结石

V = piint_0 ^ 24（5-sqrt（y + 1））^ 2dy = pi（85 + 1/3）为了计算这个体积，我们在某种意义上将其切割成（无限细长）切片。我们设想该区域，为了帮助我们，我已经将图形包含在曲线下方的区域中。我们注意到y = x ^ 2-1越过x = 5的线，其中y = 24并且它越过线y = 0，其中x = 1图{x ^ 2-1 [1,5，-1,24]当在高度为dy（非常小的高度）的水平切片中切割该区域时。这些切片的长度很大程度上取决于y坐标。为了计算这个长度，我们需要知道从y = x ^ 2-1线上的点（y，x）到点（5，y）的距离。当然这是5-x，但我们想知道它取决于y。由于y = x ^ 2-1，我们知道x ^ 2 = y + 1，因为我们所关注的区域x> 0，x = sqrt（y + 1），因此这个距离取决于y，我们将表示r（y）由r（y）= 5-sqrt（y + 1）给出。现在我们围绕x = 5旋转这个区域，这意味着每个切片变成具有高度dy和半径r（y）的圆柱体，因此体积pir（y）^ 2dy。我们现在需要做的就是使用集成来添加这些无限小的卷。我们注意到y从0到24. V = int_0 ^ 24pir（y）^ 2dy = piint_0 ^ 24（5-sqrt（y + 1））^ 2dy = piint_0 ^ 24（25-10sqrt（y-1）+ y + 1）dy = piint_0 ^ 24（26 阅读更多 »

98 [a，b]上f的平均值是1 /（b-a）int_a ^ b f（x）dx。对于这个问题，即1 /（10-0）int_0 ^ 10（18x + 8）dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98。 阅读更多 »

平均值是4948/5 = 989.6。区间[a，b]上f的平均值是1 /（ba）int_a ^ bf（x）dx所以得到：1 /（2-0）int_0 ^ 2 2x ^ 3（x ^ 2 + 1）^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3（x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1）dx = int_0 ^ 2（x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3）dx = x ^ 12/12 +（4x ^ 10）/ 10 +（6x ^ 8）/ 8 +（4x ^ 6）/ 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 =（2）^ 12/12 +（2（2）^ 10）/ 5 +（3（2）^ 8）/ 4 +（2（2）^ 6）/ 3 +（ 2）^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989.6 阅读更多 »

1 / 2sin（2），大约0.4546487区间[a，b]上的函数f的平均值c由下式给出：c = 1 /（ba）int_a ^ bf（x）dx这里，这转换为平均值value：c = 1 /（0 - （ - 4））int _（ - 4）^ 0cos（x / 2）dx让我们使用替换u = x / 2。这意味着du = 1 / 2dx。然后我们可以重写积分：c = 1 / 4int _（ - 4）^ 0cos（x / 2）dx c = 1 / 2int _（ - 4）^ 0cos（x / 2）（1 / 2dx）分裂1 / 4进入1/2 * 1/2允许1 / 2dx存在于积分中，因此我们可以轻松地进行替换1 / 2dx = du。我们还需要将边界更改为u的边界，而不是x。为此，请获取当前的x边界并将其插入u = x / 2。 c = 1 / 2int _（ - 2）^ 0cos（u）du这是一个公共积分（注意d / dxsin（x）= cos（x））：c = 1/2 [sin（u）] _（ - 2）^ 0评估：c = 1/2（sin（0）-sin（-2））c = -1 / 2sin（-2）注意sin（-x）= - sin（x）：c = 1 / 2sin（2）c约0.4546487 阅读更多 »

平均值是16/3。区间[a，b]上的函数f的平均值是1 /（ba）int_a ^ bf（x）dx所以我们寻找的值是1 /（5-1）int_1 ^ 5（x-1）^ 2 dx = 1/4 [（x-1）^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [（4）^ 3-（0）^ 3] = 16/3 阅读更多 »

它是（4（sqrt2-1））/ pi区间[a，b]上的函数f的平均值是1 /（ba）int_a ^ bf（x）dx所以我们寻找的值是1 /（pi / 4-0）int_0 ^（pi / 4）secxtanx dx = 4 / pi [secx] _0 ^（pi / 4）= 4 / pi [sec（pi / 4）-sec（0）] = 4 / pi [ sqrt2-1] =（4（sqrt2-1））/ pi 阅读更多 »

[a，b}上的f的平均值是1 /（b-a）int_a ^ b f（x）dx。对于此间隔的此函数，我得到-1/3 Ave = 1 /（2-0）int_0 ^ 2（xx ^ 2）dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [（4 / 2-8 / 3） - （0）] = 1/2（-2/3）= -1/3 阅读更多 »

见下文。平均值为1 /（sqrtpi-0）int_0 ^ sqrtpi 10xsin（x ^ 2）dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin（x ^ 2）dx = 5 / sqrtpi [-cos（x ^ 2）] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Pedantic Note（12sqrtpi）/ pi没有合 理的分母。 阅读更多 »

取有限的整数int_1 ^ ooxe ^ -xdx，并注意它绑定sum_（n = 2）^ oo n e ^（ - n）。因此它是收敛的，所以sum_（n = 1）^ oo n e ^（ - n）也是如此。积分测试的形式陈述表明，如果fin [0，oo] rightarrowRR是单调递减函数，它是非负的。然后，当且仅当“sup”_（N> 0）int_0 ^ Nf（x）dx是有限的时，和sum_（n = 0）^ oof（n）是收敛的。 （Tau，Terence。分析I，第二版。印度斯坦书局.2009）。这个陈述似乎有点技术性，但这个想法如下。在这种情况下，函数f（x）= xe ^（ - x），我们注意到对于x> 1，此函数正在递减。我们可以通过获得衍生物来看到这一点。 f'（x）= e ^（ - x）-xe ^（ - x）=（1-x）e ^（ - x）<0，因为x> 1，所以（1-x）<0和e ^ （-x）> 0。因此，我们注意到对于任何ninNN _（> = 2）和[1，oo]中的x，使得x <= n，我们有f（x）> = f（n）。因此int_（n-1）^ nf（x）dx> = int_（n-1）^ nf（n）dx = f（n），所以sum_（n = 1）^ Nf（n）<= f（1 ）+ sum_（N = 2）^ Nint_第（n-1）^ NF（x）的DX = F（ 阅读更多 »

D）f（x）= x ^ 3，c = 3可以写出在c点处函数f（x）的导数的定义：lim_（h-> 0）（f（c + h）-f （c））/ h在我们的例子中，我们可以看到我们有（3 + h）^ 3，所以我们可能猜测函数是x ^ 3，而c = 3。如果我们将27写为3 ^ 3，我们可以验证这个假设：lim_（h-> 0）（（3 + h）^ 3-27）/ h = lim_（h-> 0）（（3 + h）^ 3 -3 ^ 3）/ h我们看到如果c = 3，我们得到：lim_（h-> 0）（（c + h）^ 3-c ^ 3）/ h我们可以看到函数只是在两种情况下都是一个立方值，所以函数必须是f（x）= x ^ 3：lim_（h-> 0）（（text（///））^ 3-（text（//））^ 3） /H 阅读更多 »

B）f（x）= cos（x），c = pi / 6我们知道：cos（pi / 6）= sqrt3 / 2这意味着我们可以像这样重写限制：lim_（h-> 0）（cos（ pi / 6 + h）-cos（pi / 6））/ h考虑在c点处函数f（x）的导数的定义：lim_（h-> 0）（f（c + h）-f （c））/ h一个合理的猜测是c = pi / 6，并且使用它，我们可以看到余弦函数的输入与定义中f（x）的输入相匹配：lim_（h- > 0）（cos（颜色（红色）（c + h）） - cos（颜色（红色）（c）））/ h这意味着如果c = pi / 6，那么f（x）= cos（x ）。 阅读更多 »

Int （1-sin ^ 2（x））/ sin ^ 2（x） dx = -cot（x）-x + C我们可以先将分数分成两部分：int （1-sin ^ 2（x ））/ sin ^ 2（x） dx = int 1 / sin ^ 2（x）-sin ^ 2（x）/ sin ^ 2（x） dx = = int 1 / sin ^ 2（x） -1 dx = int 1 / sin ^ 2（x） dx-x我们现在可以使用以下标识：1 / sin（theta）= csc（theta）int csc ^ 2（x） dx-x我们知道cot（x）的导数是-csc ^ 2（x），所以我们可以在积分的外部和内部添加一个减号（所以它们取消）来解决它：-int -csc ^ 2（ x） dx-x = -cot（x）-x + C. 阅读更多 »

Sinh（1/2）~~ 0.52我们知道sinh（x）的定义：sinh（x）=（e ^ xe ^ -x）/ 2因为我们知道e ^ x的Maclaurin系列，我们可以用它来为sinh（x）构造一个。 e ^ x = sum_（n = 0）^ oox ^ n /（n！）= 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 /（3！）...我们可以找到e ^的系列 - x用-x替换x：e ^ -x = sum_（n = 0）^ oo（-x）^ n /（n！）= sum_（n = 0）^ oo（-1）^ n /（n ！）x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 /（3！）...我们可以相互减去这两个来找到sinh定义的分子：颜色（白色）（ - E 1 -x。）E ^ X =颜色（白色）（....）1 + X + X ^ 2/2 + X ^ 3 /（3！）+ X ^ 4 /（4！）+ X ^ 5 /（5！）...颜色（白色）（e ^ x）-e ^ -x = -1 + xx ^ 2 + 2 + x ^ 3 /（3！） - x ^ 4 /（4！） + x ^ 5 /（5！）... e ^ xe ^ -x =颜色（白色）（lllllllll）2xcolor（白色）（lllllllll）+（2x ^ 3）/（3！）颜色（白色）（lllllll ）+（2x ^ 5）/（5！）......我们可以看到所有偶数项取消，所有奇数项都加倍。我们可以这样表 阅读更多 »

Dy / dx = 5（5-x）^ 3（4 + x）^ 4-3（4 + x）^ 5（5-x）^ 2 y =（5-x）^ 3（4 + x）^ 5 dy / dx = d / dx [（5-x）^ 3（4 + x）^ 5]颜色（白色）（dy / dx）=（5-x）^ 3d / dx [（4 + x）^ 5] +（4 + x）^ 5d / dx [（5-x）^ 3]颜色（白色）（dy / dx）=（5-x）^ 3（5 *（4 + x）^（5- 1）* d / dx [4 + x]）+（4 + x）^ 5（3 *（5-x）^（3-1）* d / dx [5-x]）颜色（白色）（dy） / dx）=（5-x）^ 3（5（4 + x）^ 4（1））+（4 + x）^ 5（3（5-x）^ 2（-1））颜色（白色） （DY / DX）= 5（5-X）^ 3（4 + x）的^ 4-3（4 + x）的^ 5（5-x）的^ 2 阅读更多 »

Dy / dx = 3 /（sqrt（16 - （9x ^ 2）））您需要使用链规则。回想一下，这个公式是：f（g（x））'= f'（g（x））* g'（x）这个想法是你首先采用最外层函数的导数，然后才能运行你的里面的方式。在开始之前，让我们在这个表达式中识别所有函数。我们有：arcsin（x）（3x）/ 4 arcsin（x）是最外面的函数，所以我们首先考虑它的导数。所以：dy / dx =颜色（蓝色）（d / dx [arcsin（3x / 4）] = 1 /（sqrt（1 - （（3x）/ 4）^ 2）））注意我们如何仍然保留（（3x）/ 4）在那里。请记住，在使用链规则时，您可以从外部区分，但在区分外部规则时仍保留内部函数。 （3x）/ 4是我们的下一个最外面的函数，所以我们也需要标记它的衍生物。所以：颜色（灰色）（dy / dx = d / dx [arcsin（3x / 4）] = 1 /（sqrt（1 - （（3x）/ 4）^ 2）））*颜色（蓝色）（d / dx（（3x）/ 4））=> dy / dx = 1 /（sqrt（1 - （（3x）/ 4）^ 2））*（3/4）这就是这个问题的微积分部分的结束！剩下的就是做一些简化来整理这个表达式，我们最终得到：=> dy / dx = 3 /（sqrt（16 - （9x ^ 2）））如果你想要一些额外的帮助连锁规则，我建议你看看我关于这个主题的 阅读更多 »

Int x ^ ln（x） dx = e ^（ - 1/4）sqrtpi / 2erfi（ln（x）+1/2）+ C我们以u = ln（x）的u替换开始。然后我们除以u的导数来相对于u进行积分：（du）/ dx = 1 / x int x ^ ln（x） dx = int x * x ^ u du现在我们需要求解x的u：u = ln（x）x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u *（e ^ u）^ u du = int e ^（u ^ 2 + u） du你可能猜测这没有基本的反衍生物，你是对的。然而，我们可以使用虚构误差函数的形式，erfi（x）：erfi（x）= int 2 / sqrtpie ^（x ^ 2） dx为了得到这个形式的积分，我们可能只有一个平方变量在e的指数中，我们需要完成平方：u ^ 2 + u =（u + 1/2）^ 2 + ku ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + kk = -1 / 4 u ^ 2 + u =（u + 1/2）^ 2-1 / 4 int e ^（u ^ 2 + u） du = int e ^（（u + 1/2）^ 2- 1/4） du = e ^（ - 1/4）int e ^（（u + 1/2）^ 2） du现在我们可以引入t = u + 1/2的u替换。导数只有1，所以我们不需要做任何特殊的事情来集成t：e ^（ - 1/4）int e ^（ 阅读更多 »

见下文。考虑到abs x <1 sum_（n = 1）^ oo（-1）^ nn（n-1）x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 /（dx ^ 2）sum_（n = 1）^ oo（ - x）^ n但sum_（n = 1）^ oo（-x）^ n = 1 /（1 - （ - x）） - 1和d ^ 2 /（dx ^ 2）sum_（n = 1）^ oo （-x）^ n = 2 /（x + 1）^ 3然后sum_（n = 1）^ oo（-1）^ nn（n-1）x ^ n =（2x ^ 2）/（x + 1 ）^ 3 阅读更多 »

Int sinh（x）/（1 + cosh（x）） dx = ln（1 + cosh（x））+ C我们首先引入u = 1 + cosh（x）的u替换。 u的导数则是sinh（x），因此我们通过sinh（x）除以与u：int sinh（x）/（1 + cosh（x）） dx = int cancel（sinh）相整合（x））/（cancel（sinh（x））* u） du = int 1 / u du这个积分是公共积分：int 1 / t dt = ln | t | + C这使我们的积分：ln | u | + C我们可以重新取代：ln（1 + cosh（x））+ C，这是我们的最终答案。我们从对数中删除绝对值，因为我们注意到cosh在其域上是正的，因此没有必要。 阅读更多 »

4 = lim_ {n-> oo}（3 / n ^ 3）[sum_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] +（3 / n）[sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1]“（Faulhaber公式）”= lim_ {n-> oo}（3 / n ^ 3）[（n（n + 1）（2n + 1））/ 6] +（3 / n）[n ] = lim_ {n-> oo}（3 / n ^ 3）[n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] +（3 / n）[n] = lim_ {n-> oo} [1 +（（3/2））/ n +（（1/2））/ n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 阅读更多 »

见下文。遗憾的是，积分内的函数不会集成到无法用基本函数表达的东西。您将不得不使用数值方法来执行此操作。我可以向您展示如何使用系列扩展来获得近似值。从几何级数开始：1 /（1-r）= 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_（n = 0）^ oor ^ n表示rlt1现在相对于r并使用极限0和x得到这个：int_0 ^ x1 /（1-r）dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr集成左侧：int_0 ^ x1 /（1-r）dr = [ - ln（1-r）] _ 0 ^ x = -ln（1-x）现在通过逐项积分来整合右侧：int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr = [r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 ...] _ 0 ^ x = x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / 3 + x ^ 4/4 + ......所以它遵循：-ln（1-x）= x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + ... impliesln（ 1-x）= -xx ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + ...现在除以x：ln（1-x）/ x =（ - xx ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + ...）/ x = -1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -...所 阅读更多 »

链规则：f'（g（x））* g'（x）在微积分中，当我们有复合函数时，我们使用链规则。它指出：导数将等于外部函数相对于内部的导数，乘以内部函数的导数。让我们看看数学看起来像什么：链规则：f'（g（x））* g'（x）假设我们有复合函数sin（5x）。我们知道：f（x）= sinx => f'（x）= cosx g（x）= 5x => g'（x）= 5因此导数将等于cos（5x）* 5 = 5cos（5x ）我们只需要找到我们的两个函数，找到它们的衍生物并输入Chain Rule表达式。希望这可以帮助！ 阅读更多 »

我们知道函数可以用这个公式近似f（x）= sum_ {k = 0} ^ {n} frac {f ^（（k））（x_0）} {k！}（x-x_0） ^ k + R_n（x）其中R_n（x）是余数。如果f（x）在x_0中可导出n次，则它可以工作。现在让我们假设n = 4，否则计算导数就太复杂了。让我们计算每个k = 0到4而不考虑余数。当k = 0时，公式变为： frac {e ^（2/0）} {0！}（x-0）^ 0我们看到e ^（2/0）是无关的，所以函数不能在x_0 = 0中近似 阅读更多 »

这是一种方法......让我们看看......线性的形式为f（x）= mx + b，其中m是斜率，x是变量，b是y轴截距。 （你知道的！）我们可以通过找到它的双导数（f''（x））和它等于零来找到函数的凹度。那我们来做吧！ f（x）= mx + b => f'（x）= m * 1 * x ^（1-1）+0 => f'（x）= m * 1 => f'（x）= m = > f''（x）= 0所以这告诉我们线性函数必须在每个给定点处曲线。知道线性函数图是一条直线，这没有意义，是吗？因此，线性函数图没有凹凸点。 阅读更多 »

所以我还需要在（x + 1）^ 2上使用链规则dy / dx = u'v + v'u u'= 2（x + 1）* 1 v'= 2 u =（x + 1）^ 2 v =（2x-1）进入产品规则。 dy / dx = 2（2x + 1）*（2x-1）+ 2（x + 1）^ 2 dy / dx = 2（4x ^ 2-1）+ 2（x ^ 2 + 2x + 1）dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x 阅读更多 »

我认为它没有标准化。作为1975年美国大学的学生，我们使用了Earl Swokowski的微积分（第一版）。他的定义是：如果存在包含c的开放区间（a，b），则函数f的图上的点P（c，f（c））是拐点，使得以下关系成立：（i） color（white）（'）“f''（x）> 0如果a <x <c且f''（x）<0，如果c <x <b;或者（ii）“f”（x）<0如果a <x <c且f''（x）> 0，如果c <x <b。 （第146页）在我用来教导的教科书中，我认为斯图尔特明智地包括f必须连续在c以避免分段奇怪的条件。 （见下面的注释。）这基本上是你提到的第一个选择。从那时起，我被指派用于教学的每本教科书都类似。 （我曾在美国的几个地方任教。）自从加入苏格拉底以后，我接触到了对拐点使用不同定义的数学家。因此看起来使用不是普遍定义的。在苏格拉底回答有关拐点的问题时，我通常会在问题中说出定义。注意在Swokowski的定义下，函数f（x）= {（tanx“，”，x <0），（tanx + 2“，”，x> = 0）：}具有拐点（0,2）。并且g（x）= {（tanx“，”，x <= 0），（tanx + 2“，”，x> 0）：}具有拐点（0,0）。使用斯图尔特的定义，这些函数都没有拐点。 阅读更多 »

Dy / dx = e ^ x（cosx + sinx）dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x xx sinx dy / dx = e ^ x（cosx + sinx） 阅读更多 »

相对于x，10x的导数是10.设y = 10x相对于x的微分y。 （dy）/（dx）= d /（dx）（10x）（dy）/（dx）= xd /（dx）（10）+ 10d /（dx）（x）[sinced /（dx）（uv） = ud /（dx）v + vd /（dx）u]（dy）/（dx）= x（0）+10（1）[d /（dx）（常数）= 0; d /（dx）（ x）= 1]（dy）/（dx）= 10相对于x的10倍的导数是10。 阅读更多 »

有一个区分这些函数的规则（d）/（dx）[a ^ u] =（ln a）*（a ^ u）*（du）/（dx）请注意，对于我们的问题a = 10和u = x所以让我们插上我们所知道的。 （d）/（dx）[10 ^ x] =（ln 10）*（10 ^ x）*（du）/（dx）如果u = x那么，（du）/（dx）= 1因为功率规则：（d）/（dx）[x ^ n] = n * x ^（n-1）所以，回到我们的问题，（d）/（dx）[10 ^ x] =（ln 10）*（ 10 ^ x）*（1）简化为（d）/（dx）[10 ^ x] =（ln 10）*（10 ^ x）如果你是比x更复杂的东西，这将是相同的。很多微积分都涉及将给定问题与差异化规则联系起来的能力。通常我们必须在开始之前改变问题的出现方式，但是问题并非如此。 阅读更多 »

D / dx2 ^（sin（pix））= 2 ^（sin（pix））* ln2 * cospix *（pi）使用以下标准的区分规则：d / dxa ^（u（x））= a ^ u * lna *（du）/ dx d / dx sinu（x）= cosu（x）*（du）/ dx d / dxax ^ n = nax ^（n-1）我们得到以下结果：d / dx2 ^（sin （PIX））= 2 ^（SIN（PIX））* * LN2 * cospix（PI） 阅读更多 »

D /（dx）（ - 4 / x ^ 2）= 8x ^（ - 3）给定，-4 / x ^ 2使用（dy）/（dx）表示法重写表达式。 d /（dx）（ - 4 / x ^ 2）分解分数。 = d /（dx）（ - 4 * 1 / x ^ 2）使用乘以常数规则，（c * f）'= c * f'，得出-4。 = -4 * d /（dx）（1 / x ^ 2）使用指数重写1 / x ^ 2。 = -4 * d /（dx）（x ^ -2）使用幂定律，d /（dx）（x ^ n）= n * x ^（n-1），表达式变为，= -4 * - 2x ^（ - 2-1）简化。 =颜色（绿色）（|巴（UL（颜色（白色）（A / A）颜色（黑色）（8倍速^ -3）颜色（白色）（A / A）|））） 阅读更多 »

D /（dx）（5 + 6 / x + 3 / x ^ 2）= - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3我觉得最容易根据指数形式进行思考并使用幂规则：d /（dx）x ^ n = nx ^（n-1）如下：d /（dx）（5 + 6 / x + 3 / x ^ 2）= d /（dx）（5 + 6x ^（ - 1） ）+ 3x ^（ - 2））= 0 + 6（（ - 1）x ^（ - 2））+ 3（（ - 2）x ^（ - 3））= -6x ^（ - 2）-6x ^ （-3）= -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 阅读更多 »

-5现在区分的幂规则是：d /（dx）（ax ^ n）= anx ^（n-1）：。d /（dx）（ - 5x）= d /（dx）（ - 5x ^ 1 ）= -5xx1xx x ^（1-1）使用幂规则= -5x ^ 0 = -5如果我们使用定义（dy）/（dx）= Lim_（h rarr0）（f（x + h）-f （x））/ h我们有（dy）/（dx）= Lim_（h rarr0）（ - 5（x + h） - -5x）/ h（dy）/（dx）= Lim_（h rarr0）（ - 5x-5h + 5x）/ h（dy）/（dx）= Lim_（h rarr0）（ - 5h）/ h（dy）/（dx）= Lim_（h rarr0）（ - 5）= - 5与之前一样 阅读更多 »

D / dx | u | = u / | u | *（du）/ dx绝对值函数，如y = | x-2 |可以这样写：y = sqrt（（x-2）^ 2）应用微分：y'=（2（x-2））/（2sqrt（（x-2）^ 2））rarrpower规则简化，y “=（X-2）/ | X-2 |其中x！= 2所以通常d / dxu = u / | u | *（du）/ dx我会把它放在双重检查上以确定。 阅读更多 »

我假设你指的是等边双曲线，因为它是唯一可以表示为一个实变量的实际函数的双曲线。该函数由f（x）= 1 / x定义。根据定义，forall x in（-infty，0）cup（0，+ infty）的导数为：f'（x）= lim_ {h to 0} {f（x + h）-f（x）} / { h} = lim_ {h to 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h to 0} {{x-（x + h）} / {（x + h） x}} / {h} = lim_ {h到0} { - h} / {xh（x + h）} = lim_ {h到0} { - 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2这也可以通过以下推导规则获得：1（x ^ alpha）'= alpha x ^ {alpha-1}。在这种情况下，对于alpha = -1，得到（1 / x）'=（x ^ { - 1}）'=（ - 1）x ^ { - 2} = - 1 / x ^ 2 阅读更多 »

一个侧面评论开头：反余弦函数的符号cos ^ -1（更明确地，余弦限制为[0，pi]的反函数）是广泛但有误导性的。实际上，使用trig函数时指数的标准约定（例如，cos ^ 2 x：=（cos x）^ 2表明cos ^（ - 1）x是（cos x）^（ - 1）= 1 /（cos x）。当然，它不是，但是符号是非常误导的。替代（和常用）符号arccos x要好得多。现在对于导数。这是一个复合，所以我们将使用链规则。将需要（x ^ 3）'= 3x ^ 2和（arccos x）'= - 1 / sqrt（1-x ^ 2）（参见反向三角函数的微积分）。使用链规则：（arccos（x ^ 3） ））'= - 1 / sqrt（1-（x ^ 3）^ 2） times（x ^ 3）'= - （3x ^ 2）/ sqrt（1-x ^ 6）。 阅读更多 »

F'（x）= - 1 /（xsqrt（1-x ^ 2）） - （cos ^ -1x）/ x ^ 2使用商数规则，即y = f（x）/ g（x），则y '=（f'（x）g（x）-f（x）g'（x））/（g（x））^ 2将此问题应用于给定问题，即f（x）=（cos ^ -1x ）/ x f'（x）=（（cos ^ -1x）'（x） - （cos ^ -1x）（x）'）/ x ^ 2 f'（x）=（ - 1 / sqrt（1-） x ^ 2）* x-cos ^ -1x）/ x ^ 2 f'（x）= - 1 /（xsqrt（1-x ^ 2）） - （cos ^ -1x）/ x ^ 2，其中-1 阅读更多 »

通过隐式微分，f'（x）= - 1 / {1 + x ^ 2}让我们看一些细节。通过用y替换f（x），y = cot ^ { - 1} x通过重写余切，Rightarrow coty = x通过隐式区分x，Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1除以-csc ^ 2y，Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y}由trig标识csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2，Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2}因此，f'（x）= - 1 / {1 + x ^ 2} 阅读更多 »

Dy / dx = -1 / sqrt（x ^ 4 - x ^ 2）过程：1.）y =“arccsc”（x）首先，我们将以更易于使用的形式重写等式。取两边的cosecant：2。）csc y = x用正弦重写：3。）1 / siny = x求解y：4。）1 = xsin y 5.）1 / x = sin y 6。 ）y = arcsin（1 / x）现在，采用导数应该更容易。现在只是链条规则的问题。我们知道d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt（1 - alpha ^ 2）（这里有这种身份的证明）所以，取外部函数的导数，然后乘以1的导数x：7。）dy / dx = 1 / sqrt（1 - （1 / x）^ 2）* d / dx [1 / x] 1 / x的导数与x ^的导数（-1）相同）：8。）dy / dx = 1 / sqrt（1 - （1 / x）^ 2）*（-x ^（ - 2））简化8.给出：9。）dy / dx = -1 /（ x ^ 2 * sqrt（1 - 1 / x ^ 2））为了使语句更漂亮，我们可以将x ^ 2的平方置于基数内，尽管这不是必需的：10。）dy / dx = -1 /（sqrt（x ^ 4（1 - 1 / x ^ 2）））简化产量：11。）dy / dx = -1 / sqrt（x ^ 4 - x ^ 2）我们得到答案。请记住，涉及反向三角函数的衍生问题主要是您对三角形身份知识的 阅读更多 »

F'（x）= e ^（4x）/ ln10（4ln（1-x）-1 /（1-x））说明：f（x）= e ^（4x） log（1-x）转换自base 10到ef（x）= e ^（4x） ln（1-x）/ ln10使用乘积规则，即y = f（x）* g（x）y'= f（x）* g'（ x）+ f'（x）* g（x）对于给定问题同样如下，f'（x）= e ^（4x）/ ln10 * 1 /（1-x）（ - 1）+ ln（1- x）/ ln10 * e ^（4x）*（4）f'（x）= e ^（4x）/ ln10（4ln（1-x）-1 /（1-x）） 阅读更多 »

在f（x）= ln（cos（x））中，我们有一个函数的函数（它不是乘法，只是说'），所以我们需要使用链式规则来得到导数：d / dx（f（g（ x））= f'（g（x））* g'（x）对于这个问题，f（x）= ln（x）和g（x）= cos（x），我们有f'（x） = 1 / x和g'（x）= - sin（x），然后我们将g（x）插入f'（*）的公式中.d / dx（ln（cos（x）））= 1 /（ cos（x））* d / dx（cos（x））=（1）/（cos（x））*（ - sin（x））=（ - sin（x））/ cos（x）= - tan （x）。当你了解积分时，这值得记住！告诉他们dansmath回答了你的问题！/ 阅读更多 »

首先，我们将使用基数变化规则以自然对数重写函数：f（x）= ln（e ^ x + 3）/ ln4区分将需要使用链规则：d / dx f （x）= 1 / ln 4 * d /（d（e ^ x + 3））[ln（e ^ x + 3）] * d / dx [e ^ x + 3]我们知道因为ln的导数关于x的x是1 / x，则ln（e ^ x + 3）相对于e ^ x + 3的导数将是1 /（e ^ x + 3）。我们还知道e ^ x + 3相对于x的导数将简单地为e ^ x：d / dx f（x）= 1 / ln 4 * 1 /（e ^ x + 3）*（e ^ x ）简化收益率：d / dx f（x）=（e ^ x）/（ln 4（e ^ x + 3）） 阅读更多 »

一个侧面评论开头：反正弦函数的符号sin ^ -1（更明确地，正弦限制到[-pi / 2，pi / 2]的反函数）是广泛但有误导性的。实际上，使用trig函数时指数的标准约定（例如，sin ^ 2 x：=（sin x）^ 2表明sin ^（ - 1）x是（sin x）^（ - 1）= 1 /（sin） x）。当然，它不是，但是符号是非常误导的。替代（和常用）符号arcsin x要好得多。现在对于导数。这是一个复合，所以我们将使用链规则。将需要（ln x）'= 1 / x（参见对数微积分）和（arcsin x）'= 1 / sqrt（1-x ^ 2）（参见反向三角函数的微积分）。使用链规则：（ln （arcsin x））'= 1 / arcsin x times（arcsin x）'= 1 /（arcsin x sqrt（1-x ^ 2））。 阅读更多 »

F'（x）= 2（cosec2x）解f（x）= ln（tan（x））让我们从一般例子开始，假设我们有y = f（g（x））那么，使用链规则，y'= f'（g（x））* g'（x）同样遵循给定的问题，f'（x）= 1 / tanx * sec ^ 2x f'（x）= cosx / sinx * 1 /（cos ^ 2x） f'（x）= 1 /（sinxcosx）为了进一步简化，我们乘以并除以2，f'（x）= 2 /（2sinxcosx）f'（x）= 2 /（sin2x）f'（x）= 2（cosec2x） 阅读更多 »

方法1：我们将首先使用基数变换规则将f（x）等效地重写为：f（x）=（lnx / ln6）^ 2我们知道d / dx [ln x] = 1 / x 。 （如果此身份看起来不熟悉，请查看此页面上的一些视频以获得进一步说明）因此，我们将应用链规则：f'（x）= 2 *（lnx / ln6）^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] ln x / 6的导数为1 /（xln6）：f'（x）= 2 *（lnx / ln6）^ 1 * 1 /（xln 6）简化给出：f'（x） =（2lnx）/（x（ln6）^ 2）方法2：首先要注意的是只有d / dx ln（x）= 1 / x，其中ln = log_e。换句话说，只有基数是e。因此，我们必须将log_6转换为仅具有log_e = ln的表达式。我们使用事实log_a b =（log_ {n} b）/（log_ {n} a）=（ln b）/ ln a当n = e时，让z =（ln x / ln 6）这样f（x）= z ^ 2因此，f'（x）= d / dx z ^ 2 =（d / dz z ^ 2）（dz / dx）= 2z d / dx（ln x / ln 6）=（ 2z）/（ln 6）d / dx ln x =（2z）/（ln 6）1 / x =（2 / ln 6）（ln x / ln 6）（1 / x）=（2 ln x）/ （x *（ln 6）^ 2） 阅读更多 »

我假设通过日志你的意思是基数为10的对数。因为逻辑也适用于其他基数，所以不应该是一个问题。首先，我们将应用基本变换规则：f（x）= y = ln（x ^ 2 + x）/ ln（10）我们可以认为1 / ln10只是一个常数，所以取导数分子并应用链规则：dy / dx = 1 / ln（10）* 1 /（x ^ 2 + x）*（2x + 1）简化一下：dy / dx =（2x + 1）/（ln（ 10）*（x ^ 2 + x））这是我们的衍生物。请记住，在没有基数的情况下采用对数的导数只是使用基数变换规则将它们转换为易于区分的自然对数的问题。 阅读更多 »

导数是f'（x）=（1-logx）/ x ^ 2。这是商数规则的一个示例：商数规则。商规则指出函数f（x）=（u（x））/（v（x））的导数是：f'（x）=（v（x）u'（x）-u（x ）v'（X））/（v（X））^ 2。更简洁地说：f'（x）=（vu'-uv'）/ v ^ 2，其中u和v是函数（具体地说，是原函数f（x）的分子和分母）。对于这个具体的例子，我们将u = logx和v = x。因此u'= 1 / x且v'= 1。将这些结果代入商数规则，我们发现：f'（x）=（x xx 1 / x-logx xx 1）/ x ^ 2 f'（x）=（1-logx）/ x ^ 2。 阅读更多 »

通过商数规则，y'= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2}这个问题也可以通过产品规则y'= f来解决'（x）g（x）+ f（x）g（x）原始函数也可以使用负指数重写。 f（x）= ln（x）/ x = ln（x）* x ^ -1 f'（x）= 1 / x * x ^ -1 + ln（x）* - 1x ^ -2 f'（x ）= 1 / x * 1 / x + ln（x）* - 1 / x ^ 2 f'（x）= 1 / x ^ 2-ln（x）/ x ^ 2 f'（x）=（1- LN（X））/ X ^ 2 阅读更多 »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 /（sqrt（x ^ 4 - x ^ 2））过程：首先，我们将使等式更易于处理。取两边的割线：y = sec ^ -1 x sec y = x接下来，用cos重写：1 / cos y = x并求解y：1 = xcosy 1 / x = cosy y = arccos（1 / x）现在看起来更容易区分。我们知道d / dx [arccos（alpha）] = -1 /（sqrt（1-alpha ^ 2））所以我们可以使用这个身份以及链规则：dy / dx = -1 / sqrt（1 - （1 / x）^ 2）* d / dx [1 / x]有点简化：dy / dx = -1 / sqrt（1 - 1 / x ^ 2）*（ - 1 / x ^ 2）一点点更简化：dy / dx = 1 /（x ^ 2sqrt（1 - 1 / x ^ 2））为了使方程更漂亮，我将移动基数内的x ^ 2：dy / dx = 1 /（sqrt（ x ^ 4（1 - 1 / x ^ 2）））一些最终的减少：dy / dx = 1 /（sqrt（x ^ 4 - x ^ 2））并且有我们的衍生物。在区分反向触发功能时，关键是以易于处理的形式获取它们。最重要的是，它们是你对三角恒等式和代数操纵的一种练习。 阅读更多 »

大多数人都记得这个f'（x）= 1 / {sqrt {1-x ^ 2}}作为衍生公式之一;但是，你可以通过隐式区分来推导它。让我们推导出衍生物。设y = sin ^ { - 1} x。通过用正弦重写，siny = x通过隐含地区分x，舒适的cdot {dy} / {dx} = 1通过除以，{dy} / {dx} = 1 / cozy By cozy = sqrt { 1-sin ^ 2y}，{dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y}由siny = x，{dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} 阅读更多 »

我似乎记得我的教授忘了如何推导出这个。这就是我给他看的：y = arctanx tany = x sec ^ 2y（dy）/（dx）= 1（dy）/（dx）= 1 /（sec ^ 2y）因为tany = x / 1和sqrt（1 ^ 2 + x ^ 2）= sqrt（1 + x ^ 2），sec ^ 2y =（sqrt（1 + x ^ 2）/ 1）^ 2 = 1 + x ^ 2 =>颜色（蓝色）（（dy ）/（dx）= 1 /（1 + x ^ 2））我认为他原本打算这样做：（dy）/（dx）= 1 /（sec ^ 2y）sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x - > sec ^ 2y = 1 + x ^ 2 =>（dy）/（dx）= 1 /（1 + x ^ 2） 阅读更多 »

F'（x）= 3x ^ 2-6x我们需要求和规则（u + v + w）'= u'+ v'+ w'和那个（x ^ n）'= nx ^（n-1）所以我们得到f'（x）= 3x ^ 2-6x 阅读更多 »

当您使用e以外的基数来区分指数时，使用基数更改规则将其转换为自然对数：f（x）= x * lnx / ln5现在，区分并应用产品规则：d / dxf（x）= d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5]我们知道ln x的导数是1 / x。如果我们将1 / ln5视为常数，那么我们可以将上述等式减少为：d / dxf（x）= lnx / ln5 + x /（xln5）简化产量：d / dxf（x）=（lnx + 1） / LN 5 阅读更多 »

函数f（x）= x * ln（x）的形式为f（x）= g（x）* h（x），这使其适用于产品规则的应用。产品规则说，要找到函数的导数是两个或更多函数的乘积，请使用以下公式：f'（x）= g'（x）h（x）+ g（x）h'（x）In在我们的例子中，我们可以为每个函数使用以下值：g（x）= xh（x）= ln（x）g'（x）= 1 h'（x）= 1 / x当我们将每个函数替换为产品规则，我们得到最终答案：f'（x）= 1 * ln（x）+ x * 1 / x = ln（x）+ 1在此处了解有关产品规则的更多信息。 阅读更多 »

（df）/ dx = sqrt（1-x ^ 2）-x ^ 2 /（sqrt（1-x ^ 2））。我们需要使用两个规则：产品规则和链规则。产品规则规定：（d（fg））/ dx =（df）/ dx * g（x）+ f（x）*（dg）/ dx。链规则指出：（dy）/ dx =（dy）/（du）（du）/ dx，其中u是x的函数，y是u的函数。因此，（df）/ dx =（x）'*（sqrt（1-x ^ 2））+ x *（sqrt（1-x ^ 2））'找到sqrt的导数（1-x ^ 2） ，使用链式规则，u = 1-x ^ 2：（sqrtu）'= 1 /（2sqrtu）* u'= - （2x）/（2（sqrt（1-x ^ 2））= - x / （sqrt（1-x ^ 2））。将该结果代入原始等式：（df）/ dx = sqrt（1-x ^ 2）-x ^ 2 /（sqrt（1-x ^ 2））。 阅读更多 »

G'（x）= 1-4 /（x ^ 2）为了找到g（x）的导数，你必须区分和g'（x）= d / dx（x）+ d / dx中的每个项（ 4 / x）通过将其重写为g'（x）= d / dx（x）+ d / dx（4x ^ -1）g'（x）= 1 +，更容易看到第二项的幂规则4d / dx（x ^ -1）g'（x）= 1 + 4（-1x ^（ - 1-1））g'（x）= 1 + 4（-x ^（ - 2））g'（ x）= 1 - 4x ^ -2最后，你可以将这个新的第二项重写为分数：g'（x）= 1-4 /（x ^ 2） 阅读更多 »

你可以将i视为任何常数，例如C.因此，i的导数将为0.但是，在处理复数时，我们必须谨慎对待函数，导数和积分。取函数f（z），其中z是复数（即f具有复数域）。然后f的导数以与实际情况类似的方式定义：f ^ prime（z）= lim_（h到0）（f（z + h）-f（z））/（h）其中h现在是一个复杂的数字。看到复杂的数字可以被认为是躺在一个称为复杂平面的平面中，我们认为这个限制的结果取决于我们如何选择使h变为0（也就是说，我们选择这样做的路径）。在常数C的情况下，很容易看出它的导数是0（证明类似于实际情况）。例如，将f设为f（z）= bar（z），即f将复数z乘入其共轭条（z）。然后，f的导数是f ^ prime（z）= lim_（h到0）（f（z + h）-f（z））/（h）= lim_（h到0）（bar（z + h） ）-bar（z））/（h）= lim_（h到0）（bar（h）+ bar（z）-bar（z））/（h）= lim_（h到0）（bar（h） ）/（h）考虑仅使用实数使h变为0。由于实数的复共轭本身，我们有：f ^ prime（z）= lim_（h到0）（bar（h））/（h）= = lim_（h到0）h / h = = lim_（h到0）1 = 1现在，使用纯虚数（形式为ai的数字）使h变为0。由于纯虚数w的共轭是-w，我们得到：f ^ prime（z）= lim_（h到0）（bar（h））/（h）= = lim_（h到0 阅读更多 »

（ln（2x））'= 1 /（2x）* 2 = 1 / x。您使用链规则：（f @ g）'（x）=（f（g（x）））'= f'（g（x））* g'（x）。在你的情况下：（f @ g）（x）= ln（2x），f（x）= ln（x）和g（x）= 2x。由于f'（x）= 1 / x且g'（x）= 2，我们得到：（f @ g）'（x）=（ln（2x））'= 1 /（2x）* 2 = 1 / X。 阅读更多 »

考虑函数（线性）：y = mx + b其中m和b是实数，此函数的导数y'（相对于x）是：y'= m此函数，y = mx + b，以图形方式表示直线，数字m表示线的斜率（或者如果您想要线的倾斜度）。正如你所看到的那样导出线性函数y = mx + b给出m，这条线的斜率是一个非常可重复的结果，广泛用于微积分！作为一个例子你可以考虑函数：y = 4x + 5你可以推导出每个因子：4x的导数是5的4导数是0然后将它们加在一起得到：y'= 4 + 0 = 4（记住，常数k的导数为零，k * x ^ n的导数为knx ^（n-1），x ^ 0 = 1） 阅读更多 »

Pi * r ^ 2的导数（假设这是关于r）是颜色（白色）（“XXX”）（d pir ^ 2）/（dr）=颜色（红色）（2pir）一般来说功率用于区分一般形式的函数的规则f（x）= c * x ^ a其中c是常数是（df（x））/（dx）= a * c * x ^（a-1）在这种情况下颜色（白色）（“XXX”）常数（c）是pi颜色（白色）（“XXX”）指数（a）是2颜色（白色）（“XXX”），我们使用r作为变量，代替x所以颜色（白色）（“XXX”）（d（pir ^ 2））/（dr）= 2 * pi * r ^（2-1）颜色（白色）（“XXXXXXX”）= 2pir 阅读更多 »

Pi / 3我们将使用规则：d / dx（cx）= cd / dx（x）= c换句话说，5x的导数是5，-99x的导数是-99，导数是5 / 7x是5/7。给定的函数（pix）/ 3是相同的：它是常数pi / 3乘以变量x。因此，d / dx（（pix）/ 3）= pi / 3d / dx（x）= pi / 3。 阅读更多 »

2 * cos（2x）我会使用链规则：首先导出sin然后参数2x得到：cos（2x）* 2 阅读更多 »

之前的答案包含错误。这是正确的推导。首先，函数f（x）= - sin（x）前面的负号，当取一个导数时，会将函数f（x）= sin（x）的导数符号改为相反的符号。这是限制理论中的一个简单定理：常数的极限乘以变量等于该常数乘以变量的极限。那么，让我们找到f（x）= sin（x）的导数，然后乘以-1。我们必须从以下关于三角函数f（x）= sin（x）的极限的陈述开始，因为它的参数趋于零：lim_（h-> 0）sin（h）/ h = 1证明这纯粹是几何的并且基于函数sin（x）的定义。有许多Web资源包含此语句的证明，如The Math Page。使用这个，我们可以计算f（x）= sin（x）的导数：f'（x）= lim_（h-> 0）（sin（x + h）-sin（x））/ h使用表示sin函数作为sin和cos的乘积的差异（参见Unizor，三角函数 - 角度的Trig和 - 问题4），f'（x）= lim_（h-> 0）（2 * sin（h / 2）cos （x + h / 2））/ h f'（x）= lim_（h-> 0）sin（h / 2）/（h / 2）* lim_（h-> 0）cos（x + h / 2 ）f'（x）= 1 * cos（x）= cos（x）因此，f（x）= - sin（x）的导数是f'（x）= - cos（x）。 阅读更多 »

答案1如果你想得到f（x，y）= sin（x ^ 2y ^ 2）的偏导数，它们是：f_x（x，y）= 2xy ^ 2cos（x ^ 2y ^ 2）和f_y（x， Y）= 2×^ 2ycos（X ^ 2Y ^ 2）。答案2如果我们考虑y是x的函数并寻找d /（dx）（sin（x ^ 2y ^ 2）），答案是：d /（dx）（sin（x ^ 2y ^ 2） ））= [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y（dy）/（dx）] cos（x ^ 2y ^ 2）使用隐式微分（链规则）和乘积规则来找到它。 d /（dx）（sin（x ^ 2y ^ 2））= [cos（x ^ 2y ^ 2）] * d /（dx）（x ^ 2y ^ 2）== [cos（x ^ 2y ^ 2） ] * [2xy ^ 2 + x ^ 2 2y（dy）/（dx）] = [2xy ^ 2 + 2x ^ 2y（dy）/（dx）] cos（x ^ 2y ^ 2） 阅读更多 »

功率规则：（dy）/（dx）[x ^ n] = n * x ^（n-1）功率规则+链规则：（dy）/（dx）[u ^ n] = n * u ^（n -1）*（du）/（dx）设u = 2x so（du）/（dx）= 2我们留下y = sqrt（u），可以改写为y = u ^（1/2）现在，可以使用幂规则和链规则找到（dy）/（dx）。回到我们的问题：（dy）/（dx）= 1/2 * u ^（ - 1/2）*（du）/（dx）插入（du）/（dx）我们得到：（dy）/（ dx）= 1/2 * u ^（ - 1/2）*（2）我们知道：2/2 = 1因此，（dy）/（dx）= u ^（ - 1/2）插入值因为我们发现：（dy）/（dx）= 2x ^（ - 1/2） 阅读更多 »

Dy / dx =（ycos（xy））/（1-xcos（xy））使用隐式微分，乘积规则和链规则得到d / dxy = d / dxsin（xy）=> dy / dx = cos（xy）（d / dx（xy））= cos（xy）[x（d / dxy）+ y（d / dxx）] = cos（xy）（xdy / dx + y）= xcos（xy）dy / dx + ycos（xy）=> dy / dx-xcos（xy）dy / dx = ycos（xy）=> dy / dx（1-xcos（xy））= ycos（xy）:. dy / dx =（ycos（xy））/（1-xcos（xy）） 阅读更多 »

它给出了关于速度的动量方程......动能的函数或方程为：bb（KE）= 1 / 2mv ^ 2取导数方向得到速度（v）得到：d /（dv）（1 / 2mv ^ 2）取常数得到：= 1 / 2m * d /（dv）（v ^ 2）现在使用幂规则，它表明d / dx（x ^ n）= nx ^（n- 1）得到：= 1 / 2m * 2v简化得到：= mv如果你学习物理学，你应该清楚地看到这是动量的等式，并指出：p = mv 阅读更多 »

（dv）/ dt =（2pirh）/ 3（（dr）/ dt）+（pir ^ 2）/ 3（（dh）/ dt）如果你正在做相关的费率，你可能就t来区分或时间：d / dt（v）= d / dt（pi / 3r ^ 2h）（dv）/ dt = pi / 3d / dt（r ^ 2h）（dv）/ dt = pi / 3（d / dt（ r ^ 2）h + d / dt（h）r ^ 2）（dv）/ dt = pi / 3（2rd / dt（r）h +（dh）/ dtr ^ 2）（dv）/ dt = pi / 3 （2r（（dr）/ dt）h +（（dh）/ dt）r ^ 2）（dv）/ dt =（2pirh）/ 3（（dr）/ dt）+（pir ^ 2）/ 3（（dh） ）/ dt）的 阅读更多 »

好吧，当我想到时间上的导数时，我会想到一些变化，当涉及到电压时，我会想到电容器。电容器是在施加电压V时可以存储电荷Q的装置。该器件具有由称为电容C的常数描述的特性（物理，几何）。这些量之间的关系为：Q（t）= C * V（t）如果从时间推导得到电流通过电容器变化的电压：d / dtQ（t）= Cd / dtV（t）其中Q（t）的导数是电流，即：i（t）= Cd / dtV（t）这个等式告诉你当电压电容器没有变化，电流不流动;要有电流，电压必须改变。 （我希望它有所帮助） 阅读更多 »

Dy / dx = x ^（1 / x）（（1-lnx）/ x ^ 2）在函数提升到函数幂的情况下，我们将使用对数微分和隐式微分，如下所示：y = x ^（1 / x）lny = ln（x ^（1 / x））从ln（a ^ b）= blna的事实：lny = lnx / x区分（左侧将被隐式区分）：1 / y * dy / dx =（1-lnx）/ x ^ 2求解dy / dx：dy / dx = y（（1-lnx）/ x ^ 2）回顾y = x ^（1 / x）： DY / DX = X ^（1 / X）（（1-LNX）/ X ^ 2） 阅读更多 »

图片参考...希望它有帮助.... 阅读更多 »

Dy / dx = -1/2 at（x，y）=（8,1）首先，让我们使用隐式微分来找到dy / dx：d / dx（x ^（2/3）+ y ^（2/3） ）= d / dx5 => 2 / 3x ^（ - 1/3）+ 2 / 3y ^（ - 1/3）dy / dx = 0 => 2 / 3y ^（ - 1/3）dy / dx = - 2 / 3x ^（ - 1/3）=> dy / dx = - （x / y）^（ - 1/3）现在，我们在（x，y）=（8，...的给定点评估dy / dx 1）dy / dx | _（（x，y）=（8,1））= - （8/1）^（ - 1/3）= - 8 ^（ - 1/3）= -1 / 2 阅读更多 »

1/2（x / 2）'= 1/2（x）'= 1/2 * 1 = 1/2 阅读更多 »

Y ^'= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x您可以使用和和幂规则来区分此功能。请注意，您可以将此函数重写为y =（x ^ 2 + x）^ 2 = [x（x + 1）] ^ 2 = x ^ 2 *（x + 1）^ 2 y = x ^ 2 *（x ^ 2 + 2x + 1）= x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2现在，求和规则告诉您对于采用y = sum_（i = 1）^（oo）f_i（x）形式的函数可以通过添加这些单个函数的导数来找到y的导数。颜色（蓝色）（d / dx（y）= f_1 ^'（x）+ f_2 ^'（x）+ ...在你的情况下，你有y ^'= d / dx（x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2）y ^'= d / dx（x ^ 4）+ d / dx（2x ^ 2）+ d / dx（x ^ 2）y ^'= d / dx（x ^ 4）* 2d / dx（x ^ 3）* d / dx（x ^ 2）要区分这些分数，请使用幂规则颜色（蓝色）（d / dx（x ^ a）= ax ^（a-1））所以，你的导数将会出现y ^'= 4x ^（4-1）+ 2 * 3x ^（3-1）+ 2x ^（2-1）y ^'=颜色（绿色）（4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x）或者，您可以使用链规则区分y。颜色（蓝色）（d / dx（y）= d /（du）（y）* d / 阅读更多 »

Dy / dx = x ^ x（ln（x）+1）我们有：y = x ^ x让我们在两侧采用自然对数。 ln（y）= ln（x ^ x）使用log_a（b ^ c）= clog_a（b），=> ln（y）= xln（x）的事实在两侧应用d / dx。 => d / dx（ln（y））= d / dx（xln（x））链规则：如果f（x）= g（h（x）），那么f'（x）= g'（h （x））* h'（x）幂规则：如果n是常数，则d / dx（x ^ n）= nx ^（n-1）。此外，d / dx（lnx）= 1 / x最后，乘积规则：如果f（x）= g（x）* h（x），则f'（x）= g'（x）* h（x ）+ g（x）* h'（x）我们有：=> dy / dx * 1 / y = d / dx（x）* ln（x）+ x * d / dx（ln（x））=> dy / dx * 1 / y = 1 * ln（x）+ x * 1 / x => dy / dx * 1 / y = ln（x）+ cancelx * 1 / cancelx（当x = 0时不用担心，因为ln（0）未定义）=> dy / dx * 1 / y = ln（x）+1 => dy / dx = y（ln（x）+1）现在，由于y = x ^ x，我们可以替代y。 => DY / DX 阅读更多 »

对于函数f（x）= x ^ n，n不应该等于0，原因将变得清楚。 n也应该是整数或有理数（即分数）。规则是：f（x）= x ^ n => f'（x）= nx ^（n-1）换句话说，我们“借”x的幂并使其成为导数的系数，然后从功率中减去1。 f（x）= x ^ 2 => f'（x）= 2x ^ 1 f（x）= x ^ 7 => f'（x）= 7x ^ 6 f（x）= x ^（1/2） => f'（x）= 1/2 * x ^（ - 1/2）正如我所提到的，特殊情况是n = 0。这意味着f（x）= x ^ 0 = 1我们可以使用我们的规则并在技术上得到正确的答案：f'（x）= 0x ^ -1 = 0但是，稍后在轨道上，我们将遇到并发症当我们尝试使用此规则的反转时。 阅读更多 »

我们可以使用Implicit Differentiation在几个步骤中解决这个问题。步骤1）相对于x取两边的导数。 （Delta）/（Deltax）（y ^ 2）=（Delta）/（Deltax）（x）步骤2）为了找到（Delta）/（Deltax）（y ^ 2），我们必须使用链规则，因为变量是不同的。链规则：（Delta）/（Deltax）（u ^ n）=（n * u ^（n-1））*（u'）插入我们的问题：（Delta）/（Deltax）（y ^ 2）= （2 * y）*（Deltay）/（Deltax）步骤3）使用简单的幂规则查找（Delta）/（Deltax）（x），因为变量是相同的。功率规则：（Delta）/（Deltax）（x ^ n）=（n * x ^（n-1））插入我们的问题：（Delta）/（Deltax）（x）= 1步骤4）插入在步骤2和3中找到的值回到原始方程（（Δ）/（Δx）（y ^ 2）=（Δ）/（Δx）（x））我们最终可以求解（Deltay）/（Deltax）。 （2 * y）*（Deltay）/（Deltax）= 1将两边除以2y得到（Deltay）/（Deltax）（Deltay）/（Deltax）= 1 /（2 * y）这是解决方案注意：链规则和幂规则非常相似，唯一的区别是：-chain规则：u！= x“变量不同”和-power规则：x = x“变量是相同的” 阅读更多 »

Y = 3sin（x）-sin（3x）y'= 3cosx- [cos（3x）* 3]颜色（白色）（ttttt [“将链规则应用于”sin（3x）] y'= 3（cosx-cos3x ） 阅读更多 »

衍生物是4倍。为此，我们可以使用幂规则： frac d dx ax ^ n = nax ^（n-1）。所以，如果我们有y = 2x ^ 2 -5，那么涉及x的唯一项是2x ^ 2，所以这是我们必须找到的导数的唯一项。 （常数的导数，如-5将始终为0，因此我们不必担心它，因为加0或减0不会改变我们的整体导数。）遵循幂规则， frac d dx 2x ^ 2 = 2（2）x ^（2-1）= 4x。 阅读更多 »

Y'= 8sec ^ 2（x）tan（x）说明：让我们从一般函数开始，y =（f（x））^ 2区分x使用链规则，y'= 2 * f（x）* f'（x）类似地跟随给定问题，产量y = 4 * sec ^ 2（x）y'= 4 * 2 * sec（x）* sec（x）tan（x）y'= 8sec ^ 2（x ）TAN（x）的 阅读更多 »

答案：y'= sec（x）完整解释：假设，y = ln（f（x））使用链规则，y'= 1 / f（x）* f'（x）同样，如果我们遵循问题，则y'= 1 /（sec（x）+ tan（x））*（sec（x）+ tan（x））'y'= 1 /（sec（x）+ tan（x））*（秒（x）tan（x）+ sec ^ 2（x））y'= 1 /（sec（x）+ tan（x））* sec（x）（sec（x）+ tan（x））y'=秒（x）的 阅读更多 »

Y = sec ^ 2x + tan ^ 2x的导数是：4sec ^ 2xtanx过程：由于和的导数等于导数的和，我们可以分别得到sec ^ 2x和tan ^ 2x并将它们加在一起。对于sec ^ 2x的导数，我们必须应用链规则：F（x）= f（g（x））F'（x）= f'（g（x））g'（x），外部函数是x ^ 2，内部函数是secx。现在我们找到外部函数的导数，同时保持内部函数相同，然后将它乘以内部函数的导数。这给了我们：f（x）= x ^ 2 f'（x）= 2x g（x）= secx g'（x）= secxtanx将这些插入到我们的链规则公式中，我们得到：F'（x）= f '（g（x））g'（x），F'（x）= 2（secx）secxtanx = 2sec ^ 2xtanx现在我们对tan ^ 2x项执行相同的处理，用tanx替换secx，最后得到： f（x）= x ^ 2 f'（x）= 2x g（x）= tanx g'（x）= sec ^ 2x F'（x）= f'（g（x））g'（x）， F'（x）= 2（tanx）sec ^ 2x = 2sec ^ 2xtanx将这些术语加在一起，我们得到了最终答案：2sec ^ 2xtanx + 2sec ^ 2xtanx = 4sec ^ 2xtanx 阅读更多 »

Tanx的导数是sec ^ 2x。要了解原因，您需要了解一些结果。首先，你需要知道sinx的导数是cosx。这是第一原理结果的证明：一旦你知道这一点，它也意味着cosx的衍生物是-sinx（你以后也需要它）。你还需要知道一件事，即区分的商数规则：一旦所有这些部分到位，区别如下：d / dx tanx = d / dx sinx / cosx =（cosx.cosx-sinx。（ -sinx））/（cos ^ 2x）（使用商数规则）=（cos ^ 2x + sin ^ 2x）/（cos ^ 2x）= 1 /（cos ^ 2x）（使用毕达哥拉斯身份）= sec ^ 2x 阅读更多 »

D / dx（x ^ 2-5x + 10）= 2x-5幂规则给出x ^ n形式的表达式的导数。 d / dx x ^ n = n * x ^ {n-1}我们还需要导数d / dx的线性度（a * f（x）+ b * g（x））= a * d / dx（ f（x））+ b * d / dx（g（x））并且常数的导数为零。我们有f（x）= x ^ 2-5x + 10 d / dxf（x）= d / dx（x ^ 2-5x + 10）= d / dx（x ^ 2）-5d / dx（x）+ d / dx（10）= 2 * x ^ 1-5 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x-5 阅读更多 »

没有区别，这两个词是同义词。 阅读更多 »

中间值定理（IVT）表示在区间[a，b]上连续的函数采用它们的极值之间的所有（中间）值。极值定理（EVT）表示在[a，b]上连续的函数达到极值（高和低）。这是EVT的陈述：让f在[a，b]上连续。然后在[a，b]中存在数字c，d ，使得对于[a，b]中的所有x 1，f（c） leq f（x） leq f（d）。换句话说，“supremum”M和范围为{{f（x）：x in [a，b] }的“infimum”m存在（它们是有限的）并且存在数字c，d in [a，b]使得f（c）= m且f（d）= M.注意，函数f必须在[a，b]上连续，才能得出结论。例如，如果f是f（0）= 0.5的函数，则f（x）= x表示0阅读更多 »

Int （“d”x）/（x ^ 2-1）^ 2 = 1/4（ln（x + 1）-ln（x-1） - （2x）/（x ^ 2-1））+ C int （“d”x）/（x ^ 2-1）^ 2 = int （“d”x）/（（x + 1）^ 2（x-1）^ 2）现在，让我们做部分分数。假设1 /（（x + 1）^ 2（x-1）^ 2）= A /（x + 1）+ B /（x + 1）^ 2 + C /（x-1）+ D /（对于一些常数A，B，C，D，x-1）^ 2。然后，1 = A（x + 1）（x-1）^ 2 + B（x-1）^ 2 + C（x + 1）^ 2（x-1）+ D（x + 1）^ 2展开得到1 =（A + C）x ^ 3 +（B + C + DA）x ^ 2 +（2D-2B-AC）x + A + B-C + D.等于系数：{（A + C = 0），（B + C + DA = 0），（2D-2B-AC = 0），（A + B-C + D = 1）：}求解给出A = B = D = 1/4且C = -1 / 4。因此，我们的原始积分是int （1 /（4（x + 1））+ 1 /（4（x + 1）^ 2）-1 /（4（x-1））+ 1 /（4（x -1）^ 2））“d”x = 1 / 4ln（x + 1）-1 /（4（x + 1）） - 1 / 4ln（x-1）-1 /（4（x-1） ））+ C简化：= 1/4（ln（x + 1）-ln（x- 阅读更多 »

3“f（x）在x = a时的瞬时变化率”是指在x = a时f（x）的导数。一点处的导数表示该点处函数的变化率，或瞬时变化率。 ，通常由斜率为f'（a）的切线表示.f（x）= 3x + 5 f'（x）= 3，常数的导数为零，这意味着五个在这里没有任何作用。所以，在x = 1时，或者在任何x实际上，变化率为3。 阅读更多 »

无变化f''''（x）= - 5e ^ x只需导出4次导出e ^ xf（x）= e ^ x rArre ^ xf（x）= - 5e ^ x f'（x）= -5e ^ x f''（x）= - 5e ^ x f'''（x）= - 5e ^ x f''''（x）= - 5e ^ x 阅读更多 »

LN（2）+1/2（X-2）-1/8（X-2）^ 2 + 1/24（X-2）^ 3。以分析函数f的a为中心的泰勒展开的一般形式是f（x）= sum_ {n = 0} ^ oof ^（（n））（a）/（n！）（x-a）^ n。这里f ^（（n））是f的n阶导数。三次泰勒多项式是由完全泰勒展开的前四个（n范围从0到3）项组成的多项式。因此，这个多项式是f（a）+ f'（a）（xa）+（f''（a））/ 2（xa）^ 2 +（f'''（a））/ 6（xa）^ 3 。 f（x）= ln（x），因此f'（x）= 1 / x，f''（x）= - 1 / x ^ 2，f'''（x）= 2 / x ^ 3。因此，三次泰勒多项式是：ln（a）+ 1 / a（x-a）-1 /（2a ^ 2）（x-a）^ 2 + 1 /（3a ^ 3）（x-a）^ 3。现在我们有a = 2，所以我们得到多项式：ln（2）+1/2（x-2）-1/8（x-2）^ 2 + 1/24（x-2）^ 3。 阅读更多 »

答案：[x / 5，oo]中的域x范围[0，oo]你必须记住，对于域：sqrt（y） - > y> = 0 ln（y） - > y> 0 1 / y-> y！= 0之后，您将导致不平等的域名。此功能是线性和方形函数的组合。线性具有域RR。方形函数虽然在正方形内必须有正数。因此：（5x + 6）/ 2> = 0因为2是正的：5x + 6> = 0 5x> = -6因为5是正的：x> = -6/5函数的域是：x in [ -6 / 5，oo）根函数（外部函数）的范围是[0，oo）（无限部分可以通过限制证明为x-> oo）。 阅读更多 »

F'（x）=（ye ^ y）/（（yx）^ 2 + ye ^ y-xe ^ y + xe ^ y）首先，我们必须用一些计算规则f（x）= 2x + 4来自我们可以分别区分2x和4 f'（x）= dy / dx2x + dy / dx4 = 2 + 0 = 2同样我们可以分别区分4，y和 - （xe ^ y）/（yx）dy / dx4 = dy / dxy-dy / dx（xe ^ y）/（yx）我们知道区分常数dy / dx4 = 0 0 = dy / dxy-dy / dx（xe ^ y）/（yx）同样区分y的规则是dy / dxy = dy / dx 0 = dy / dx-dy / dx（xe ^ y）/（yx）最后要区分（xe ^ y）/（yx）我们必须使用商规则让xe ^ y = u并且让yx = v商规则是（vu'-uv'）/ v ^ 2（du）/ dx =（du）/ dxx-（du）/ dxe ^ y当导出e时我们使用链规则使得e ^ y rArr（du）/ dxe ^ y所以u'= 1-dy / dxe ^ y yx = v所以v'=（dv）/ dxy-（dv）/ dxx使用与上面相同的规则变为v'= dy / dx-1现在我们必须做商数规则（vu'-uv'）/ v ^ 2 =（（yx）（1-（dy）/ dxe ^ y） - （xe ^ y）（dy / 阅读更多 »

Dy / dx =（ye ^（xy）y ^ 3）/（x-xe ^（xy）y ^ 2）1 = x / ye ^（xy）首先我们要知道我们可以分别区分每个部分。 = 2x + 3我们可以区分2x和3分别dy / dx = dy / dx2x + dy / dx3 rArrdy / dx = 2 + 0所以类似地我们可以分别区分1，x / y和e ^（xy）dy / dx1 = dy / dxx / y-dy / dxe ^（xy）规则1：dy / dxC rArr 0常数的导数是0 0 = dy / dxx / y-dy / dxe ^（xy）dy / dxx / y我们必须使用商规则区分这个规则2：dy / dxu / v rArr（（du）/ dxv-（dv）/ dxu）/ v ^ 2或（vu'-uv'）/ v ^ 2 u = x rArr u' = 1规则2：y ^ n rArr（ny ^（n-1）dy / dx）v = y rArr v'= dy / dx（vu'+ uv'）/ v ^ 2 =（1y-dy / dxx） / y ^ 2 0 =（1y-dy / dxx）/ y ^ 2-dy / dxe ^（xy）最后我们必须使用链和产品规则的混合来区分e ^（xy）规则3：e ^ u rArr u'e ^ u所以在这种情况下u = xy是产品规则4：dy / dxxy = y' 阅读更多 »

F'（x）=（4e ^（2x））/（1 + e ^（2x））^ 2sin（（1-e ^（2x））/（1 + e ^（2x）））我们正在处理链规则中的商规则余弦的链规则cos（s）rArr s'* - sin（s）现在我们必须做商数规则s =（1-e ^（2x））/（1 + e ^（ 2x））dy / dxu / v =（u'v-v'u）/ v ^ 2导出e规则的规则：e ^ u rArr u'e ^ u导出顶部和底部函数1-e ^（2x ）rArr 0-2e ^（2x）1 + e ^（2x）rArr 0 + 2e ^（2x）将其置于商数s'=（u'v-v'u）/ v ^ 2 =（ - 2e） ^（2x）（1 + e ^（2x）） - 2e ^（2x）（1-e ^（2x）））/（1 + e ^（2x））^ 2简单s'=（ - 2e ^（ 2x）（（1 + e ^（2x））+（1-e ^（2x））））/（1 + e ^（2x））^ 2 s'=（ - 2e ^（2x）（2）） /（1 + e ^（2x））^ 2 =（ - 4e ^（2x））/（1 + e ^（2x））^ 2现在把它放回cos（s）cos（s）的导数方程rArr s'* - sin（s）s'* - sin（s）= - （ - 4e ^（2x））/（1 + e ^（2x））^ 2sin（（ 阅读更多 »

A = 2sqrt2参数弧长的公式为：A = int_a ^ b sqrt（（dx / dt）^ 2 +（dy / dt）^ 2） dt我们首先找到两个导数：dx / dt = 1和dy / dt = 1这使得弧长为：A = int_2 ^ 4sqrt（1 ^ 2 + 1 ^ 2） dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = [sqrt2t] _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2实际上，由于参数函数非常简单（它是一条直线），我们甚至不需要积分公式。如果我们在图中绘制函数，我们可以使用常规距离公式：A = sqrt（（x_1-x_2）^ 2 +（y_1-y_2）^ 2）= sqrt（4 + 4）= sqrt8 = sqrt（ 4 * 2）= 2sqrt2这给了我们与积分相同的结果，表明两种方法都有效，尽管在这种情况下，我建议使用图形方法，因为它更简单。 阅读更多 »

=>（2sqrt3）/ 3 tan ^（ - 1）（（2x-1）/ sqrt3）+ c继续......设3/4 u ^ 2 =（x-1/2）^ 2 => sqrt（ 3）/ 2 u = x-1/2 => sqrt（3）/ 2 du = dx => int 1 /（3 / 4u ^ 2 + 3/4）* sqrt（3）/ 2 du => sqrt3 / 2 int 1 /（3/4（u ^ 2 + 1））du =>（2sqrt3）/ 3 int 1 /（u ^ 2 + 1）du使用antiderivative应该提交给内存... =>（ 2sqrt3）/ 3 tan ^（ - 1）u + c => u =（2x-1）/ sqrt3 =>（2sqrt3）/ 3 tan ^（ - 1）（（2x-1）/ sqrt3）+ c 阅读更多 »

F（x）在x = -3处是凹的注：凹向上=凸，向下凹=凹首先我们必须找到函数向上凹和向下凹的区间。我们通过找到二阶导数并将其设置为零来找到x值f（x）=（x-9）^ 3 - x + 15 d / dx = 3（x- 9）^ 2 - 1 d ^ 2 / dx ^ 2 = 6（x-9）0 = 6x - 54 x = 9现在我们测试该数字两侧的二阶导数中的x值是否存在正负间隔。当x> 9时，正间隔对应于凹向上，负向间隔对应于凹向下：当x> 9时为负（向下凹），向上（凹向上）因此，对于x = -3的给定x值，我们看到因为 - 3在间隔上位于9的左侧，因此f（x）在x = -3处向下凹 阅读更多 »

Int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin（2x）-e ^ x / 5cos（2x）+ C首先我们可以使用标识：2sinthetacostheta = sin2x，它给出：int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin（2x） dx现在我们可以使用部件集成。公式为：int f（x）g'（x） dx = f（x）g（x）-int f'（x）g（x） dx我将让f（x）= sin（ 2x）和g'（x）= e ^ x / 2。应用公式，我们得到：int e ^ x / 2sin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-int cos（2x）e ^ x dx现在我们可以再次应用积分，这次用f（x）= cos（2x）和g'（x）= e ^ x：int e ^ x / 2sin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-（cos（ 2x）e ^ x-int -2sin（2x）e ^ x dx）1 / 2int e ^ xsin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-cos（2x）e ^ x- 2int sin（2x）e ^ x dx现在我们在相等的两边都有积分，所以我们可以像方程一样解决它。首先，我们将两侧的积分加2倍：5 / 2int e ^ xsin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-cos（2x）e 阅读更多 »

一般解是：y = 1-1 /（e ^ t + C）我们有：dy / dt = e ^ t（y-1）^ 2我们可以收集类似变量的术语：1 /（y-1） ^ 2 dy / dt = e ^ t这是一个可分离的一阶普通非线性微分方程，所以我们可以“分离变量”得到：int 1 /（y-1）^ 2 dy = int e ^ t dt两个积分都是标准函数的积分，因此我们可以使用该知识直接积分：-1 /（y-1）= e ^ t + C我们可以很容易地重新排列y： - （y-1） = 1 /（e ^ t + C）:. 1-y = 1 /（e ^ t + C）导致一般解：y = 1-1 /（e ^ t + C） 阅读更多 »

通过直接比较测试进行聚合。我们可以使用直接比较测试，只要我们有sum_（n = 1）^ oocos（1 / k）/（9k ^ 2），IE，系列从一开始。要使用直接比较测试，我们必须证明a_k = cos（1 / k）/（9k ^ 2）在[1，oo]上是正的。首先，请注意在区间[1，oo]上，cos（1 / k）为正。对于x的值 = 1,1 / k OO）COS（1 / K）= COS（0）= 1。然后，我们可以为所有k定义新序列b_k = 1 /（9k ^ 2）> = a_k。那么，sum_（k = 1）^ oo1 /（9k ^ 2）= 1 / 9sum_（k = 1）^ oo1 / k ^ 2我们知道这是通过p系列测试收敛的，它的形式为sum1 / k ^ p其中p = 2> 1。然后，由于较大的系列会聚，所以较小的系列也必须会聚。 阅读更多 »

D /（dx）ln（e ^（4x）+ 3x）=（4e ^（4x）+3）/（e ^（4x）+ 3x）lnx的导数是1 / x因此ln的导数（e ^（ 4x）+ 3x）是1 /（e ^（4x）+ 3x）d / dx（e ^（4x）+ 3x）（链规则）e ^（4x）+ 3x的导数是4e ^（4x）+3所以ln（e ^（4x）+ 3x）的导数是1 /（e ^（4x）+ 3x）*（4e ^（4x）+3）=（4e ^（4x）+3）/（e ^（ 4X）+ 3X） 阅读更多 »