如何整合int x ^ lnx？

回答：

#int x ^ ln（x） dx = e ^（ - 1/4）sqrtpi / 2erfi（ln（x）+1/2）+ C#

说明：

我们从u替换开始 #U = LN（x）的#。然后我们除以它的导数 #U# 与…相融合 #U#:

#（DU）/ DX = 1 / X#

#int x ^ ln（x） dx = int x * x ^ u du#

现在我们需要解决 #X# 就……而言 #U#:

#U = LN（x）的#

#x的= E ^ U#

#int x * x ^ u du = int e ^ u *（e ^ u）^ u du = int e ^（u ^ 2 + u） du#

你可能会猜测这没有基本的反衍生物，你是对的。但是我们可以使用表格来假想误差函数， #erfi（x）的#:

#erfi（x）= int 2 / sqrtpie ^（x ^ 2） dx#

为了使我们的积分成为这种形式，我们可能只有一个平方变量的指数 ·E·，所以我们需要完成广场：

#ü^ 2 + U =（U + 1/2）^ 2 + K#

#ü^ 2 +为u = u ^ 2 + U + 1/4 + K#

#K = -1 / 4#

#ü^ 2 + U =（U + 1/2）^ 2-1 / 4#

#int e ^（u ^ 2 + u） du = int e ^（（u + 1/2）^ 2-1 / 4） du = e ^（ - 1/4）int e ^（ （u + 1/2）^ 2） du#

现在我们可以引入一个u替换 #吨= U + 1/2号。衍生品就是 #1#，所以我们不需要做任何特别的事情来整合 #T#:

#e ^（ - 1/4）int e ^（t ^ 2） dt = e ^（ - 1/4）* sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^（t ^ 2） dt = e ^（ - 1/4）SQRTPI / 2 * erfi（T）+ C#

现在我们可以撤消所有替换以获得：

#E ^（ - 1/4）SQRTPI / 2erfi（U + 1/2）+ C = E ^（ - 1/4）SQRTPI / 2erfi（LN（x）的+1/2）+ C#