函数f（x）= cos（x / 2）在区间[-4,0]上的平均值是多少？

回答：

#1 / 2sin（2）#，大约 #0.4546487#

说明：

平均值 #C# 一个功能 #F# 在间隔 #A，B# 是（谁）给的：

#C = 1 /（B-A）int_a ^ BF（x）的DX#

在这里，这转换为平均值：

#C = 1 /（0 - （ - 4））INT _（ - 4）^ 0cos（X / 2）DX#

让我们使用替代 #U = X / 2#。这意味着 #杜= 1 / 2DX#。然后我们可以重写积分：

#C = 1 / 4int _（ - 4）^ 0cos（X / 2）DX#

#C = 1 / 2INT _（ - 4）^ 0cos（X / 2）（1 / 2DX）#

分裂 #1/4# 成 #1/2*1/2# 允许 #1 /#2DX 存在于积分中，因此我们可以轻松地进行替换 #1 / 2DX =杜#。我们还需要将边界更改为边界 #U#不是 #X#。要做到这一点，请采取当前的方式 #X# 边界并将它们插入 #U = X / 2#.

#C = 1 / 2INT _（ - 2）^ 0cos（u）的杜#

这是一个共同的整体（注意 #d / dxsin（X）= COS（x）的#):

#C = 1/2 罪（U） _（ - 2）^ 0#

评估：

#C = 1/2（SIN（0）-sin（-2））#

#C = -1 / 2sin（-2）#

注意 #sin（-x）= - 的sin（x）#:

#C = 1 / 2sin（2）#

#c约0.4546487#

函数f（x）= tan（3 ^ x）在区间[0,1.4]中有一个零。此时的衍生物是什么？

Pi ln3如果tan（3 ^ x）= 0，则sin（3 ^ x）= 0并且cos（3 ^ x）= + -1因此对于某个整数k，3 ^ x = kpi。我们被告知[0,1.4]有一个零。该零不是x = 0（因为tan 1！= 0）。最小的正解必须具有3 ^ x = pi。因此，x = log_3 pi。现在让我们来看看衍生品。 f'（x）= sec ^ 2（3 ^ x）* 3 ^ x ln3我们从上面知道3 ^ x = pi，所以在那一点f'= sec ^ 2（pi）* pi ln3 =（ - 1 ）^ 2 pi ln3 = pi ln3

在区间[0,9]上f（x）= x /（x ^ 2 + 25）的绝对极值是多少？

绝对最大值：（5,1 / 10）绝对最小值：（0,0）给定：f（x）= x /（x ^ 2 + 25）“on interval”[0,9]绝对极值可以通过评估找到终点并找到任何相对最大值或最小值并比较它们的y值。评估终点：f（0）= 0/25 = 0 =>（0,0）f（9）= 9 /（9 ^ 2 + 25）= 9 /（81 + 25）= 9/106 =>（ 9,9 / 10）~~（9，.085）通过设置f'（x）= 0找到任何相对最小值或最大值。使用商数规则：（u / v）'=（vu' - uv'）/ v ^ 2设u = x; “”你'= 1; “”v = x ^ 2 + 25; “”v'= 2x f'（x）=（（x ^ 2 + 25）（1） - x（2x））/（x ^ 2 + 25）^ 2 f'（x）=（ - x ^ 2 + 25）/（x ^ 2 + 25）^ 2 = 0由于（x ^ 2 + 25）^ 2 * 0 = 0，我们只需要设置分子= 0 -x ^ 2 + 25 = 0 x ^ 2 = 25临界值：x = + - 5由于我们的区间是[0,9]，我们只需要看x = 5 f（5）= 5 /（5 ^ 2 + 25）= 5/50 = 1 / 10 =>（5,1 / 10）使用一阶导数检验，设置间隔以确定该点是相对最大值还是相对最小值：interval：“”（

在区间[-2,2]上，y = cos ^ 2 x - sin ^ 2 x的绝对极值是多少？

Cos ^ 2x-sin ^ 2x = cos（2x），其最大值为1（在x = 0时），最小值为-1（在2x = pi，因此x = pi / 2）