锡[1,2]上的r（t）=（t，t，t）的弧长是多少？

回答：

#sqrt（3）#

说明：

我们寻找向量函数的弧长：

#bb（ul r（t））= << t，t，t >># 对于 1,2中的#t#

我们可以使用以下方法评估：

#L = int_alpha ^ beta || bb（ul（r'）（t））|| dt#

所以我们计算导数， #bb（ul（r'）（t））#:

#bb（ul r'（t））= << 1,1,1 >>#

因此我们获得了弧长：

#L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt#

# = int_1 ^ 2 sqrt（1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2） dt#

# = int_1 ^ 2 sqrt（3） dt#

# = sqrt（3）t _1 ^ 2#

# = sqrt（3）（2-1）#

# = sqrt（3）#

这个微不足道的结果应该不足为奇，因为给定的原始方程是直线的。

在[0，（pi）/ 4]中x上的f（x）= - xsinx + xcos（x-pi / 2）的弧长是多少？

Pi / 4 [ab]中的f（x），x的弧长由下式给出：S_x = int_b ^ af（x）sqrt（1 + f'（x）^ 2）dx f（x）= - xsinx + xcos（x-pi / 2）= - xsinx + xsinx = 0 f'（x）= 0因为我们只有y = 0，所以我们可以把0到pi / 4之间的直线长度取为pi / 4- 0 = pi / 4的

锡[1，ln2]上的r（t）=（te ^（t ^ 2），t ^ 2e ^ t，1 / t）的弧长是多少？

弧长~~ -2.42533 （5dp）弧长是负的，因为下界1大于ln2的上界我们有一个参数向量函数，由下式给出：bb ul r（t）= << te ^（t ^ 2），t ^ 2e ^ t，1 / t >>为了计算弧长，我们将需要矢量导数，我们可以使用乘积规则计算：bb ul r'（t）= <<（t）（2te ^（t ^ 2））+（1）（e ^（t ^ 2）），（t ^ 2）（e ^ t）+（2t）（e ^ t）， - 1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^（t ^ 2）+ e ^（t ^ 2），t ^ 2e ^ t + 2te ^ t，-1 / t ^ 2 >>然后我们计算导数向量的大小：| bb ul r'（t）| = sqrt（（2t ^ 2e ^（t ^ 2）+ e ^（t ^ 2））^ 2 +（t ^ 2e ^ t + 2te ^ t）^ 2 +（ - 1 / t ^ 2）^ 2））“”= sqrt（e ^（2 t）t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^（2 t）t ^ 3 + 4 e ^（2 t）t ^ 2 + 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 2 + e ^（2 t ^ 2）+ 4 e ^（2 t ^ 2）t ^ 4）然后我们可以使用以下公式计算弧长：L = int_（1）^（ln2） | bb ul r