F（x）= ln（sin ^ -1（x））的导数是多少？

一个侧面评论开头：符号 #^罪-1# 对于反正弦函数（更明确地说，正弦限制的反函数） # - PI / 2，π/ 2#）是广泛但有误导性的。实际上，使用trig函数时指数的标准约定（例如， #sin ^ 2 x：=（sin x）^ 2# 暗示 #sin ^（ - 1）x# 是 #（sin x）^（ - 1）= 1 /（sin x）#。当然，事实并非如此，但这种符号非常具有误导性。替代（和常用）表示法 #arcsin x# 好多了

现在为衍生品。这是一个复合，所以我们将使用链规则。我们会需要 #（ln x）'= 1 / x# （参见对数微积分）和 #（arcsin x）'= 1 / sqrt（1-x ^ 2）# （参见反向三角函数的微积分）。

使用连锁规则：

#（ln（arcsin x））'= 1 / arcsin x times（arcsin x）'= 1 /（arcsin x sqrt（1-x ^ 2））#.