锡[1，ln2]上的r（t）=（te ^（t ^ 2），t ^ 2e ^ t，1 / t）的弧长是多少？

回答：

弧长 #~~ 2.42533 # （5DP）

由于下限，弧长为负 #1# 大于上限 #LN2#

说明：

我们有一个参数向量函数，由下式给出：

#bb ul r（t）= << te ^（t ^ 2），t ^ 2e ^ t，1 / t >>#

为了计算弧长，我们将需要矢量导数，我们可以使用乘积规则计算：

#bb ul r'（t）= <<（t）（2te ^（t ^ 2））+（1）（e ^（t ^ 2）），（t ^ 2）（e ^ t）+（2t ）（e ^ t）， - 1 / t ^ 2 >>#

# = << 2t ^ 2e ^（t ^ 2）+ e ^（t ^ 2），t ^ 2e ^ t + 2te ^ t，-1 / t ^ 2 >>#

然后我们计算导数向量的大小：

#| bb ul r'（t）| = sqrt（（2t ^ 2e ^（t ^ 2）+ e ^（t ^ 2））^ 2 +（t ^ 2e ^ t + 2te ^ t）^ 2 +（ - 1 / t ^ 2）^ 2） ）#

#“”= sqrt（e ^（2 t）t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^（2 t）t ^ 3 + 4 e ^（2 t）t ^ 2 + 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 2 + e ^（2 t ^ 2）+ 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 4）#

然后我们可以使用以下方法计算弧长：

#L = int_（1）^（ln2） | bb ul r'（t）| dt#

# = int_（1）^（ln2） sqrt（e ^（2 t）t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^（2 t）t ^ 3 + 4 e ^（2 t）t ^ 2 + 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 2 + e ^（2 t ^ 2）+ 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 4） dt#

我们不太可能使用分析技术来计算这个积分，所以使用数值方法我们得到一个近似值：

#L ~~ -2.42533 # （5DP）

由于下限，弧长为负 #1# 大于上限 #LN2#