对于功能 #F（X）= X ^ N#，n应该 不 等于0，原因将变得清晰。 n也应该是整数或有理数（即分数）。
规则是：
#f（x）= x ^ n => f'（x）= nx ^（n-1）#
换句话说，我们“借用”x的幂并使其成为导数的系数，然后从幂中减去1。
#f（x）= x ^ 2 => f'（x）= 2x ^ 1#
#f（x）= x ^ 7 => f'（x）= 7x ^ 6#
#f（x）= x ^（1/2）=> f'（x）= 1/2 * x ^（ - 1/2）#
正如我所提到的，特殊情况是n = 0。这意味着
#F（X）= X ^ 0 = 1#
我们可以使用我们的规则和 技术上 得到正确的答案：
#f'（x）= 0x ^ -1 = 0#
然而，在我们试图使用此规则的反转时，我们将在后面的轨道上遇到并发症。
回答：
#y ^'= nx ^（n-1）#
以下是每个数字的证明，但只有所有整数的证明使用了导数定义的基本技能组合。所有有理数的证明都使用链式规则，而非理性则使用隐式差异。
说明：
话虽这么说，我会在这里展示它们，所以你可以理解这个过程。要小心它 #将# 相当长。
从 #y = x ^（n）#如果 #n = 0# 我们有 #y = 1# 并且常数的导数也是零。
如果 #N# 是任何其他正整数，我们可以把它扔在导数公式中，并使用二项式定理来解决混乱。
#y = lim_（h rarr 0）（（x + h）^ n - x ^ n）/ h#
#y = lim_（h rarr 0）（x ^ n + Sigma_（i = 1）^ n（K_i * x ^（n-i）h ^ i） - x ^ n）/ h#
哪里 #K_I# 是适当的常数
#y = lim_（h rarr 0）Sigma_（i = 1）^ n（K_i * x ^（n-i）h ^ i）/ h#
划分那个 #H#
#y = lim_（h rarr 0）Sigma_（i = 1）^ nK_i * x ^（n-i）h ^（i-1）#
我们可以从总和中取出第一个词
#y = lim_（h rarr 0）K_1 * x ^（n-1）+ Sigma_（i = 2）^ nK_ix ^（n-i）h ^（i-1）#
采取限制，总和中的所有其他内容都归零。计算 #K_1# 我们看到它等于 #N#所以
#y = K_1 * x ^（n-1）= nx ^（n-1）#
对于 #N# 这是负整数，它有点复杂。知道 #x ^ -n = 1 / x ^ b#这样的 #b = -n# 因此是积极的。
#y = lim_（h rarr 0）1 / h（1 /（x + h）^ b - 1 / x ^ b）#
#y = lim_（h rarr 0）1 / h（（x ^ b - （x + h）^ b）/（x ^ b（x + h）^ b））#
#y = lim_（h rarr 0）1 / h（（x ^ b - x ^ b - Sigma_（i = 1）^ bK_ix ^（bi）h ^ i）/（x ^ b（x + h）^ b ））#
#y = lim_（h rarr 0）（（ - Sigma_（i = 1）^ bK_ix ^（b-i）h ^（i-1））/（x ^ b（x + h）^ b））#
取出第一个学期
#y = lim_（h rarr 0）（（ - K_1x ^（b-1） - Sigma_（i = 2）^ bK_ix ^（bi）h ^（i-1））/（x ^ b（x + h） ^ b））#
采取限制，在哪里 #K_1 = b#，将其替换回来 #N#
#y = -K_1x ^（b-1）/（x ^ b * x ^ b）= -K_1x ^（b-1-2b）= -K_1x ^（ - b-1）= nx ^（n-1） #
对于理性，我们需要使用链规则。即： #f（g（x）） ^'= f ^'（g（x））g ^'（x）#
所以，知道这一点 #x ^（1 / n）= root（n）（x）# 并假设 #n = 1 / b# 我们有
#（x ^ n）^ b = x#
如果 #B# 是的，答案是技术上的 #| X |# 但这足以达到我们的目的
所以，使用我们的链规则
#x ^ n ^'= 1 /（bx ^（nb-n））= 1 /（bx ^（1-n））= nx ^（n - 1）#
最后但并非最不重要的是，使用隐式区分我们可以证明所有实数，包括非理性。
#y = x ^ n#
#ln（y）= n * ln（x）#
#y ^'/ y = n / x#
#y ^'=（nx ^ n）/ x = nx ^（n-1）#
