同的行为您应该稍微操作表达式以使上述语句清晰。将所有项除以n ^ 5。 n ^ 4 /（n ^ 5 + 1）=（n ^ 4 / n ^ 5）/（（n ^ 5 + 1）/ n ^ 5）=（1 / n）/（1 + 1 / n ^ 5 ）。当n-> oo时存在所有这些限制，因此我们得到：lim_（n-> oo）n ^ 4 /（n ^ 5 + 1）=（n ^ 4 / n ^ 5）/（（n ^ 5 + 1 ）/ n ^ 5）=（1 / n）/（1 + 1 / n ^ 5）= 0 /（1 + 0）= 0，因此序列趋于0 阅读更多 »

X in {-3 / 2,3 / 2}这个问题实际上是在询问y = 1 / x的切线（可以认为是切点处的斜率）与y = -4 /的平行线9X + 7。当两条线具有相同的斜率时，它们是平行的，这相当于询问y = 1 / x的正切线是否具有-4/9的斜率。与（x_0，f（x_0））处的y = f（x）相切的线的斜率由f'（x_0）给出。与上述一起，这意味着我们的目标是求解方程f'（x）= -4/9，其中f（x）= 1 / x。取导数，我们得f'（x）= d / dx1 / x = -1 / x ^ 2求解，-1 / x ^ 2 = -4/9 => x ^ 2 = 9/4 :. x = + -3 / 2 阅读更多 »

F'（x）= - sec ^ 2xsin（tanx）cos（cos（tanx））f（x）= sin（g（x））f'（x）= g'（x）cos（g（x）） g（x）= cos（h（x））g'（x）= - h'（x）sin（h（x））h（x）= tan（x）h'（x）= sec ^ 2x g '（x）= - sec ^ 2xsin（tanx）g（x）= cos（tanx）f'（x）= - sec ^ 2xsin（tanx）cos（cos（tanx）） 阅读更多 »

颜色（蓝色）（（1-3e ^（ - 3x））/（x + 4 + e ^（ - 3x）））如果：y = ln（x）<=> e ^ y = x使用此定义给定函数：e ^ y = x + 4 + e ^（ - 3x）隐式区分：e ^ ydy / dx = 1 + 0-3e ^（ - 3x）除以：颜色（白色）（88）bb（e ^ y）dy / dx =（1-3e ^（ - 3x））/ e ^ y从上面：e ^ y = x + 4 + e ^（ - 3x）:. DY / DX =颜色（蓝色）（（1-3E ^（ - 3×））/（X + 4 + E ^（ - 3×））） 阅读更多 »

Gottfried Wilhelm Leibniz是一位数学家和哲学家。他对数学世界的许多贡献都是以哲学和逻辑的形式出现，但他更为人所知的是发现积分与图形区域之间的统一。他主要专注于将微积分纳入一个系统并发明明确定义微积分的符号。他还发现了诸如高等衍生品等概念，并深入分析了产品和链条规则。 Leibniz主要使用他自己发明的符号，例如：y = x表示函数，在这种情况下，f（x）与y dy / dx相同，表示函数intydx的导数表示a的反导数函数因此，例如，产品规则如下所示：“设”y = uv，其中u和v都是函数“然后”dy / dx = u（dv）/ dx + v（du）/ dx这种表示法可以对某些人来说是压倒性的，这是牛顿进入画面的地方。 阅读更多 »

如果函数没有针对特定值（或多个值）定义良好，则该函数具有不连续性;有3种类型的不连续性：无限，点和跳跃。许多常见功能具有一个或多个不连续性。例如，对于x = 0，函数y = 1 / x没有很好地定义，所以我们说它对于x的值具有不连续性。见下图。请注意，曲线不会在x = 0处交叉。换句话说，函数y = 1 / x对于x = 0没有y值。以类似的方式，周期函数y = tanx在x = pi / 2，（3pi）/ 2，（5pi）/ 2处具有不连续性......当分母等于0时，在有理函数中出现无限不连续性.y = tan x =（sin x）/（cos x），因此在cos x = 0时出现不连续性。当您在分子和分母之间找到共同因子时，会发生点不连续。例如，y =（（x-3）（x + 2））/（x-3）在x = 3处具有点不连续性。创建分段函数以移除点时，也会发生点不连续。例如：f（x）= {x，x！= 2; 3，x = 0}在x = 0处具有点不连续性。使用分段或特殊功能发生跳转不连续。例如地板，天花板和分数部分。 阅读更多 »

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561（79 / 2ln（x ^ 2 + 2）+ 47sqrt2tan ^ -1（（sqrt2x）/ 2））+ C因为分母已经考虑了因素，所有我们需要做的部分分数是求解常数：（3x ^ 2-x）/（（x ^ 2 + 2）（x-3）（x-7））=（Ax + B） /（x ^ 2 + 2）+ C /（x-3）+ D /（x-7）注意，我们在最左边的部分需要一个x和一个常数项，因为分子总是低于1度分母。我们可以通过左侧分母相乘，但这将是一项巨大的工作，所以我们可以聪明地使用掩盖方法。我不会详细讨论这个过程，但基本上我们所做的是找出使分母等于零的原因（在C的情况下是x = 3），并将其插入左侧并在覆盖时进行评估上升对应于此常数的因子：C =（3（3）^ 2-3）/（（3 ^ 2 + 2）（text（////））（3-7））= - 6 /我们可以对D做同样的事情：D =（3（7）^ 2-7）/（（7 ^ 2 + 2）（7-3）（text（////）））= 35/51掩盖方法仅适用于线性因子，因此我们不得不使用传统方法求解A和B并乘以左侧分母：3x ^ 2-x =（Ax + B）（x- 3）（x-7）-6/11（x ^ 2 + 2）（x-7）+35/51（x ^ 2 + 2）（x-3）如果我们乘以所有括号并等同所有各种x和常数项的系数，我们可以找出A和B的值。这是一个相当冗长 阅读更多 »

Int （x ^ 2-1）/ sqrt（2x-1） dx = 1/20（2x-1）^（5/2）+1/6（2x-1）^（3/2）-3 / 4sqrt（2x-1）+ C我们在这个积分中的大问题是根，所以我们想要摆脱它。我们可以通过引入替换u = sqrt（2x-1）来实现。那么导数就是（du）/ dx = 1 / sqrt（2x-1）所以我们除以（并且记住，除以倒数与仅乘以分母相同）以相对于u：int 进行积分（ x ^ 2-1）/ sqrt（2x-1） dx = int （x ^ 2-1）/ cancel（sqrt（2x-1））cancel（sqrt（2x-1）） du = int x ^ 2-1 du现在我们需要做的是用u来表达x ^ 2（因为你不能将x与u相整合）：u = sqrt（2x-1）u ^ 2 = 2x- 1 u ^ 2 + 1 = 2x（u ^ 2 + 1）/ 2 = xx ^ 2 =（（u ^ 2 + 1）/ 2）^ 2 =（u ^ 2 + 1）^ 2/4 =（u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1）/ 4我们可以将它插回到我们的积分中以得到：int （u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1）/ 4-1 du这可以使用反向幂规则来评估：1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C重新为u = sqrt（2x-1），我们得到：1/20（2x-1） ^（5/2）+1/6（2X-1）^（3/2 阅读更多 »

C = 2/3如果f（x）在x = 2处连续，则必须满足以下条件：lim_（x-> 2）f（x）存在。 f（2）存在（这不是问题，因为f（x）在x = 2处清楚地定义。让我们研究第一个假设。我们知道，对于存在的限制，左手和右手限制必须相等。数学上：lim_（x-> 2 ^ - ）f（x）= lim_（x-> 2 ^ +）f（x）这也说明了为什么我们只对x = 2感兴趣：它是x的唯一值这个函数被定义为左右不同的东西，这意味着左右限制可能不相等。我们将试图找到'c'的值，这些限制是回到分段函数，我们看到在2的左边，f（x）= cx ^ 2 + 2x。或者，在x = 2的右边，我们看到f（x）= x ^ 3 -cx所以：lim_（x-> 2）cx ^ 2 + 2x = lim_（x-> 2）x ^ 3 - cx评估极限：（2）^ 2c + 2（2）=（2）^ 3 - （2）c => 4c + 4 = 8 - 2c从这里开始，只需要解决c：6c = 4 c = 2/3我们发现了什么？好吧，我们已经找到了c的值将使这个功能永远连续ywhere。 c的任何其他值以及右手和左手限制将不会彼此相等，并且该功能在任何地方都不会是连续的。要了解其工作原理，请查看我制作的交互式图表。选择不同的c值，看看函数在x = 2时是如何不连续的！希望有帮助:) 阅读更多 »

A）f（4）= pi / 2; b）f（4）= 0 a）区分双方。通过左侧微积分的第二基本定理和右侧的乘积和链条规则，我们看到微分显示：f（x ^ 2）* 2x = sin（pix）+ pixcos（pix ）设x = 2表示f（4）* 4 = sin（2pi）+ 2picos（2pi）f（4）* 4 = 0 + 2pi * 1 f（4）= pi / 2 b）积分内部项。 int_0 ^ f（x）t ^ 2dt = xsin（pix）[t ^ 3/3] _0 ^ f（x）= xsin（pix）评估。 （f（x））^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin（pix）（f（x））^ 3/3 = xsin（pix）（f（x））^ 3 = 3xsin（pix）让X = 4。 （f（4））^ 3 = 3（4）sin（4pi）（f（4））^ 3 = 12 * 0 f（4）= 0 阅读更多 »

（C）如果lim_（h-> 0）（f（x_0 + h）-f（x_0））/ h = L，则注意到函数f在点x_0是可微分的，给定信息实际上是f在2处可微分并且f'（2）= 5.现在，看一下这些陈述：I：一个函数的真正可微性意味着它在那一点上的连续性。 II：True给定的信息与x = 2时的可微性定义相匹配。 III：False函数的导数不一定是连续的，经典的例子是g（x）= {（x ^ 2sin（1 / x），如果x！= 0），（0，如果x = 0）：}，在0处可微分，但其导数在0处具有不连续性。 阅读更多 »

Y = -48x - 79与点（x_0，f（x_0））处的图y = f（x）相切的直线是斜率为f'（x_0）并通过（x_0，f（x_0））的直线。在这种情况下，给出（x_0，f（x_0））=（-2,17）。因此，我们只需要计算f'（x_0）作为斜率，然后将其插入到一条线的点 - 斜率方程中。计算f（x）的导数，得到f'（x）= 8x ^ 3-8x => f'（ - 2）= 8（-2）^ 3-8（-2）= -64 + 16 = -48因此，切线的斜率为-48并通过（-2,17）。因此，它的等式是y-17 = -48（x - （-2））=> y = -48x-79 阅读更多 »

F（x）= x我们求函数f：RR rarr RR使得解f（x）= f ^（ - 1）（x）这就是我们寻找一个它自己的逆函数。一个明显的这样的功能是微不足道的解决方案：f（x）= x然而，正如Ng Wee Leng和Ho Foo Him在“数学教师协会杂志”上发表的研究中对问题进行更彻底的分析是非常复杂的。 。 http://www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf 阅读更多 »

3 /（4a）（x ^ 3 - a ^ 3）=（xa）（x ^ 2 + a x + a ^ 2）（x ^ 4 - a ^ 4）=（x ^ 2-a ^ 2）（ x ^ 2 + a ^ 2）=（xa）（x + a）（x ^ 2 + a ^ 2）=>（x ^ 3-a ^ 3）/（x ^ 4-a ^ 4）=（（ cancel（xa））（x ^ 2 + a x + a ^ 2））/（（cancel（xa））（x + a）（x ^ 2 + a ^ 2））“现在填写x = a：” =（3 a ^ 2）/（（2 a）（2 a ^ 2））= 3 /（4a）“我们也可以使用l'Hôpital规则：”“导出分子和分母产量：”“（3 x ^ 2）/（4 x ^ 3）= 3 /（4x）“现在填写x = a：”“= 3 /（4a） 阅读更多 »

我们首先使用产品规则和链规则进行区分。设y = u ^（1/2），u = x。 y'= 1 /（2u ^（1/2））和u'= 1 y'= 1 /（2（x）^（1/2））现在，按产品规则; f'（x）= 0 xx sqrt（x）+ 1 /（2（x）^（1/2））xx 5/2 f'（x）= 5 /（4sqrt（x））变化率通过将x = a评估为导数，给出函数上的任何给定点。问题是x = 3时的变化率是x = c时变化率的两倍。我们的第一个业务是在x = 3时找到变化率.rc = 5 /（4sqrt（3））x = c时的变化率是10 /（4sqrt（3））= 5 /（2sqrt） （3））。 5 /（2sqrt（3））= 5 /（4sqrt（x））20sqrt（x）= 10sqrt（3）20sqrt（x） - 10sqrt（3）= 0 10（2sqrt（x） - sqrt（3））= 0 2sqrt（x） - sqrt（3）= 0 2sqrt（x）= sqrt（3）4x = 3 x = 3/4因此，c的值为3/4。希望这有帮助！ 阅读更多 »

-1.11164“这是理性函数的组成部分。” “标准程序是在部分分数中分裂。” “首先，我们搜索分母的零点：”x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 => x（x - 1）（x - 4）= 0 => x = 0,1，或4“所以我们分成了部分分数：”（2x + 1）/（x ^ 3-5x ^ 2 + 4x）= A / x + B /（x-1）+ C /（x-4）=> 2x + 1 = A（x-1）（x-4）+ B x（x-4）+ C x（x-1）=> A + B + C = 0，-5 A - 4 B - C = 2 ，4A = 1 => A = 1/4，B = -1，C = 3/4“所以我们有”（1/4）int {dx} / x - int {dx} /（x-1）+ （3/4）int {dx} /（x-4）=（1/4）ln（| x |） - ln（| x-1 |）+（3/4）ln（| x-4 |） + C“现在我们评估2到3之间：”=（1/4）ln（3） - ln（2）+取消（（3/4）ln（1）） - （1/4）ln（2） + cancel（ln（1）） - （3/4）ln（2）=（1/4）ln（3） - 2 ln（2）= -1.11164 阅读更多 »

切线为25x-9y + 54 = 0且y = x + 6设切线的斜率为m。然后，切线方程为y-6 = mx或y = mx + 6现在让我们看到该切线与给定曲线的交点y =（x + 2）/（x + 3）。对于此y = mx + 6，我们得到mx + 6 =（x + 2）/（x + 3）或（mx + 6）（x + 3）= x + 2即mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2或mx ^ 2 +（3m + 5）x + 16 = 0这应该给出两个x值，即两个交点，但是切线仅在一个点处切割曲线。因此，如果y = mx + 6是一个正切，我们应该只有一个二次方程的根，如果判别式为0，则可能是onli，即（3m + 5）^ 2-4 * m * 16 = 0或9m ^ 2 + 30m + 25-64m = 0或9m ^ 2-34m + 25 = 0即m =（34 + -sqrt（34 ^ 2-900））/ 18 =（34 + -sqrt256）/ 18 =（34 + - 16）/ 18即25/9或1因此切线是y = 25 / 9x + 6，即25x-9y + 54 = 0和y = x + 6图{（25x-9y + 54）（x-y + 6） ）（y-（x + 2）/（x + 3））= 0 [-12.58,7.42，-3.16,6.84]} 阅读更多 »

它只有k> 0才有关键点首先，让我们计算h（x）的一阶导数。 h ^（素数）（x）= d /（dx）[e ^（ - x）+ kx] = d /（dx）[e ^（ - x）] + d /（dx）[kx] = - e ^（ - x）+ k现在，为了使x_0成为h的临界点，它必须服从条件h ^（prime）（x_0）= 0，或者：h ^（prime）（x_0）= -e ^（ -x_0）+ k = 0 <=> e ^（ - x_0）= k <=> -x_0 = ln（k）<=> <=> x_0 = -ln（k）现在，k的自然对数只是为k> 0定义，因此，h（x）仅对k> 0的值具有临界点。 阅读更多 »

让我们称N和S的长度为x（英尺），另外两个我们称之为y（也用英尺）然后围栏的成本为：2 * x * $ 10表示N + S和2 * y * E + W为15美元然后围栏总成本的公式为：20x + 30y = 480我们将y分开：30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x面积：A = x * y，替换我们得到的等式中的y：A = x *（16-2 / 3 x）= 16x-2/3 x ^ 2为了找到最大值，我们必须区分这个函数，然后将导数设置为0 A'= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0哪个解决了x = 12代入前面的等式y = 16-2 / 3 x = 8答案：N和S边是12英尺E和W两侧是8英尺面积是96平方英尺 阅读更多 »

Dy / dx =（3 sec ^ 2 sqrt（3x-1））/（2 sqrt（3x-1））链规则：（f @ g）'（x）= f'（g（x））* g '（x）首先区分外部函数，单独留下内部，然后乘以内部函数的导数。 y = tan sqrt（3x-1）dy / dx = sec ^ 2 sqrt（3x-1）* d / dx sqrt（3x-1）= sec ^ 2 sqrt（3x-1）* d / dx（3x-1 ）^（1/2）= sec ^ 2 sqrt（3x-1）* 1/2（3x-1）^（ - 1/2）* d / dx（3x-1）= sec ^ 2 sqrt（3x- 1）* 1 /（2 sqrt（3x-1））* 3 =（3 sec ^ 2 sqrt（3x-1））/（2 sqrt（3x-1）） 阅读更多 »

1 f（n）= n ^（1 / n）表示log（f（n））= 1 / n log n现在lim_ {n - > oo} log（f（n））= lim_ {n - > oo} log n / n qquadqquadqquad = lim_ {n - > oo} {d /（dn）log n} / {d /（dn）n} = lim_ {n-> oo}（1 / n）/ 1 = 0从日志开始x是一个连续函数，我们有log（lim_ {n到oo} f（n））= lim_ {n到oo} log（f（n））= 0意味着lim_ {n到oo} f（n）= e ^ 0 = 1 阅读更多 »

Lim_（x rarr 0） sin（1 / x）/（sin（1 / x））= 1我们寻求：L = lim_（x rarr 0） sin（1 / x）/（sin（1 / x）当我们评估一个极限时，我们会看到函数“接近”该点的行为，不一定是函数“在”所讨论的点的行为，因此当x rarr为0时，我们不需要考虑什么发生在x = 0，因此我们得到了平凡的结果：L = lim_（x rarr 0） sin（1 / x）/（sin（1 / x）） = lim_（x rarr 0） 1 = 1为清楚起见，可视化x = 0图形周围行为的函数图形{sin（1 / x）/ sin（1 / x）[-10,10,5，-5]}应该清楚函数y = sin（1 / x）/ sin（1 / x）在x = 0时未定义 阅读更多 »

“请参阅说明”“应用| x |的定义：”f（x）= | x | => {（f（x）= x，x> = 0），（f（x）= - x，x <= 0）：}“现在派生：”{（f'（x）= 1，x> = 0），（f'（x）= -1，x <= 0）：}“所以我们看到f'（x）的x = 0存在不连续性。” “对于其他人来说，它无处不在。” 阅读更多 »

伸缩系列1西格玛（sqrt（n + 2） - 2sqrt（n + 1）+ sqrt（n））Sigma（sqrt（n + 2） - sqrt（n + 1）-sqrt（n + 1）+ sqrt（n ））Sigma（（sqrt（n + 2） - sqrt（n + 1））（（sqrt（n + 2）+ sqrt（n + 1））/（sqrt（n + 2）+ sqrt（n + 1）） ））+（ - sqrt（n + 1）+ sqrt（n））（（sqrt（n + 1）+ sqrt（n））/（sqrt（n + 1）+ sqrt（n））））Sigma（1 /（sqrt（n + 2）+ sqrt（n + 1））+（ - 1）/（sqrt（n + 1）+ sqrt（n））））这是一个折叠（伸缩）系列。它的第一个项是-1 /（sqrt（2）+ 1）= 1-sqrt2。 阅读更多 »

二阶导数测试意味着临界数（点）x = 4/7给出f的局部最小值，而对临界数（点）x = 0,1处f的性质一无所知。如果f（x）= x ^ 4（x-1）^ 3，那么乘积规则表示f'（x）= 4x ^ 3（x- 1）^ 3 + x ^ 4 * 3（x- 1）^ 2 = x ^ 3 *（x-1）^ 2 *（4（x-1）+ 3x）= x ^ 3 *（x-1）^ 2 *（7x-4）将此设置为零并求解x表示f在x = 0,4 / 7,1处有临界数（点）。再次使用乘积规则给出：f''（x）= d / dx（x ^ 3 *（x-1）^ 2）*（7x-4）+ x ^ 3 *（x-1）^ 2 * 7 =（3x ^ 2 *（x-1）^ 2 + x ^ 3 * 2（x-1））*（7x-4）+ 7x ^ 3 *（x-1）^ 2 = x ^ 2 *（x -1）*（（3x-3 + 2x）*（7x-4）+ 7x ^ 2-7x）= x ^ 2 *（x-1）*（42x ^ 2-48x + 12）= 6x ^ 2 * （x-1）*（7x ^ 2-8x + 2）现在f''（0）= 0，f''（1）= 0，并且f''（4/7）= 576/2401> 0。因此，二阶导数检验意味着临界数（点）x = 4/7给出了f的局部最小值，而在临界数（点）x = 0,1时没有说明f的性质。实际上，x = 0时的临界数（点 阅读更多 »

Sum_（n = 0）^ oo（na_nx ^（n + 1））设：S = x ^ 2sum_（n = 0）^ oo（na_nx ^（n-1））如果对效果不清楚那么最好的选择扩展总和的几个项：S = x ^ 2 {0a_0x ^（ - 1）+ 1a_1x ^ 0 + 2a_2x ^ 1 + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + ...} = {0a_0x ^（1 ）+ 1a_1x ^ 2 + 2a_2x ^ 3 + 3a_3x ^ 4 + 4a_4x ^ 5 + ...}然后我们可以把它系列放回“sigma”符号：S = sum_（n = 0）^ oo（na_nx ^（ N + 1）） 阅读更多 »

V = 8pi体积单位基本上你遇到的问题是：V = piint_0 ^ 4（（sqrtx））^ 2 dx记住，实体的体积由下式给出：V = piint（f（x））^ 2 dx因此，我们原来的Intergral对应：V = piint_0 ^ 4（x）dx这又等于：V = pi [x ^ 2 /（2）]在x = 0之间作为我们的下限，x = 4作为我们的上限。使用微积分的基本定理，我们将我们的极限代入我们的积分表达式，从上限中减去下限。 V = pi [16 / 2-0] V = 8pi体积单位 阅读更多 »

Color（blue）（ - （2y ^（5/2））/（1 + 4xy ^（3/2）））我们需要隐式区分它，因为我们没有一个变量的函数。当我们区分y时，我们使用链规则：d / dy * dy / dx = d / dx作为示例，如果我们有：y ^ 2这将是：d / dy（y ^ 2）* dy / dx = 2ydy / dx在这个例子中，我们还需要在术语xy ^ 2上使用产品规则将sqrt（y）写为y ^（1/2）y ^（1/2）+ xy ^ 2 = 5区分：1 / 2y ^ （-1/2）* dy / dx + x * 2ydy / dx + y ^ 2 = 0 1 / 2y ^（ - 1/2）* dy / dx + x * 2ydy / dx = -y ^ 2因子输出dy / dx：dy / dx（1 / 2y ^（ - 1/2）+ 2xy）= - y ^ 2除以（1 / 2y ^（ - 1/2）+ 2xy）dy / dx =（ - y ^ 2 ）/（（1 / 2y ^（ - 1/2）+ 2xy））=（ - y ^ 2）/（1 /（2sqrt（y））+ 2xy简化：乘以：2sqrt（y）（ - y ^ 2 * 2sqrt（y））/（2sqrt（y）1 /（2sqrt（y））+ 2xy * 2sqrt（y）（ - y ^ 2 * 2sqrt（y））/（取消（2sqrt（y））1 / （取消（2sqrt（y）））+ 2xy * 2sqrt（y 阅读更多 »

V = 685 / 32pi立方单位首先，绘制图形。 y_1 = x ^ 2-x y_2 = 3-x ^ 2 x-intercept y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0我们有{（x = 0），（x = 1）：}因此拦截是（0,0）和（1,0）获取顶点：y_1 = x ^ 2-x => y_1 =（x-1/2）^ 2-1 / 4 => y_1 - （ - 1/4）= （x-1/2）^ 2所以顶点是（1/2，-1 / 4）重复前一个：y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0我们有{（x = sqrt（3） ），（x = -sqrt（3））：}因此截距为（sqrt（3），0）和（-sqrt（3），0）y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2所以顶点是（0,3）结果：如何获得音量？我们将使用光盘方法！这个方法很简单：“Volume”= piint_a ^ by ^ 2dx这个想法很简单，但是你必须聪明地使用它。这就是我们要做的。让我们调用音量V => V = V_1-V_2 V_1 = piint_a ^ b（4-y_1）^ 2dx V_2 = piint_a ^ b（4-y_2）^ 2dx注意：我正在服用（4-y），因为y是只有从x轴到曲线的距离，而我们想要从y = 4的线到曲线的距离！现在找到a和b，我们将y_1和y_2等同，然后求解x y_1 = y_2 => 2x 阅读更多 »

拐点是：（（3pi）/ 4 + 2kpi，0）“AND”（（-pi / 2 + 2kpi，0））1 - 首先我们必须找到函数的二阶导数。 2 - 其次，我们将该导数（（d ^ 2y）/（dx ^ 2））等于零y = sinx + cosx =>（dy）/（dx）= cosx-sinx =>（d ^ 2y）/（ dx ^ 2）= - sinx-cosx接下来，-sinx-cosx = 0 => sinx + cosx = 0现在，我们将以Rcos（x + lamda）的形式表达，其中lambda只是一个锐角，R是一个要确定的正整数。像这样sinx + cosx = Rcos（x + lambda）=> sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda通过将等式中任意一侧的sinx和cosx的系数等同，=> Rcoslamda = 1且Rsinlambda = -1（Rsinlambda）/ （Rcoslambda）=（ - 1）/ 1 => tanlambda = -1 => lambda = tan ^ -1（-1）= - pi / 4和（Rcoslambda）^ 2 +（Rsinlambda）^ 2 =（1）^ 2 +（ - 1）^ 2 => R ^ 2（cos ^ 2x + sin ^ 2x）= 2但我们知道同一性，cos ^ 2x + sin ^ 2 阅读更多 »

Int x ^ 2 / sqrt（4-9x ^ 2）dx = -1 / 18xsqrt（4-9x ^ 2）-2 / 27cos ^（ - 1）（（3x）/ 2）+ c这个问题有意义4-9x ^ 2> = 0，所以-2 / 3 <= x <= 2/3。因此，我们可以选择0 <= u <= pi，使得x = 2 / 3cosu。使用这个，我们可以使用dx = -2 / 3sinudu替换积分中的变量x：int x ^ 2 / sqrt（4-9x ^ 2）dx = -4 / 27intcos ^ 2u /（sqrt（1-cos ^ 2u） ））sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu这里我们使用1-cos ^ 2u = sin ^ 2u而0 <= u <= pi sinu> = 0。现在我们使用部分积分来找到intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu。因此intcos ^ 2udu = 1/2（sinucosu + u + c）。所以我们找到了int x ^ 2 / sqrt（4-9x ^ 2）dx = -2 / 27（sinucosu + 阅读更多 »

我们首先需要操纵表达式以使其更方便形式让我们处理表达式（1 /（h + 2）^ 2 -1/4）/ h =（（4-（h + 2）^ 2） /（4（h + 2）^ 2））/ h =（（4-（h ^ 2 + 4h + 4））/（4（h + 2）^ 2））/ h =（（（4小时） ^ 2-4h-4））/（4（h + 2）^ 2））/ h =（ - h ^ 2-4h）/（4（h + 2）^ 2 h）=（h（-h- 4））/（4（h + 2）^ 2 h）=（-h-4）/（4（h + 2）^ 2）当h-> 0时我们有：lim_（h-> 0） ）（ - h-4）/（4（h + 2）^ 2）=（ - 4）/ 16 = -1 / 4 阅读更多 »

1 /（SQRT2）黄褐色^ -1（（坦-1）/（SQRT（2tanx））） - 1 /（2sqrt2）LN |（坦-SQRT（2tanx）+1）/（坦-SQRT（2tanx）+ 1）| + C我们用u = sqrt（tanx）的u替换开始u的导数是：（du）/ dx =（sec ^ 2（x））/（2sqrt（tanx））所以我们除以相对于u进行整合（并记住，除以一个分数与乘以它的倒数相同）：int 1 / sqrt（tanx） dx = int 1 / sqrt（tanx）*（2sqrt（tanx） ）/ sec ^ 2x du = = int 2 / sec ^ 2x du由于我们无法将x与u相关，我们使用以下标识：sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1这给出：int 2 /（tan ^ 2x + 1） du = int 2 /（1 + u ^ 4） du = 2int 1 /（1 + u ^ 4） du这个剩余的积分使用相当繁琐的部分分数分解，所以我不会在这里做。如果您对如何解决问题感兴趣，请查看此答案：http：//socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1 2int 1 /（1 + u ^ 4） du = 2（1 /（2sqrt2）tan ^ -1（（u ^ 2-1）/（sqrt2u）） - 1 /（4sqrt2） 阅读更多 »

- （3（x + 1））/（2（2x-1）^ 2 sqrt（（x + 1）/（2x-1））f（x）= u ^ n f'（x）= n xx（ du）/ dx xxu ^（n-1）在这种情况下：sqrt（（x + 1）/（2x-1））=（（x + 1）/（2x-1））^（1/2）： n = 1/2，u =（x + 1）/（2x-1）d / dx = 1/2 xx（1xx（2x-1） - 2xx（x + 1））/（2x-1）^ 2 xx（（x + 1）/（2x-1））^（1 / 2-1）= 1 / 2xx（-3）/（（2x-1）^ 2 xx（（x + 1）/（2x- 1））^（1 / 2-1）= - （3（x + 1））/（2（2x-1）^ 2（（x + 1）/（2x-1））^（1/2） 阅读更多 »

第一步是将函数重写为有理指数f（x）= sin（x）^ {1/2}在表达式之后，可以使用链式规则区分它：在你的情况下：u ^ {1/2} - > 1 / 2Sin（x）^ { - 1/2} * d / dxSin（x）然后，1 / 2Sin（x）^ { - 1/2} * Cos（x）这是你的回答 阅读更多 »

（dy）/（dx）= x ^ 2 /（1 + x ^ 2）我假设您要查找（dy）/（dx）。为此，我们首先需要x的表达式。我们注意到这个问题有各种解决方案，因为tan（x）是周期函数，tan（x-y）= x将有多个解。但是，由于我们知道了切线函数（pi）的周期，我们可以执行以下操作：xy = tan ^（ - 1）x + npi，其中tan ^（ - 1）是切线给出值之间的反函数-pi / 2和pi / 2以及因子npi已被添加以考虑切线的周期性。这给出了y = x-tan ^（ - 1）x-npi，因此（dy）/（dx）= 1-d /（dx）tan ^（ - 1）x，注意因子npi已经消失。现在我们需要找到d /（dx）tan ^（ - 1）x。这非常棘手，但可以使用反函数定理。设置u = tan ^（ - 1）x，我们有x = tanu = sinu / cosu，所以（dx）/（du）=（cos ^ 2u + sin ^ 2u）/ cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u，使用商规则和一些三角恒等式。使用反函数定理（说明if（dx）/（du）是连续的和非零的，我们有（du）/（dx）= 1 /（（dx）/（du））），我们有（ DU）/（DX）= COS ^ 2U。现在我们需要用x来表达cos ^ 2u。为此，我们使用一些三角函数。给定具有边a，b，c的直角三角形，其中c是斜边，a，b是直角连接。如果u是c侧与a相交的角度，则x 阅读更多 »

Y = -2x + pi / 2要找到x = pi / 4处曲线y = cos（2x）的切线方程，首先取y的导数（使用链规则）。 y'= - 2sin（2x）现在将x的值插入y'： - 2sin（2 * pi / 4）= - 2这是x = pi / 4处切线的斜率。要找到切线的方程，我们需要y的值。只需将x值插入y的原始等式中即可。 y = cos（2 * pi / 4）y = 0现在使用点斜率形式来找到切线方程：y-y_0 = m（x-x_0）其中y_0 = 0，m = -2且x_0 = pi / 4。这给了我们：y = -2（x-pi / 4）简化，y = -2x + pi / 2希望有所帮助！图{（y-cos（2x））（y + 2x-pi / 2）= 0 [-2.5,2.5，-1.25,1.25]} 阅读更多 »

最初定义f的区间[a，b]上的定积分对于在其域中包括[a，b]的函数f。那就是：我们从为[a，b]中的所有x定义的函数f开始。不正确的积分通过允许a或b或两者都在f的域之外来扩展初始定义（但是在'edge'上所以我们可以寻找限制）或间隔缺少左和/或右端点（无限间隔）。示例：int_0 ^ 1 lnx dx color（white）“sssssssssss”integrand未定义为0 int_5 ^ 7 1 /（x ^ 2-25）dx color（白色）“ssssss”被积函数未定义为5 int_1 ^ oo 1 / x ^ 2 dx颜色（白色）“sssssssssss”间隔没有正确的终点 阅读更多 »

（dy）/（dx）= - x ^ 2 /（1 + x ^ 2）我参考http://socratic.org/questions/how-do-you-find-the-derivative-of-tan-xyx -1？answerSuccess = 1，其中我们发现给定x = tan（xu）; （du）/（dx）= x ^ 2 /（1 + x ^ 2）（为方便起见，我已将y替换为y）。这意味着如果我们用-y替换u，我们发现x = tan（x + y）; - （dy）/（dx）= x ^ 2 /（1 + x ^ 2），因此（dy）/（dx）= - x ^ 2 /（1 + x ^ 2）。 阅读更多 »

（root3x-1）^ 3 +（9（root3x-1）^ 2）/ 2 + 9（root3x-1）+ 3ln（abs（root3x-1））+ C我们有int root3x /（root3x-1）dx替代u =（root3x-1）（du）/（dx）= x ^（ - 2/3）/ 3 dx = 3x ^（2/3）du int root3x /（root3x-1）（3x ^（2 / 3））杜= INT（3×）/（root3x-1）杜= INT（3（U + 1）^ 3）/ UDU = 3int（U ^ 3 + 3U ^ 2 + 3U + 1）/ UDU = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 +（9u ^ 2）/ 2 + 9u + 3ln（abs（u））+ C重新取代u = root3x-1：（root3x-1）^ 3 +（9 （root3x-1）^ 2）/ 2 + 9（root3x-1）+ 3LN（ABS（root3x-1））+ C 阅读更多 »

DY / DX = CSIN（CX）COS（x）的罪^（C-1）（X）+ CSIN ^ C（X）COS（CX）= CSIN（X）^（C-1）SIN（CX + x）的对于给定函数y = f（x）= uv其中u和v都是x的函数我们得到：dy / dx = u'v + v'u u = sin（cx）u'= c cos（cx）v = sin ^ c（x）v'= c cos（x）sin ^（c-1）（x）dy / dx = csin（cx）cos（x）sin ^（c-1）（x）+ csin ^ C（X）COS（CX）= CSIN（X）^（C-1）SIN（CX + x）的 阅读更多 »

当cos（xy）+ e ^ x（-tan ^ 2（y）+ tan（y）-1）= 0时我们给出f（x，y）= sin（x）cos（y）+ e ^ xtan（ y）当（delf（x，y））/（delx）= 0和（delf（x，y））/（dely）= 0（delf（x，y））/（delx）= cos时出现临界点（ x）cos（y）+ e ^ xtan（y）（delf（x，y））/（dely）= - sin（x）sin（y）+ e ^ xsec ^ 2（y）sin（y）sin（ X）+ COS（Y）COS（X）+ E ^ xtan（Y）-e ^ XSEC ^ 2（Y）= COS（XY）+ E ^ X（棕褐色（Y） - 仲^ 2（Y））= COS（XY）+ E ^ X（棕褐色（Y） - （1 +黄褐色^ 2（Y）））= COS（XY）+ E ^ X（-tan ^ 2（Y）+黄褐色（Y）-1）没有找到解决方案的真正方法，但是当cos（xy）+ e ^ x（-tan ^ 2（y）+ tan（y）-1）= 0时出现临界点。解决方案的图表在这里 阅读更多 »

F（x）= lnx + 1我们将不等式分为2部分：f（x）-1> = lnx - >（1）f（x / e）<= lnx->（2）让我们看看（1） ：我们重新排列得到f（x）> = lnx + 1让我们看看（2）：我们假设y = x / e和x = ye。我们仍满足条件y in（0，+ oo）.f（x / e）<= lnx f（y）<= lnye f（y）<= lny + lne f（y）<= lny + 1 y inx所以f（y）= f（x）。从2个结果中，f（x）= lnx + 1 阅读更多 »

幂规则：如果f（x）= x ^ n则f'（x）= nx ^（n-1）求和规则：如果f（x）= g（x）+ h（x）则f'（x） = g'（x）+ h'（x）乘积规则：如果f（x）= g（x）h（x）则f'（x）= g'（x）h（x）+ g（x） h'（x）商数规则：如果f（x）= g（x）/（h（x））则f'（x）=（g'（x）h（x） - g（x）h'（ x））/（h（x））^ 2链规则：如果f（x）= h（g（x））则f'（x）= h'（g（x））g'（x）或： dy / dx = dy /（du）*（du）/ dx欲了解更多信息，请访问：http：//socratic.org/calculus/basic-differentiation-rules/summary-of-differentiation-rules 阅读更多 »

E 1（ - 2×）= sum_（N = 0）^ OO（-2）^ N /（N！）的x ^ N = 1-2倍+ 2×^ 2-4 / 3×^ 3 + 2/3×^ 4。泰勒系列在0左右扩展的情况称为Maclaurin系列。 Maclaurin系列的通用公式是：f（x）= sum_（n = 0）^ oof ^ n（0）/（n！）x ^ n为了计算我们函数的一个系列，我们可以从一个函数开始e ^ x然后用它来计算出e ^（ - 2x）的公式。为了构建Maclaurin系列，我们需要找出e ^ x的n阶导数。如果我们采用一些导数，我们可以很快看到一个模式：f（x）= e ^ x f'（x）= e ^ x f''（x）= e ^ x实际上，e的n阶导数^ x只是e ^ x。我们可以将其插入Maclaurin公式：e ^ x = sum_（n = 0）^ ooe ^ 0 /（n！）x ^ n = sum_（n = 0）^ oox ^ n /（n！）= 1+ x /（1！）+ x ^ 2 /（2！）+ x ^ 3 /（3！）...现在我们有一个针对e ^ x的泰勒系列，我们可以用-2x替换所有的x得到e ^（ - 2x）的一系列：e ^（ - 2x）= sum_（n = 0）^ oo（-2x）^ n /（n！）= sum_（n = 0）^ oo（-2） ^ n /（n！）x ^ n = = 1- 阅读更多 »

1/2 [-ln（ABS（SQRT（1 + E ^（2×））+ 1））+ LN（ABS（SQRT（1个+ E ^（2×）） - 1））] + SQRT（1个+ E ^ （2x））+ C首先我们替换：u = e ^（2x）+1; e ^（2x）= u-1（du）/（dx）= 2e ^（2x）; dx =（du）/（ 2e ^（2x））intsqrt（u）/（2e ^（2x））du = intsqrt（u）/（2（u-1））du = 1 / 2intsqrt（u）/（u-1）du执行a第二次替换：v ^ 2 = u; v = sqrt（u）2v（dv）/（du）= 1; du = 2vdv 1 / 2intv /（v ^ 2-1）2vdv = intv ^ 2 /（v ^ 2 -1）dv = int1 + 1 /（v ^ 2-1）dv使用部分分数分割：1 /（（v + 1）（v-1））= A /（v + 1）+ B /（v- 1）1 = A（v-1）+ B（v + 1）v = 1：1 = 2B，B = 1/2 v = -1：1 = -2A，A = -1 / 2现在我们有： -1 /（2（v + 1））+ 1 /（2（v-1））int1 + 1 /（（v + 1）（v-1））dv = int1-1 /（2（v + 1） ））+ 1 /（2（v-1））dv = 1/2 [-ln（abs（v + 1））+ ln（abs（v-1）） 阅读更多 »

我会说如果一个函数在a附近连续（在包含a的开放区间内），而不是在a处，则函数是不连续的。但是还有其他定义在使用中。函数f在数字a处是连续的，当且仅当：lim_（xrarra）f（x）= f（a）这要求：1“”f（a）必须存在。 （a在f的域中）2“”lim_（xrarra）f（x）必须存在3 1和2中的数字必须相等。在最一般意义上：如果f在a处不连续，则f在a处是不连续的。然后有些人会说a f是不连续的，如果f不是连续的，其他人会使用“不连续”来表示与“不连续”不同的东西。一个可能的附加要求是f被定义为“接近”a - 即：在一个包含a的开放区间中，但可能不在其自身。在这种用法中，我们不会说sqrtx在-1处是不连续的。它不是连续的，但“不连续”需要更多。第二个可能的附加要求是f必须连续“接近”a。在这种用法中：例如：f（x）= 1 / x在0处是不连续的，但g（x）= {（0，“if”，x，“是理性的”），（1，“if”，x ，“是非理性的”）：}对于任何一个都不是连续的，没有不连续性。第三个可能的要求是a必须在f的域中（否则，使用术语“奇点”。）在这种用法中1 / x不连续在0，但它也不是不连续的，因为0不在1 / x的域。我最好的建议是询问那些将评估你的工作的人他们喜欢哪种用法。否则，不要太担心它。请注意，有多种方法可以使用这个词，但它们并非完全一致。 阅读更多 »

Pi / 4 [ab]中的f（x），x的弧长由下式给出：S_x = int_b ^ af（x）sqrt（1 + f'（x）^ 2）dx f（x）= - xsinx + xcos（x-pi / 2）= - xsinx + xsinx = 0 f'（x）= 0因为我们只有y = 0，所以我们可以把0到pi / 4之间的直线长度取为pi / 4- 0 = pi / 4的 阅读更多 »

它是（7sqrt3）/ 2 ^ 7 =（7sqrt3）/ 128方法f（x）= sin ^ 7（x）将其重写为f（x）=（sin（x））^ 7非常有用因为这清楚地表明我们拥有的是第7个幂函数。使用幂规则和链规则（这种组合通常称为广义幂规则。）对于f（x）=（g（x））^ n，导数为f'（x）= n（g（x） ）^（n-1）* g'（x），用其他符号d /（dx）（u ^ n）= nu ^（n-1）（du）/（dx）在任何一种情况下，对于你的问题f '（x）= 7（sin（x））^ 6 * cos（x）你可以写f'（x）= 7sin ^ 6（x）* cos（x）在x = - pi / 3，我们有f '（ - pi / 3）= 7sin ^ 6（ - pi / 3）* cos（ - pi / 3）= 7（1/2）^ 6（sqrt3 / 2）=（7sqrt3）/ 2 ^ 7 阅读更多 »

F（x）= ln（（x + 3）/ 5）+1我们知道int1 / xdx = lnx + C，所以：int1 /（x + 3）dx = ln（x + 3）+ C因此f（ X）= LN（x + 3）+ C。我们给出初始条件f（2）= 1。进行必要的替换，我们得到：f（x）= ln（x + 3）+ C - > 1 = ln（（2）+3）+ C - > 1-ln5 = C我们现在可以将f（x）重写为f（x）= ln（x + 3）+ 1-ln5，这是我们的最终答案。如果需要，可以使用以下自然对数属性来简化：lna-lnb = ln（a / b）将此应用于ln（x + 3）-ln5，我们得到ln（（x + 3）/ 5） ，所以我们可以进一步表达我们的答案为f（x）= ln（（x + 3）/ 5）+1。 阅读更多 »

Ln（x / 2）+1> lnx = 1 / x的导数因此1 / x“的反导数是”lnx rArrF（x）= int1 / x dx = lnx + c要找到c，请使用f（ 2）= 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F（x）= lnx + 1-ln2使用•lnx-lny = ln（x / y）“简化”rArr int1 / x dx = ln（ X / 2）+1 阅读更多 »

F（x）= 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3积分f（x）：x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf（2）= 1使得积分常数（ c）通过评估x = 2，y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f（x）= 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 阅读更多 »

我发现：f（x）= x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3我们求解不定积分：int（x ^ 2 + x-3）dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c然后我们使用我们的条件来找到c：f（2）= 3 =（2 ^ 3）/ 3 +（2 ^ 2）/ 2-（3 * 2）+ c所以： 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 =（21-8）/ 3 = 13/3并且最终：f（x）= X ^ 3/3 + X ^ 2 / 2-3倍+ 13/3 阅读更多 »

F（x）= xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f（x）= intxe ^ xdx，f（2）= 3我们使用积分f（x）= intu（dv）/（dx）dx = uv-intv（du）/（dx）dx在这种情况下u = x =>（du）/（dx）= 1（dv）/（dx）= e ^ x => v = e ^ x：.f （x）= xe ^ x-inte ^ xdx f（x）= xe ^ xe ^ x + cf（2）= 3 :. f（2）= 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f（x）= xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 阅读更多 »

Sqrt（1 + x ^ 2）-1 / 2ln（abs（sqrt（1 + x ^ 2）+1））+ 1 / 2ln（abs（sqrt（1 + x ^ 2）-1））+ C使用你^ 2 = 1 + x ^ 2，x = sqrt（u ^ 2-1）2u（du）/（dx）= 2x，dx =（udu）/ x intsqrt（1 + x ^ 2）/ xdx = int（ usqrt（1 + x ^ 2））/ x ^ 2du intu ^ 2 /（u ^ 2-1）du = int1 + 1 /（u ^ 2-1）du 1 /（u ^ 2-1）= 1 / （（u + 1）（u-1））= A /（u + 1）+ B /（u-1）1 = A（u-1）+ B（u + 1）u = 1 1 = 2B， B = 1/2 u = -1 1 = -2A，A = -1 / 2 int1-1 /（2（u + 1））+ 1 /（2（u-1））du = u-1 / 2ln （abs（u + 1））+ 1 / 2ln（abs（u-1））+ C将u = sqrt（1 + x ^ 2）放回给出：sqrt（1 + x ^ 2）-1 / 2ln（ ABS（SQRT（1 + X ^ 2）+1））+ 1 / 2LN（ABS（SQRT（1 + X ^ 2）-1））+ C 阅读更多 »

（sqrt（170），tan ^ -1（1/13）） - =（13.0,0.0768 ^ c）对于给定的坐标集（x，y），（x，y） - >（rcostheta，rsintheta）r = sqrt（x ^ 2 + y ^ 2）theta = tan ^ -1（y / x）r = sqrt（13 ^ 2 + 1 ^ 2）= sqrt（169 + 1）= sqrt（170）= 13.0 theta = tan ^ -1（1/13）= 0.0768 ^ c（13,1） - >（sqrt（170），tan ^ -1（1/13）） - =（13.0,0.0768 ^ c） 阅读更多 »

没有上下文就无法回答这个问题。以下是数学中的一些用法。如果一组可以一对一地映射到其自身的适当子集上，则该组具有无限基数。这不是在微积分中使用无穷大。在微积分中，我们以3种方式使用“无限”。区间符号：符号oo（分别为-oo）用于指示区间没有右侧（分别为左侧）端点。区间（2，oo）与set x无限限相同如果一个限制不存在，因为当x接近a时，f（x）的值无限制地增加，那么我们写lim_（xrarra）f（x） = oo请注意：短语“无约束”很重要。 nubers：1 / 2,3 / 4,7 / 8,15 / 16,31 / 32,63 / 64。 。 。正在增加，但在上面。 （它们永远不会到达或通过1.）无穷远处的限制短语“无穷远处的极限”用于表示我们已经询问f（x）会发生什么，因为x会无限制地增加。示例包括限制因为x增加而没有x ^ 2的界限不存在，因为当x增加而没有界限时，x ^ 2也无限制地增加。这是写lim_（xrarr00）x ^ 2 = oo我们经常读它“当x到无穷大的极限，x ^ 2是无穷大”极限lim_（xrarroo）1 / x = 0表示，随着x的增加没有约束，1 / x接近0。 阅读更多 »

当a的f和g的极限为f（a）/ g时，L'hopital的规则主要用于找到形式为f（x）/ g（x）的x-> a的极限。 （a）导致不确定的形式，例如0/0或oo / oo。在这种情况下，可以将这些函数的导数的极限视为x-> a。因此，人们将计算lim_（x-> a）（f'（x））/（g'（x）），其将等于初始函数的极限。作为可能有用的函数示例，请考虑函数sin（x）/ x。在这种情况下，f（x）= sin（x），g（x）= x。当x-> 0时，sin（x） - > 0且x - > 0.因此，lim_（x-> 0）sin（x）/ x = 0/0 =？ 0/0是一种不确定的形式，因为我们无法精确定义它等于什么。然而，通过得到导数，我们发现f'（x）= cos（x），g'（x）= 1.因此...... lim_（x-> 0）sin（x）/ x = lim_（x - > 0）cos（x）/ 1 = lim_（x-> 0）cos（x）= cos（0）= 1 阅读更多 »

L'Hopital的规则如果{（lim_ {x到a} f（x）= 0且lim_ {x到a} g（x）= 0），（或），（lim_ {x到a} f（x）= pm infty和lim_ {x到a} g（x）= pm infty）：}然后lim_ {x到a} {f（x）} / {g（x）} = lim_ {x到a} {f'（ X）} / {G'（x）的}。示例1（0/0）lim_ {x到0} {sinx} / x = lim_ {x到0} {cosx} / 1 = {cos（0）} / 1 = 1/1 = 1示例2（infty / infty）lim_ {x to infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = 0我希望这有用。 阅读更多 »

X = -4和-8/5因此，垂直渐近线是垂直延伸到无穷远的线。如果我们注意到，它意味着曲线的y坐标很大程度上达到无穷大。我们知道无穷大= 1/0所以，当与f（x）相比时，它意味着f（x）的分母应该为零。因此，（5x + 8）（x + 4）= 0这是一个二次方程，其根是-4和-8/5。因此，在x = -4，-8 / 5时，我们有垂直渐近线 阅读更多 »

如果您更喜欢Leibniz表示法，则二阶导数表示为（d ^ 2y）/（dx ^ 2）。示例：y = x ^ 2 dy / dx = 2x（d ^ 2y）/（dx ^ 2）= 2如果您喜欢素数表示法，则二阶导数用两个主要标记表示，而不是第一个带有第一个标记的标记导数：y = x ^ 2 y'= 2x y''= 2同样，如果函数是函数符号：f（x）= x ^ 2 f'（x）= 2x f''（x）= 2大多数人们都熟悉这两种符号，所以只要人们能够理解你所写的内容，你选择哪种符号通常都不重要。我自己更喜欢Leibniz符号，因为否则我倾向于将撇号与一个或十一个的指数混淆。虽然素数符号更简洁，写作更快，但很多人都喜欢它。 阅读更多 »

理性函数是在分数条下面有x的位置。酒吧下面的部分称为分母。这限制了x的域，因为分母可能不算为0简单示例：y = 1 / x domain：x！= 0这也定义了垂直渐近线x = 0，因为你可以使x尽可能接近到你想要的0，但永远不会达到它。无论你是否从负面的正面向0移动都会有所不同（见图）。我们说lim_（x-> 0 ^ +）y = oo和lim_（x-> 0 ^ - ）y = -oo所以有一个不连续图{1 / x [-16.02,16.01，-8.01,8.01]}另一方面：如果我们使x越来越大，那么y会越来越小，但永远不会达到0.这是水平渐近线y = 0我们说lim_（x - > + oo）y = 0和lim_（x - > - oo）y = 0当然，棘轮函数通常更复杂，如：y =（2x-5）/（x + 4）或y = x ^ 2 /（x ^ 2-1）但想法是相同在后一个例子中，甚至有两个垂直渐近线，因为x ^ 2-1 =（x-1）（x + 1） - > x！= + 1和x！= - 1 graph {x ^ 2 /（ x ^ 2-1）[ - 22.8,22.81，-11.4,11.42]} 阅读更多 »

F'（x）= 72x-18一般来说，乘积规则规定如果f（x）= g（x）h（x）与g（x）和h（x）x的某些函数，则f'（ x）= G '（x）的H（X）+ G（X）H'（X）。在这种情况下，g（x）= 6x-4且h（x）= 6x + 1，因此g'（x）= 6且h'（x）= 6。因此f（x）= 6（6x + 1）+6（6x-4）= 72x-18。我们可以通过首先计算g和h的乘积来检查这一点，然后进行区分。 f（x）= 36x ^ 2-18x-4，所以f'（x）= 72x-18。 阅读更多 »

闭区间[a，b]中的函数的绝对极值可以是该区间中的局部极值，或者是ascissae为a或b的点。所以，让我们找到局部极值：y'= 2 *（1 *（x ^ 2 + 1）-x * 2x）/（x ^ 2 + 1）^ 2 = 2 *（ - x ^ 2 + 1）/ （X ^ 2 + 1）^ 2。 y'> = 0如果-x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1。所以我们的函数在[-2，-1]和（1,2）中减少，并且它在（-1,1）中增长，因此点A（-1-1）是局部最小值和点B（1,1）是局部最大值。现在让我们在区间的极值处找到点的纵坐标：y（-2）= - 4 / 5rArrC（-2，-4 / 5）y（2）= 4 / 5rArrD（2,4 / 5）。因此候选人是：A（-1-1）B（1,1）C（-2，-4 / 5）D（2,4 / 5），这很容易要理解绝对极值是A和B，如你所见：graph {2x /（x ^ 2 +1）[ - 2,2，-5,5]} 阅读更多 »

在给定f（x）= x * ln x的（1 / e，-1 / e）处的最小点获得一阶导数f'（x）然后等于零。 f'（x）= x *（1 / x）+ ln x * 1 = 0 1 + ln x = 0 ln x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e在x =处求f（x） 1 / ef（x）=（1 / e）* ln（1 / e）f（x）=（1 / e）*（ - 1）f（x）= - 1 / e所以得分（1 / e） ，-1 / e）位于第四象限，这是最小点。 阅读更多 »

（ln（x ^ 4）+4）/（2sqrt（xln（x ^ 4）））让我们把它重写为：[（xln（x ^ 4））^（1/2）]'现在我们必须从使用链规则从外到内。 1/2 [xln（x ^ 4）] ^（ - 1/2）* [xln（x ^ 4）]'这里我们得到了乘积的衍生物1/2（xln（x ^ 4））^（ - 1/2）* [（x'）ln（x ^ 4）+ x（ln（x ^ 4））'] 1/2（xln（x ^ 4））^（ - 1/2）* [1 * ln（x ^ 4）+ x（1 / x ^ 4 * 4x ^ 3）]只需使用基本代数得到一个简化版本：1/2（xln（x ^ 4））^（ - 1/2）* [ ln（x ^ 4）+4]我们得到解决方案：（ln（x ^ 4）+4）/（2sqrt（xln（x ^ 4）））顺便说一句，你甚至可以重写初始问题来制作它更简单：sqrt（4xln（x）） sqrt（4）sqrt（xln（x））2sqrt（xln（x）） 阅读更多 »

距离函数是：D = sqrt（（Deltax）^ 2 +（Deltay）^ 2）让我们操纵它。 = sqrt（（Deltax）^ 2 +（Deltay）^ 2 /（Deltax）^ 2（Deltax）^ 2）= sqrt（1 +（Deltay）^ 2 /（Deltax）^ 2）Deltax因为antiderivative基本上是一个不定积分，这成为无限小的无穷小dx：= sumsqrt（1 +（Deltay）^ 2 /（Deltax）^ 2）Deltax = int sqrt（1 +（（dy）/（dx））^ 2）dx这恰好是操作后可以管理的任何函数的弧长公式。 阅读更多 »

我发现首先考虑衍生产品会更简单。我的意思是：在分化之后会产生什么？当然，第一级变量。例如，如果你的微分导致f'（x）= 5，那么显然反导数是F（x）= 5x所以，常数的反导数是它所讨论的变量的倍数（是x，y等等） 。）我们可以这样说，数学上：intcdx <=> cx注意c在积分中是多重的1：intcolor（绿色）（1）* cdx <=> cx这意味着第一个度变量被区分：f（x ）= x ^颜色（绿色）（1），然后f'（x）=颜色（绿色）1 * x ^（1-1）= 1 * x ^ 0 =颜色（绿色）（1） 阅读更多 »

L = 3 / 4pisqrt（pi ^ 2 + 1）+ 3 / 4ln（pi + sqrt（pi ^ 2 + 1））单位。 > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9/16theta ^ 2 r'= 3/4（r'）^ 2 = 9/16 Arclength由下式给出：L = int_-pi ^ pisqrt（9/16theta ^ 2 + 9/16）d theta简化：L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt（theta ^ 2 + 1）d theta从对称性：L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt（theta ^ 2 + 1）d theta应用替换theta = tanphi：L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi这是一个已知积分：L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |]反向替换：L = 3/4 [thetasqrt（theta ^ 2 + 1）+ ln | theta + sqrt（theta ^ 2 + 1）|] _0 ^ pi插入积分极限：L = 3 / 4pisqrt（pi ^ 2 + 1）+ 3 / 4ln（pi + sqrt（pi ^ 2 + 1）） 阅读更多 »

约27.879这是一种大纲方法。一些工作的磨砺是通过计算机完成的。弧长s = int dot s dt和dot s = sqrt（vec v * vec v）现在，对于vec r = 4 theta hat r vec v = dot r hat r + r dot theta hat theta = 4 dot theta hat r + 4 theta dot theta hat theta = 4 dot theta（hat r + theta hat theta）所以dot s = 4 dot theta sqrt（1 + theta ^ 2）弧长s = 4 int_（t_1）^（t_2 ）sqrt（1 + theta ^ 2） dot theta dt = 4 int _（ - pi / 4）^（pi）sqrt（1 + theta ^ 2） d theta = 2 [theta sqrt（theta ^ 2 + 1） + sinh ^（ - 1）theta] _（ - pi / 4）^（pi）计算机解决方案。有关方法约27.879计算机解决方案，请参阅此处链接的Youtube 阅读更多 »

弧长~~ -2.42533 （5dp）弧长是负的，因为下界1大于ln2的上界我们有一个参数向量函数，由下式给出：bb ul r（t）= << te ^（t ^ 2），t ^ 2e ^ t，1 / t >>为了计算弧长，我们将需要矢量导数，我们可以使用乘积规则计算：bb ul r'（t）= <<（t）（2te ^（t ^ 2））+（1）（e ^（t ^ 2）），（t ^ 2）（e ^ t）+（2t）（e ^ t）， - 1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^（t ^ 2）+ e ^（t ^ 2），t ^ 2e ^ t + 2te ^ t，-1 / t ^ 2 >>然后我们计算导数向量的大小：| bb ul r'（t）| = sqrt（（2t ^ 2e ^（t ^ 2）+ e ^（t ^ 2））^ 2 +（t ^ 2e ^ t + 2te ^ t）^ 2 +（ - 1 / t ^ 2）^ 2） ）“”= sqrt（e ^（2 t）t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^（2 t）t ^ 3 + 4 e ^（2 t）t ^ 2 + 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 2 + e ^（2 t ^ 2）+ 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 4）然后我们可以使用以下公式计算弧长：L = int_（1）^（ln2） | bb ul r 阅读更多 »

Sqrt（3）我们寻找向量函数的弧长：bb（ul r（t））= t，t，t，t >>对于t [1,2]我们可以很容易地用以下方法评估：L = int_alpha ^ beta || bb（ul（r'）（t））|| dt所以我们计算导数bb（ul（r'）（t））：bb（ul r'（t））= << 1,1,1 >>因此我们获得了弧长：L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt（1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2） dt = int_1 ^ 2 sqrt（3） dt = [sqrt（3）t] _1 ^ 2 = sqrt（3）（2-1） = sqrt（3）这个微不足道的结果应该毫不奇怪，因为给定的原始方程是一条直线。 阅读更多 »