你如何找到（x ^ 2）/（sqrt（4-（9（x ^ 2）））的积分？

回答：

#int x ^ 2 / sqrt（4-9x ^ 2）dx = -1 / 18xsqrt（4-9x ^ 2）-2 / 27cos ^（ - 1）（（3x）/ 2）+ c#

说明：

对于这个问题有意义 #4-9x ^ 2> = 0#所以 #-2 / 3 <= X <= 2/3#。因此我们可以选择一个 #0 <= U <= PI# 这样的 #X = 2 / 3cosu#。使用这个，我们可以在积分中使用变量x #DX = -2 / 3sinudu#: #int x ^ 2 / sqrt（4-9x ^ 2）dx = -4 / 27intcos ^ 2u /（sqrt（1-cos ^ 2u））sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu# 在这里我们使用它 #1-COS ^ 2U = SIN ^ 2U# 那个 #0 <= U <= PI# #sinu> = 0#.

现在我们使用部件集成来查找 #intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2U = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + U + C-intcos ^ 2udu#。因此 #intcos ^ 2udu = 1/2（sinucosu + U + C）#.

所以我们发现了 #int x ^ 2 / sqrt（4-9x ^ 2）dx = -2 / 27（sinucosu + u + c）#，现在我们替代 #X# 回来 #U#，使用 #U = COS ^（ - 1）（（3×）/ 2）#所以 #int x ^ 2 / sqrt（4-9x ^ 2）dx = -1 / 9xsin（cos ^（ - 1）（（3x）/ 2）） - 2 / 27cos ^（ - 1）（（3x）/ 2 ）+ C#.

我们可以通过使用三角形中的正弦和余弦的定义来进一步简化这一过程。对于具有角度的直角三角形 #U# 在其中一个非右角 #sinu =“对方”/“最长的一面”#，而 #cosu =“相邻的一面”/“最长的一面”#，因为我们知道 #COSU =（3×）/ 2#，我们可以挑选相邻的一面 #3倍# 和最长的一面 #2#。使用毕达哥拉斯定理，我们发现了相反的一面 #sqrt（4-9x ^ 2）#所以 #sin（COS ^（ - 1）（（3×）/ 2））=西努= 1 / 2sqrt（4-9x ^ 2）#。因此 #int x ^ 2 / sqrt（4-9x ^ 2）dx = -1 / 18xsqrt（4-9x ^ 2）-2 / 27cos ^（ - 1）（（3x）/ 2）+ c#.