回答：
拿积分 #^ INT_1 ^ ooxe#-xdx，这是有限的，并注意它的界限 #sum_（n = 2）^ oo n e ^（ - n）#。因此，它是收敛的 #sum_（n = 1）^ oo n e ^（ - n）# 也是。
说明：
积分测试的正式声明表明如果 #fin 0， ）rightarrowRR# 单调递减函数是非负的。然后总和 #sum_（N = 0）^ OOF（n）的# 当且仅当如此 # “SUP” _（N> 0）^ INT_0 NF（x）的DX# 是有限的。 （Tau，Terence。分析I，第二版。印度斯坦书局.2009）。
这个陈述似乎有点技术性，但这个想法如下。在这种情况下考虑功能 #F（X）= XE ^（ - x）的#，我们注意到 #X> 1#，这个功能正在减少。我们可以通过获得衍生物来看到这一点。 #F'（X）= E ^（ - x）的-xe ^（ - X）=（1-x）的E 1（ - X）<0#从那以后 #X> 1#所以 #（1-X）<0# 和 #E ^（ - X）> 0#.
因此，我们注意到任何 #ninNN _（> = 2）# 和 1，oo中的#x）# 这样的 #X <= N# 我们有 #F（X）> = F（N）#。因此 #int_第（n-1）^ NF（x）的DX> = int_第（n-1）^ NF（n）的DX = F（N）#所以 #sum_（N = 1）^ NF（N）<= F（1）+ sum_（N = 2）^ Nint_第（n-1）^ NF（x）的DX = F（1）+ INT_1 ^ NF（x）的DX#.
#INT_1 ^ OOF（x）的DX = INT_1 ^ ooxe ^（ - x）的DX = -int_（X = 1）^ ooxde ^（ - X）= - XE ^（ - x）|的_1 ^ OO + INT_1 ^ OOE ^ （-x）DX##= - XE ^（ - X）-e ^（ - x）|的^ oo_1 = 2 / E# 使用部件集成和那些 #lim_（xrightarrowoo）E 1 -x = lim_（xrightarrowoo）XE ^ -x = 0#.
以来 #F（X）> = 0#， 我们有 #E / 2 = INT_1 ^ OOF（x）的DX> = INT_1 ^ NF（x）的DX#所以 #sum_（N = 1）^ NF（N）<= F（1）+ 2 / E = 3 / E#。以来 #F（N）> = 0#， 该系列 #sum_（N = 1）^ NF（n）的# 增加为 #N# 增加。因为它受到了限制 #3 / E#，它必须收敛。因此 #sum_（N = 1）^ OOF（n）的# 收敛。
