如何整合int e ^ x sinx cosx dx？

回答：

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin（2x）-e ^ x / 5cos（2x）+ C#

说明：

首先我们可以使用身份：

#2sinthetacostheta = sin2x#

这使：

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin（2x） dx#

现在我们可以使用部件集成。公式是：

#int f（x）g'（x） dx = f（x）g（x）-int f'（x）g（x） dx#

我会让 #F（X）= SIN（2×）# 和 #G'（X）= E ^ X / 2#。应用公式，我们得到：

#int e ^ x / 2sin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-int cos（2x）e ^ x dx#

现在我们可以再次使用部分集成，这次是 #F（X）= COS（2×）# 和 #G'（X）= E ^ X#:

#int e ^ x / 2sin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-（cos（2x）e ^ x-int -2sin（2x）e ^ x dx）#

#1 / 2int e ^ xsin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-cos（2x）e ^ x-2int sin（2x）e ^ x dx#

现在我们在平等的两边都有积分，所以我们可以像方程一样解决它。首先，我们将两侧的积分加2：

#5 / 2int e ^ xsin（2x） dx = sin（2x）e ^ x / 2-cos（2x）e ^ x + C#

由于我们想要一半作为原始积分的系数，我们将两边除以 #5#:

#1 / 2int e ^ xsin（2x） dx = 1/5（sin（2x）e ^ x / 2-cos（2x）e ^ x）+ C =#

#= E ^ X / 10sin（2×）-e ^ X / 5cos（2×）+ C#

回答：

#int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C#

说明：

我们寻找：

#I = int e ^ x sinxcosx dx#

哪个使用身份：

#sin 2x - = 2sinxcosx#

我们可以这样写：

#I = 1/2 int e ^ x sin2x dx#

#I = 1/2 I_S#

为方便起见，我们表示：

#I_S = int e ^ x sin2x dx#，和 #I_C = int e ^ x cos2x dx#

现在，我们再次按部件执行集成。

让 #{（u，= e ^ x，=>（du）/ dx，= e ^ x），（（dv）/ dx，= cos2x，=> v，= 1/2 sin2x）：}#

然后插入IBP公式我们得到：

#int （e ^ x）（cos2x） dx =（e ^ x）（1 / 2cos2x） - int （1 / 2sin2x）（e ^ x） dx#

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx#

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S# ….. B}

现在，我们在两个未知数中有两个联立方程 #I_S#。和 #我知道了#，所以用B 进入A代替我们：

#I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S}#

# = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S#

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1 / 2 e ^ x cos2x#

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x}#

导致：

#I = 1/2 I_S + C#

# = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1 / 2 e ^ x cos2x} + C#

# = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C#