结石

像这样：通过整合函数来实现反导数或原始函数。这里的经验法则是要求找到多项式函数的反导数/积分：取函数并将x的所有索引增加1，然后将每个项除以它们的新x索引。或者数学上：int x ^ n = x ^（n + 1）/（n + 1）（+ C）您还可以向函数添加常量，尽管常量在此问题中是任意的。现在，使用我们的规则，我们可以找到原始函数F（x）。 F（X）=（（8倍速^（3 + 1））/（3 + 1））+（（5×^（2 + 1））/（2 + 1））+（（ - 9X ^（1 + 1 ））/（1 + 1））+（（3x ^（0 + 1））/（0 + 1））（+ C）如果有问题的术语不包含x，它将在原语中有一个x函数是因为：x ^ 0 = 1因此，提高所有x项的索引将x ^ 0转换为x ^ 1，等于x。因此，简化了antiderivative变为：F（x）= 2x ^ 4 +（（5x ^ 3）/ 3） - （（9x ^ 2）/ 2）+ 3x（+ C） 阅读更多 »

Y = 1 / 108x-3135/56切线的法线垂直于切线。我们可以使用原函数的导数找到切线的斜率，然后取其相反的倒数来找到同一点处法线的斜率。 f（x）= 3x ^ 4-x ^ 3 f'（x）= 12x ^ 3-3x ^ 2 f'（ - 2）= 12（-2）^ 3-3（-2）^ 2 = 12（ -8）-3（4）= - 108如果-108是切线的斜率，则法线的斜率为1/108。法线相交的f（x）上的点是（-2，-56）。我们可以用斜率形式写出法线的方程：y + 56 = 1/108（x + 2）斜率截距形式：y = 1 / 108x-3135/56 阅读更多 »

Y = x / 4 + 23/4 f（x）= x ^ 3 + 3x ^ 2 + 7x-1梯度函数是一阶导数f'（x）= 3x ^ 2 + 6x + 7因此X时的梯度= -1是3-6 + 7 = 4正切，垂直于切线的梯度是-1/4如果你不确定这个在方形纸上绘制一条带有渐变4的线并绘制垂线。所以法线是y = -1 / 4x + c但是这条线经过了点（-1，y）从原始方程式开始，当X = -1时，y = -1 + 3-7-1 = 6所以6 = -1 / 4 * -1 + c C = 23/4 阅读更多 »

（dy）/（dx）= 4/3 * x ^（ - 2/3）+ 8/3 * x ^（1/3）“（一阶导数）”（d ^ 2 y）/（dt ^ 2 ）= 8/9 * x ^（ - 2/3）（ - x ^ -1 + 1）“（二阶导数）”y = 4x ^（1/3）+ 2x ^（4/3）（dy） /（dx）= 1/3 * 4 * x ^（（1 / 3-1））+ 4/3 * 2x ^（（4 / 3-1））（dy）/（dx）= 4/3 * x ^（ - 2/3）+ 8/3 * x ^（1/3）“（一阶导数）”（d ^ 2 y）/（dt ^ 2）= - 2/3 * 4/3 * x ^（（ - 2 / 3-1））+ 8/3 * 1/3 * x ^（（1 / 3-1））（d ^ 2 y）/（dt ^ 2）= - 8/9 * x ^（（ - 5/3））+ 8/9 * x ^（（ - 2/3）（d ^ 2 y）/（dt ^ 2）= 8/9 * x ^（ - 2/3）（ - x ^ -1 + 1）“（二阶导数）” 阅读更多 »

局部极值的一阶导数检验设x = c是f（x）的临界值。如果f'（x）将其符号从+更改为 - 围绕x = c，则f（c）是局部最大值。如果f'（x）在x = c附近将符号从 - 更改为+，则f（c）是局部最小值。如果f'（x）在x = c附近不改变其符号，则f（c）既不是局部最大值也不是局部最小值。 阅读更多 »

如果等式的一阶导数在该点为正，那么函数正在增加。如果是负数，则函数正在减少。如果等式的一阶导数在该点为正，则函数正在增加。如果是负数，则函数正在减少。另请参见：http：//mathworld.wolfram.com/FirstDerivativeTest.html假设f（x）在静止点x_0处是连续的。如果在从x_0向左延伸的开放区间上f ^'（x）> 0并且在从x_0向右延伸的开放区间上f ^'（x）<0，则f（x）具有局部最大值（可能是全局最大值）在x_0。如果f ^'（x）<0在从x_0向左延伸的开放区间上，并且在从x_0向右延伸的开放区间上f ^'（x）> 0，则f（x）具有局部最小值（可能是全局最小值）在x_0。如果f ^'（x）在从x_0向左延伸的开放区间上具有相同的符号，并且在从x_0向右延伸的开放区间上，则f（x）在x_0处具有拐点。 Weisstein，Eric W.“First Derivative Test。”来自MathWorld - Wolfram Web资源。 http://mathworld.wolfram.com/FirstDerivativeTest.html 阅读更多 »

局部极值的一阶导数检验设x = c是f（x）的临界值。如果f'（x）将其符号从+更改为 - 围绕x = c，则f（c）是局部最大值。如果f'（x）在x = c附近将符号从 - 更改为+，则f（c）是局部最小值。如果f'（x）在x = c附近不改变其符号，则f（c）既不是局部最大值也不是局部最小值。 阅读更多 »

= 0 lim_（x-> 0）（sin ^ 2x）/ x ---- lim_（x-> 0）（sinx）/ x = 1乘以lim_（x-> 0）（sinx.sinx）/ x = lim_（x-> 0）（x）/ x（sinx.sinx）/ x lim_（x-> 0）（x）/ x（sinx.sinx）/ x = lim_（x-> 0）x（（ sinx.sinx））/（xx）= lim_（x-> 0）（sinx / x）（sinx / x）（x）lim_（x-> 0）（sinx / x）（sinx / x）（x） = 1.1.x = x lim_（x-> 0）（sin ^ 2x）/ x = lim_（x-> 0）x lim_（x-> 0）x = 0 阅读更多 »

1 OO）| A_（N + 1）/ A_N |。如果L <1，则该系列绝对收敛（因而收敛）。如果L> 1，则该系列发散。如果L = 1，则比率测试不确定。但是，对于Power系列，可能有三种情况。功率系列汇聚所有实数;它的收敛间隔是（-oo，oo）b。功率系列会聚一些数x = a;它的收敛半径为零。 C。最常见的情况是，幂级数收敛为| x-a | 阅读更多 »

F'（X）=（X（LN（X ^ 2 + 3））^（ - 1/2））/（X ^ 2 + 3）= X /（（X ^ 2 + 3）（LN（X ^ 2 + 3））^（1/2））= x /（（x ^ 2 + 3）sqrt（ln（x ^ 2 + 3）））我们给出：y =（ln（x ^ 2 + 3） ）^（1/2）y'= 1/2 *（ln（x ^ 2 + 3））^（1 / 2-1）* d / dx [ln（x ^ 2 + 3）] y'=（ ln（x ^ 2 + 3））^（ - 1/2）/ 2 * d / dx [ln（x ^ 2 + 3）] d / dx [ln（x ^ 2 + 3）] =（d / dx [x ^ 2 + 3]）/（x ^ 2 + 3）d / dx [x ^ 2 + 3] = 2x y'=（ln（x ^ 2 + 3））^（ - 1/2）/ 2 *（2×）/（X ^ 2 + 3）=（X（LN（X ^ 2 + 3））^（ - 1/2））/（X ^ 2 + 3）= X /（（X ^ 2 + 3）（LN（X ^ 2 + 3））^（1/2））= X /（（X ^ 2 + 3）SQRT（LN（X ^ 2 + 3））） 阅读更多 »

F（x）= -1 /（ln（10））[x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + ... + x ^（n + 1）/（n + 1）^ 2]视觉：看看这个图我们显然不能评估这个积分，因为它使用我们学到的任何常规积分技术。但是，由于它是一个明确的积分，我们可以使用MacLaurin系列，并通过术语集成执行所谓的术语。我们需要找到MacLaurin系列。由于我们不想找到该函数的n阶导数，我们需要尝试将其拟合到我们已经知道的MacLaurin系列中。首先，我们不喜欢日志;我们想做一个ln。要做到这一点，我们可以简单地使用基本公式的变化：log（x）= ln（x）/ ln（10）所以我们有：int_0 ^ xln（1-t）/（tln（10））dt为什么我们这样做？那么，现在注意到d / dxln（1-t）= -1 /（1-t）为什么这么特别？好吧，1 /（1-x）是我们常用的MacLaurin系列之一：1 /（1-x）= 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + ... = sum_（n = 0）^ oox ^ n ...对于所有x on（-1,1）因此，我们可以利用这种关系来获得优势，并用int-1 /（1-t）dt替换ln（1-t），这使我们能够用MacLaurin系列代替那个术语。把它放在一起给出：ln（1-t）/（tln（10））= -1 /（tln（10））int [1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 阅读更多 »

Sqrt（6）a ^ x = exp（x * ln（a））= 1 + x * ln（a）+（x * ln（a））^ 2/2 +（x * ln（a））^ 3 / 6 + ... => 3 ^ x + 2 ^ x = 2 + x *（ln（3）+ ln（2））+ x ^ 2 *（ln（3）^ 2 + ln（2）^ 2 ）/ 2 + x ^ 3 *（ln（3）^ 3 + ln（2）^ 3）/ 6 + ... = 2 + x * ln（6）+ x ^ 2 *（... =>（ 3 ^ x）^ 2 +（2 ^ x）^ 2 = 3 ^（2x）+ 2 ^（2x）= 2 + 2 * x * ln（6）+ 4 * x ^ 2 *（ln（2）^ 2 + ln（3）^ 2）/ 2 + 8 * x ^ 3 *（ln（3）^ 3 + ln（2）^ 3）/ 6 + ... =>（3 ^（2x）+ 2 ^ （2x））/（3 ^ x + 2 ^ x）=“1 +（x * ln（6）+ 3 * x ^ 2 * ...）/（2 + x * ln（6）+ x ^ 2 * ...）~~ 1+（x * ln（6））/ 2“（对于x” - >“0）”“提升到1 / x的幂数：”（1+（x * ln（6） ））/ 2）^（（2 /（x * ln（6）））*（ln（6）/ 2））= e ^（ln（6）/ 2）= sqrt（6） 阅读更多 »

如下面的评论所述，这是用于f（x）= cos（x）的MacLaurin系列，我们知道这会收敛于（-oo，oo）。但是，如果你想看到这个过程：由于我们在分母中有一个阶乘，我们使用比率测试，因为这使得简化更容易一些。这个公式是：lim_（n-> oo）（a_（n + 1）/ a_n）如果这个<1，你的系列会收敛如果这个> 1，你的系列会发散如果这是= 1，你的测试是不确定的那么，让我们这样做：lim_（k-> oo）abs（（ - 1）^（k + 1）（x ^（2k + 2）/（（2k + 2）！））*（ - 1）^ k（ （2k）！）/（x ^（2k））注意：要小心插入你的（k + 1）.2k会变成2（k + 1），而不是2k + 1.我乘以x ^（2k）/（（2k）！）的倒数而不是仅仅是为了使工作更容易。现在，让我们的代数。由于绝对值，我们的交替项（即（-1）^ k）是只是要取消，因为我们总会有一个肯定的答案：=> lim_（k-> oo）abs（（x ^（2k + 2）/（（2k + 2）！））*（（2k）！ ）/（x ^（2k））我们可以取消我们的x ^（2k）'s：=> lim_（k-> oo）abs（（x ^ 2 /（（2k + 2）！））*（（2k ）！）现在我们需要取消阶乘。回想一下（2k）！=（2k）*（2k-1）*（2k-2）*（2k-3）* ... * 3 * 2 * 阅读更多 »

在x = -2/3处没有分钟或最大拐点。 graph {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 [-10,10,10，-20]} #Mins和Maxes对于给定的x值（我们称之为c）为给定的最大值或最小值函数，它必须满足以下条件：f'（c）= 0或未定义。 c的这些值也称为临界点。注意：并非所有临界点都是最大/分钟，但所有最大/分钟都是临界点所以，让我们为您的函数找到这些：f'（x）= 0 => d / dx（3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10）= 0 => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0这不是因子，所以让我们尝试二次公式：x =（ - 12 + - sqrt（12 ^ 2 - 4（9）（6）） ）/（2（9））=>（-12 + -sqrt（-72））/ 18 ......我们可以在那里停下来。如您所见，我们最终在平方根下面有一个负数。因此，这个功能没有真正的关键点。 - 拐点现在，让我们找到拐点。这些是图形具有凹度（或曲率）变化的点。对于一个点（称为c）为拐点，它必须满足以下条件：f''（c）= 0.注意：并非所有这些点都是拐点，但所有拐点必须满足这一点。所以让我们找到这些：f''（x）= 0 => d / dx（d / dx（3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10））= 0 => d / dx（9x ^ 2 + 阅读更多 »

206.6“km / h”这是一个相关的费率问题。对于这样的问题，绘制图片是关键。考虑下图：接下来，我们写一个方程式。如果我们称R是Rose的车与交叉路口之间的距离，而F是Frank的车与交叉路口之间的距离，我们怎样才能在任何给定的时间写出找出两者之间距离的等式？好吧，如果我们使用pythogorean theorum，我们发现汽车之间的距离（称为x）是：x = sqrt（F ^ 2 + R ^ 2）现在，我们需要找到相对于瞬时变化率x时间（t）。因此，我们考虑时间的两个方程的导数。请注意，您需要使用隐式区分：xdx / dt = 1/2（F ^ 2 + R ^ 2）^（ - 1/2）* [2F（dF）/ dt + 2R（dR）/ dt]为了时间的缘故，我跳过了分化过程，但你需要使用链式规则来处理平方根，并在其他地方隐式区分。现在，我们插入我们所知道的内容。注意，图中提供的速度是R和F的变化率，而我们在给定的时刻给出R = 0.5和F = 0.6。将其插入：xdx / dt = 1/2（（0.6）^ 2 +（0.5）^ 2）^（ - 1/2）* [2（0.6）（ - 110）+ 2（0.5）（ - 120）注意：速度是负的，因为从技术上讲，F和R（到交叉点的距离）的值随着时间的推移而减小。 x怎么样？好吧，让我们回到我们的起始等式：x = sqrt（F ^ 2 + R ^ 2）我们知道F和R，所以我们只求x：x = sqrt（0.6 ^ 2 阅读更多 »

E 1 X / 2（的sin（x）+ COS（X）） - LN | COS（X）| -1 / 2秒^ 2（x）的-cos（x）的+ 5/3 + sqrt3 / 2-（1 / 4 + sqrt3 / 4）e ^（pi / 6）+ ln（sqrt3 / 2）我们首先将积分分成三个：int e ^ xcos（x） dx-int tan ^ 3（x） dx + int sin（x） dx = = int e ^ xcos（x） dx-int tan ^ 3（x） dx-cos（x）我将调用左积分积分1和右积分积分2积分1这里我们需要按部件集成和一个小技巧。按部分进行积分的公式为：int f（x）g'（x） dx = f（x）g（x）-int f'（x）g（x） dx在这种情况下，我' ll令f（x）= e ^ x且g'（x）= cos（x）。我们得到f'（x）= e ^ x和g（x）= sin（x）。这使我们的积分：int e ^ xcos（x） dx = e ^ xsin（x）-int e ^ xsin（x） dx现在我们可以再次按部分应用积分，但这次使用g'（x ）= sin（x）：int e ^ xcos（x） dx = e ^ xsin（x） - （ - e ^ xcos（x） - （ - int e ^ xcos（x） dx））int e ^ xcos（x） dx = e ^ xsin（x） 阅读更多 »

您可以使用Stevin定律来评估不同深度的压力变化：您还需要知道海水的密度rho（从文献中你应该得到：1.03xx10 ^ 3（kg）/ m ^ 3这或多或少准确地考虑到可能是因为寒冷的海（我认为这是巴伦支海）和深度可能会改变，但我们可以近似能够进行计算）。 Stevin Law：P_1 = P_0 + rhog | h |由于压力是“力”/“区域”，我们可以写：“force”=“pressure”xx“area”= 1.06xx10 ^ 6xx4 = 4.24xx10 ^ 6N我认为金属板面积为4平方公尺，否则如果是正方形4m的侧面简单地将4乘16替换为上述。金属板的方向不应产生很大的差异;考虑到深度为95米的压力随深度变化，但在4米的变化应该是非常小的......我想。 阅读更多 »

Lim_（x-> 0）x / sqrt（1-cos（x））= sqrt（2） lim_（x-> 0）x / sqrt（1-cos（x））= lim_（ x-> 0）x / sqrt（1-cos（x））* sqrt（1 + cos（x））/ sqrt（1 + cos（x））= lim_（x-> 0）（xsqrt（1 + cos） （x）））/ sqrt（1-cos ^ 2（x））= lim_（x-> 0）（xsqrt（1 + cos（x）））/ sin（x）= lim_（x-> 0）x / sin（x）sqrt（1 + cos（x））= lim_（x-> 0）x / sin（x）* lim_（x-> 0）sqrt（1 + cos（x））= 1 * sqrt（ 2）= sqrt（2） 阅读更多 »

X ^（tanx）（lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx）表达x ^ tanx作为e的幂：x ^ tanx = e ^ ln（x ^ tanx）= e ^（lnxtanx）= d / dxe ^（lnxtanx）使用链规则，d / dxe ^（lnxtanx）=（de ^ u）/（du）（（du）/ dx），其中u = lnxtanx和d /（du）（e ^ u）= e ^ u =（ d / dx（lnxtanx））e ^（lnxtanx）Express e ^（lnxtanx）作为x的幂：e ^（lnxtanx）= e ^ ln（x ^ tanx）= x ^ tanx = x ^ tanx。 d /（dx）（lnxtanx）使用乘积规则，d /（dx）（uv）= v（du）/（dx）+ u（dv）/（dx），其中u = lnx且v = tanx = lnx d /（dx）（tanx）+ d /（dx）（lnxtanx）x ^ tanx tanx的导数是sec ^ 2x = x ^ tanx（sec ^ 2xlnx +（d /（dx）（lnx））tanx）导数lnx是1 / x = x ^ tanx（lnxsec ^ 2x + 1 / xtanx） 阅读更多 »

该系列是发散的，因为该比率的极限> 1 lim_（n-> oo）a_（n + 1）/ a_n = lim_（n-> oo）（4（n + 1/2））/（3 （n + 1））= 4/3> 1设a_n为该系列的第n项：a_n =（（2n）！）/（3 ^ n（n！）^ 2）然后a_（n + 1） ）=（（2（n + 1））！）/（3 ^（n + 1）（（n + 1）！）^ 2）=（（2n + 2）！）/（3 * 3 ^ n（ （n + 1）！）^ 2）=（（2n）！（2n + 1）（2n + 2））/（3 * 3 ^ n（n！）^ 2（n + 1）^ 2）=（ （2n）！）/（3 ^ n（n！）^ 2）*（（2n + 1）（2n + 2））/（3（n + 1）^ 2）= a_n *（（2n + 1） 2（n + 1））/（3（n + 1）^ 2）a_（n + 1）= a_n *（2（2n + 1））/（3（n + 1））a_（n + 1） / a_n =（4（n + 1/2））/（3（n + 1））取这个比率的限制lim_（n-> oo）a_（n + 1）/ a_n = lim_（n-> oo） （4（n + 1/2））/（3（n + 1））= 4/3> 1因此该系列是发散的。 阅读更多 »

我们需要找到凹陷发生变化的地方。这些是拐点;通常它是二阶导数为零的地方。我们的函数是y = f（x）= x e ^ x。让我们看看f''（x）= 0：y = f（x）= x * e ^ x所以使用乘积规则：f'（x）= x * d / dx（e ^ x）+ e ^ x * d / dx（x）= xe ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x（x + 1）f''（x）=（x + 1）* d / dx（e ^ x）+ e ^ x * d / dx（x + 1）=（x + 1）e ^ x + e ^ x * 1 = e ^ x（x + 2）= 0设置f''（x）= 0并求解得到x = -2。二阶导数在-2处改变符号，因此凹度在x = -2处从凹陷向下变化到-2的左边到凹陷到-2的右边。拐点位于（x，y）=（ - 2，f（-2））。 dansmath留给你找到y坐标！/ 阅读更多 »

积分等于x ^ 4 + C由幂定律给出，int x ^ ndx = x ^（n + 1）/（n + 1）。 I = 4x ^（3 + 1）/（3 + 1）= x ^ 4 + C希望这有帮助！ 阅读更多 »

2e ^ {0.5x} + C int e ^ {0.5x} dx = int e ^ {0.5x} 1 / 0.5d（0.5x）= 1 / 0.5 int e ^ {0.5 x} d（ 0.5x）= 2e ^ {0.5x} + C. 阅读更多 »

你不能在基本功能方面表达这一整体。根据您需要集成的内容，您可以选择集成方式或其他方式。通过幂级数进行积分回想一下，e ^ x在mathbb {R}上进行分析，因此在 mathbb {R}中的forall x，以下等式成立e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / { n！}这意味着e ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty}（x ^ 3）^ n / {n！} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n！}现在你可以整合：int e ^ {x ^ 3} dx = int（sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n！ }）dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {（3n + 1）n！}通过不完全Gamma函数进行积分首先，替换t = -x ^ 3：int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ { - t} t ^ { - 2/3} dt函数e ^ {x ^ 3}是连续的。这意味着它的原始函数是F： mathbb {R}到 mathbb {R}，使得F（y）= c + int_0 ^ ye ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 int_0 ^ { - y ^ 3} e ^ { - t} t ^ { - 2/3} 阅读更多 »

每当我看到这些函数时，我认识到（通过练习很多）你应该在这里使用一个特殊的替换：int sqrt（9-x ^ 2）dx x = 3sin（u）这可能看起来像一个奇怪的替换，但是你会明白为什么我们这样做。 dx = 3cos（u）du替换整数中的每一个：int sqrt（9-（3sin（u））^ 2）* 3cos（u）du我们可以将积分中的3个带出来：3 * int sqrt（9- （3sin（u））^ 2）* cos（u）du 3 * int sqrt（9-9sin ^ 2（u））* cos（u）du你可以将9 out：3 * int sqrt（9（1） -sin ^ 2（u）））* cos（u）du 3 * 3int sqrt（1-sin ^ 2（u））* cos（u）du我们知道同一性：cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 If我们求解cosx，得到：cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x cosx = sqrt（1-sin ^ 2x）这正是我们在积分中看到的，所以我们可以替换它：9 int cos ^ 2（u你可能知道这个作为一个基本的反衍生物，但如果你不知道，你可以这样想：我们使用身份：cos ^ 2（u）=（1 + cos（2u））/ 2 9 int（1 + cos（2u））/ 2 du 9/2 int 1 + cos（2u）du 9/2（int 1du + int cos（2u）du）9/2（u + 1 / 2sin 阅读更多 »

Int 1 / x dx = ln abs x + C原因取决于您使用的ln x的定义。我更喜欢：定义：lnx = int_1 ^ x 1 / t dt for x> 0通过微积分的基本定理，我们得到：d /（dx）（lnx）= 1 / x，对于x> 0从那里和链规则，对于x <0，我们也得到d /（dx）（ln（-x））= 1 / x在不包括0的区间内，如果区间由正数组成并且它是ln，则1 / x的反导数是lnx。 （-x）如果间隔由负数组成。 ln abs x涵盖两种情况。 阅读更多 »

1/6 ln | {sqrt（x ^ 3 + 4）-2} / {sqrt（x ^ 3 + 4）+2} | + C替换x ^ 3 + 4 = u ^ 2。然后3x ^ 2dx = 2udu，使得dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = {2udu} / {3x ^ 3u} = 2/3 {du} /（u ^ 2-4）= 1 / 6（{du} / {u-2} - {du} / {u + 2}）因此int dx / {x sqrt {x ^ 3 + 4}} = 1/6 int（{du} / {u- 2} - {du} / {u + 2}）= 1/6 ln | {u-2} / {u + 2} | + C = 1/6 ln | {sqrt（x ^ 3 + 4）-2 } / {SQRT（X ^ 3 + 4）2} | + C 阅读更多 »

-2 / 3sqrt（1-x）（2 + x）+ C设，u = sqrt（1-x）或，u ^ 2 = 1-x或，x = 1-u ^ 2或者dx = -2udu现在，int（xdx）/（sqrt（1-x））= int（1-u ^ 2）（ - 2udu）/ u = int 2u ^ 2du -int 2du现在，int 2u ^ 2 du -int 2du =（ 2u ^ 3）/ 3 - 2（u）+ C = 2 / 3u（u ^ 2-3）+ C = 2 / 3sqrt（1-x）{（1-x）-3} + C = 2 / 3sqrt （1-x）（ - 2-x）+ C = -2 / 3sqrt（1-x）（2 + x）+ C 阅读更多 »

] -oo，-4 [“U”] 5，oo [“是x的收敛间隔”“x = 3不在收敛的区间内，因此x = 3的总和是”oo“将总和视为它是一个几何级数，用“”z = log_2（（x + 1）/（x-2））代替“然后我们有”sum_ {n = 0} z ^ n = 1 /（1-z）“代表” | z | <1“因此收敛间隔为”-1 <log_2（（x + 1）/（x-2））<1 => 1/2 <（x + 1）/（x-2）< 2 =>（x-2）/ 2 <x + 1 <2（x-2）“或”“（x-2）/ 2> x + 1> 2（x-2）”（x-2负）“ “正例：”=> x-2 <2x + 2 <4（x-2）=> 0 <x + 4 <3（x-2）=> -4 <x <3x-10 => x> - 4和x> 5 => x> 5“负的情况：” - 4> x> 3x-10 => x <-4且x <5 => x <-4“第二部分：”x = 3 => z = 2> 1 =>“sum is”oo 阅读更多 »

X in（-oo，（1-sqrt5）/ 2）U（（1 + sqrt5）/ 2，oo）我们可以得到sum_ {n = 0} ^ oo（1 /（x（1-x））） ^ n是比率r = 1 /（x（1-x））的几何级数。现在我们知道当比率的绝对值小于1时几何级数收敛：| r | <1 iff-1 <r <1所以我们必须解决这个不等式：1 /（x（1-x））<1并且1 /（x（1-x））> -1让我们从第一个开始：1 /（x（1-x））<1 iff 1 /（x（1-x）） - （x（1-x） ））/（x（1-x））<0 iff（1-x + x ^ 2）/（x（1-x））<0我们可以很容易地证明分子总是正的，分母是negetive in间隔x in（-oo，0）U（1，oo）。所以这是我们第一次不平等的解决方案。让我们看第二个：1 /（x（1-x））+（x（1-x））/（x（1-x））> 0 iff（1 + xx ^ 2）/（x（1- x））> 0这个不等式有解决方案的区间：x in（-oo，（1-sqrt5）/ 2）U（（1 + sqrt5）/ 2，oo）所以我们的系列收敛于这个区间都是真的。因此，我们的收敛间隔是：x in（-oo，（1-sqrt5）/ 2）U（（1 + sqrt5）/ 2，oo） 阅读更多 »

如果我们选择r = sqrt（2/3）R，并且h =（2R）/ sqrt（3），则找到气缸的最大容积。该选择导致最大气缸容积：V =（4pi R ^ 3） /（3sqrt（3））``想象一下穿过圆柱体中心的横截面，然后让圆柱体具有高度h和体积V，然后我们得到; h和r可以变化，R是常数。圆柱的体积由标准公式给出：V = pir ^ 2h球体的半径，R是边长为r和1 / 2h的三角形的斜边，所以使用毕达哥拉斯，我们有： R ^ 2 = r ^ 2 +（1 / 2h）^ 2 :. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 :. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2我们可以将它代入我们的体积方程中得到： V = pir ^ 2h :. V = pi（R ^ 2-1 / 4h ^ 2）h :. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3我们现在将体积V作为单个变量h的函数，我们寻求最大化wrt h，因此区分wrt h给出：（dV）/（dh）= pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2在最小值或最大值时，（dV）/（dh）= 0所以：pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0 :. / 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 :. ^ h ^ 2 = 4/3 R ^ 2 :. = h = sqrt（4/3 R ^ 2）“”（显然我们想要te + ve root）:. = 阅读更多 »

警告：你的数学老师不喜欢这种解决方法！ （但它更接近于如何在现实世界中完成）。请注意，如果x非常小（因此梯子几乎是垂直的），梯子的长度几乎是oo，如果x非常大（因此梯子几乎是水平的），梯子的长度（再次）几乎是oo如果我们从x的一个非常小的值开始并逐渐增加它，梯子的长度将（最初）变短但在某些时候它将需要再次开始增加。因此，我们可以找到包围值为“低X”和“高X”，梯度长度将达到最小值。如果此范围太大，我们可以细分它以找到“中点”长度并将我们的包围值调整到任何合理的准确度。您可以手动执行此过程，但这就是为计算机构建的过程。电子表格或简单编程语言的实现是直截了当的。这是我用BASIC语言程序得到的结果（写5分钟）：当梯子的底座距离墙壁1.8到1.80039063英尺之间时，最小梯子长度在10.800578和10.8005715之间。如果你能找到某个地方买一个梯子的长度比这个更准确，让我知道！ 阅读更多 »

Lim_（x-> 0）（cos（x）-1）/ x = 0.我们通过利用L'hospital的规则来确定这一点。换言之，L'Hospital的规则规定，当给定形式lim_（x a）f（x）/ g（x）的限制时，其中f（a）和g（a）是导致限制的值不确定（最常见的是，如果两者都是0，或者某种形式的 ），那么只要两个函数在a和a附近都是连续的和可微的，就可以说lim_（x a）f（x）/ g（x）= lim_（x a）（f'（x））/（g'（x））或者用词来说，两个函数的商的极限等于它们的导数的商的极限。在提供的示例中，我们有f（x）= cos（x）-1和g（x）= x。这些函数在x = 0，cos（0）-1 = 0和（0）= 0附近是连续的和可微分的。因此，我们的初始f（a）/ g（a）= 0/0 =？。因此，我们应该利用L'Hospital的规则。 d / dx（cos（x）-1）= - sin（x），d / dx x = 1。因此...... lim_（x-> 0）（cos（x）-1）/ x = lim_（x-> 0）（ - sin（x））/ 1 = -sin（0）/ 1 = -0 / 1 = 0 阅读更多 »

有几种写作方式。他们都抓住了同样的想法。对于y = f（x），y 的导数（相对于x）是y'= dy / dx = lim_（Deltax rarr0）（Delta y）/（Delta x）f'（x）= lim_（Deltax rarr0 ）（f（x + Delta x）-f（x））/（Delta x）f'（x）= lim_（hrarr0）（f（x + h）-f（x））/（h）f'（ x）= lim_（urarrx）（f（u）-f（x））/（ux） 阅读更多 »

Lim_（x-> 0）sin（x）/ x = 1.我们通过使用L'Hospital规则来确定这一点。换言之，L'Hospital的规则规定，当给出形式lim_（x-> a）f（x）/ g（x）的限制时，其中f（a）和g（a）是导致限制的值不确定（通常，如果两者都是0或某种形式的oo），那么只要两个函数在a和a附近是连续的和可微的，就可以说lim_（x-> a）f（x ）/ g（x）= lim_（x-> a）（f'（x））/（g'（x））或者用词来说，两个函数的商的极限等于商的极限他们的衍生品在提供的示例中，我们有f（x）= sin（x）和g（x）= x。这些函数在x = 0，sin（0）= 0和（0）= 0附近是连续的和可微的。因此，我们的初始f（a）/ g（a）= 0/0 =α。因此，我们应该利用L'Hospital的规则。 d / dx sin（x）= cos（x），d / dx x = 1.因此...... lim_（x-> 0）sin（x）/ x = lim_（x-> 0）cos（x）/ 1 = cos（0）/ 1 = 1/1 = 1 阅读更多 »

E ^ 4注意欧拉数的二项式定义：e = lim_（x-> oo）（1 + 1 / x）^ x- = lim_（x-> 0）（1 + x）^（1 / x）这里我将使用x-> oo定义。在该公式中，令y = nx然后1 / x = n / y，并且x = y / n欧拉数然后以更一般的形式表示：e = lim_（y-> oo）（1 + n / y） ^（y / n）换句话说，e ^ n = lim_（y-> oo）（1 + n / y）^ y因为y也是变量，我们可以用x代替y：e ^ n = lim_（x-> oo）（1 + n / x）^ x因此，当n = 4时，lim_（x-> oo）（1 + 4 / x）^ x = e ^ 4 阅读更多 »

Lim_（x rarr 0 ^ +）1 / x-（1）/（e ^ x-1）= 1/2设：f（x）= 1 / x-（1）/（e ^ x-1）“ “=（（e ^ x-1） - （x））/（x（e ^ x-1））”“=（e ^ x-1 - x）/（xe ^ xx）然后我们寻求：L = lim_（x rarr 0 ^ +）f（x） = lim_（x rarr 0 ^ +）（e ^ x-1 - x）/（xe ^ xx）因为这是一个不确定形式0/0我们可以应用L'Hôpital的规则。 L = lim_（x rarr 0 ^ +）（d / dx（e ^ x-1 - x））/（d / dx（xe ^ xx）） = lim_（x rarr 0 ^ +）（e ^ x -1）/（xe ^ x + e ^ x - 1）同样，这是一个不确定形式0/0我们可以再次应用L'Hôpital规则：L = lim_（x rarr 0 ^ +）（d / dx） （e ^ x-1））/（d / dx（xe ^ x + e ^ x - 1）） = lim_（x rarr 0 ^ +）（e ^ x）/（xe ^ x + e ^ x + e ^ x） =（e ^ 0）/（0 + e ^ 0 + e ^ 0） = 1/2 阅读更多 »

如果单独添加的两个限制接近0，则整个过程接近0.使用限制分布超过加法和减法的属性。 => lim_（x-> oo）1 / x - lim_（x-> oo）1 /（e ^ x - 1）第一个限制是微不足道的; 1 /“大”~~ 0.第二个问你要知道e ^ x随着x的增加而增加。因此，如x-> oo，e ^ x - > oo。 =>颜色（蓝色）（lim_（x-> oo）1 / x - 1 /（e ^ x - 1））= 1 / oo - 1 /（oo - cancel（1）^“small”）= 0 - 0 =颜色（蓝色）（0） 阅读更多 »

Lim_（x-> 0 ^ +）（1 / x-1 /（e ^ x-1））= 1/2求和两个项：1 / x-1 /（e ^ x-1）=（xe ^ x + 1）/（x（e ^ x-1））限制现在是不确定形式0/0所以我们现在可以应用l'Hospital的规则：lim_（x-> 0 ^ +）（1 / x- 1 /（e ^ x-1））= lim_（x-> 0 ^ +）（d / dx（e ^ x + 1-x））/（d / dx x（e ^ x-1））lim_（ x-> 0 ^ +）（1 / x-1 /（e ^ x-1））= lim_（x-> 0 ^ +）（e ^ x-1）/（e ^ x-1 + xe ^ x并且因为这是第二次以0/0的形式直到：lim_（x-> 0 ^ +）（1 / x-1 /（e ^ x-1））= lim_（x-> 0 ^ +） （d / dx（e ^ x-1））/（d / dx（e ^ x-1 + xe ^ x））lim_（x-> 0 ^ +）（1 / x-1 /（e ^ x- 1））= lim_（x-> 0 ^ +）e ^ x /（e ^ x + xe ^ x + e ^ x）lim_（x-> 0 ^ +）（1 / x-1 /（e ^ x- 1））= lim_（x-> 0 ^ +）1 /（x + 2）= 1/2图{1 / x-1 /（e ^ x-1）[ - 阅读更多 »

看下面首先，将其重写为lim_（x-> 1）7 /（4（x-1）^ 2现在因子（x-1）^ 2 =（x-1）（x-1）= x ^ 2- 2x + 1 frac {7} {4x ^ 2-2x + 1}现在替换x - > 1 frac {7} {4（1）^ 2 -2（1）+1 7/3因此lim_（x- > 1）7 /（4（x-1）^ 2）= 7/6 阅读更多 »

1 / ex ^（1 /（1-x））：graph {x ^（1 /（1-x））[ - 2.064,4.095，-1.338,1.74]}嗯，如果我们简单地拿这个就会容易得多双方的ln。由于x ^（1 /（1-x））在1的右边的开放区间内是连续的，我们可以说：ln [lim_（x-> 1 ^（+））x ^（1 /（1- x））] = lim_（x-> 1 ^（+））ln（x ^（1 /（1-x）））= lim_（x-> 1 ^（+））ln x /（1-x）由于ln（1）= 0且（1 - 1）= 0，因此形式为0/0且符合L'Hopital规则：= lim_（x-> 1 ^（+））（1“/”x） /（ - 1）当然，1 / x从x = 1的每一侧连续。=> ln [lim_（x-> 1 ^（+））x ^（1 /（1-x））] = -1因此，原始限制为：颜色（蓝色）（lim_（x-> 1 ^（+））x ^（1 /（1-x）））=“exp”（ln [lim_（x-） > 1 ^（+））x ^（1 /（1-x））]）= e ^（ - 1）=颜色（蓝色）（1 / e） 阅读更多 »

该图是双曲线，因此存在两条对称线：y = x-1且y = -x + 1 y = 1 /（x-1）的图是双曲线。双曲线有两条对称线。两条对称线都穿过双曲线的中心。一个穿过顶点（并通过焦点），另一个垂直于第一个顶点。 y = 1 /（x-1）的图是y = 1 / x的图的平移。 y = 1 / x有中心（0,0）和两个对称：y = x和y = -x对于y = 1 /（x-1），我们用x替换了x（并且我们没有替换y这将中心转换为点（1,0）。一切都向右移动，图形，渐近线和对称线.y = 1 /（x-1）有中心（1,0）和两个对称性：y =（x-1）和y = - （x-1）描述这种情况的一种方法是我们像对双曲线一样翻译对称线：我们用x-1代替x两条线是因此，y = x-1和y = -x + 1奖励示例图表的对称线是什么：y = 1 /（x + 3）+5？在阅读之前尝试自己解决这个问题。你得到的结果是：y = x + 8，y = -x + 2？如果是这样，你是对的。我们可以重写方程，使翻译更清晰：y = 1 /（x + 3）+5可以写成y-5 = 1 /（x + 3）或者，或许更好，（y-5）= 1 /（（x + 3））很明显，从y = 1 / x开始，我已经被替换了x乘x + 3并用y-5代替y将中心移动到（-3,5）。（是的，它是喜欢的找到一个圆的中心。）对称线也被翻译：我们得到：（y-5）=（x + 3）而不是y = -x，而不是y = x，我 阅读更多 »

3/2 *（sqrt（x ^ 3 - 2x + 3））*（3x ^ 2 - 2）链规则：d / dx f（g（x））= f'（g（x））* g' （x）幂规则：d / dx x ^ n = n * x ^（n-1）应用这些规则：1内部函数，g（x）是x ^ 3-2x + 3，外部函数，f （x）是g（x）^（3/2）2使用幂定律d / dx（g（x））^（3/2）= 3/2 * g（x）取外部函数的导数^（3/2 - 2/2）= 3/2 * g（x）^（1/2）= 3/2 * sqrt（g（x））f'（g（x））= 3/2 * sqrt（x ^ 3 - 2x + 3）3取内函数的导数d / dx g（x）= 3x ^ 2 -2 g'（x）= 3x ^ 2 -2 4乘以f'（g（x ））与g'（x）（3/2 * sqrt（x ^ 3 - 2x + 3））*（3x ^ 2 - 2）溶液：3/2 *（sqrt（x ^ 3 - 2x + 3）） *（3x ^ 2 - 2） 阅读更多 »

Intx ^ 2e ^（ - x）dx = -e ^（ - x）（x ^ 2 + 2x + 2）+ C按部分积分表示：intv（du）/（dx）= uv-intu（dv）/ （dx）u = x ^ 2;（du）/（dx）= 2x（dv）/（dx）= e ^（ - x）; v = -e ^（ - x）intx ^ 2e ^（ - x） dx = -x ^ 2e ^（ - x）-int-2xe ^（ - 2x）dx现在我们这样做：int-2xe ^（ - 2x）dx u = 2x;（du）/（dx）= 2（dv ）/（dx）= - e ^（ - x）; v = e ^（ - x）int-2xe ^（ - x）dx = 2xe ^（ - x）-int2e ^（ - x）dx = 2xe ^（ -x）+ 2e ^（ - x）intx ^ 2e ^（ - x）dx = -x ^ 2e ^（ - x） - （2xe ^（ - x）+ 2e ^（ - x））= - x ^ 2e ^（ - x）的-2xe ^（ - x）的-2E ^（ - X）+ C = -e ^（ - X）（X ^ 2 + 2×+ 2）+ C 阅读更多 »

“正常”=> y = - （3x）/（8-24sqrt3）+（152sqrt3-120 + 3pi）/（24-72sqrt2）=> y ~~ 0.089x-1.52法线是切线的垂直线。 f（x）= sec（4x）-cot（2x）f'（x）= 4sec（4x）tan（3x）+ 2csc ^ 2（2x）f'（pi / 3）= 4sec（（4pi）/ 3 ）tan（（4pi）/ 3）+ 2csc ^ 2（（2pi）/ 3）=（8-24sqrt3）/ 3对于正常，m = -1 /（f'（pi / 3））= - 3 /（ 8-24sqrt3）f（pi / 3）= sec（（4pi）/ 3）-cot（（2pi）/ 3）=（sqrt3-6）/ 3（sqrt3-6）/ 3 = -3 /（8- 24sqrt3）（pi / 3）+ cc =（sqrt3-6）/ 3 + pi /（8-24sqrt3）=（152sqrt3-120 + 3pi）/（24-72sqrt2）“正常”：y = - （3x）/ （8-24sqrt3）+（152sqrt3-120 + 3PI）/（24-72sqrt2）; Y = 0.089x-1.52 阅读更多 »

我想你在这里询问方向导数，以及最大变化率，即梯度，导致法向量vec n。因此，对于标量f（x，y）= y ^ 2 / x，我们可以说：nabla vec f = langle - y ^ 2 / x ^ 2，（2y）/ x rangle = vec n And：vec n _ {（ 2,4）} = nabla f _ {（2,4）} = langle -4,4 rangle所以我们可以得出结论：abs（vec n _ {（2,4）}）= abs（langle -4,4 rangle） = 2平方2 阅读更多 »

首先，没有不确定的数字。有数字，并且有描述听起来像他们可能描述的数字，但他们没有。 “使x + 3 = x-5的数字x”就是这样的描述。和“数字0/0”一样。最好避免说（并且认为）“0/0是一个不确定的数字”。 。在限制的上下文中：当评估由某些代数组合函数“构建”的函数的限制时，我们使用限制的属性。这是一些。注意开头指定的条件。如果lim_（xrarra）f（x）存在且lim_（xrarra）g（x）存在，则lim_（xrarra）（f（x）+ g（x））= lim_（xrarra）f（x）+ lim_（xrarra） ）g（x）lim_（xrarra）（f（x）-g（x））= lim_（xrarra）f（x） - lim_（xrarra）g（x）lim_（xrarra）（f（x）g（x ））= lim_（xrarra）f（x）lim_（xrarra）g（x）lim_（xrarra）f（x）/ g（x）=（lim_（xrarra）f（x））/（lim_（xrarra）g （x））规定lim_（xrarra）g（x）！= 0另请注意我们使用符号：lim_（xrarra）f（x）= oo表示限制不存在，但我们正在解释原因（如xrarra，f（x）无限制地增加）如果一个（或两个）限制lim_（xrarra）f（x）和lim_（xrarra）g（x）不存在，那么我们得到的形式限制属性可能是不确定的。虽然它不一定是不确定的。示例1：f（x）= 2x 阅读更多 »

9通过将导数设置为零，可以找到相对最小和最大点。在这种情况下，f'（x）= 0 iff6x-6 = 0 iff x = 1 1处的对应函数值是f（1）= 9。因此，点（1,9）是一个相对极端点。由于当x = 1时，二阶导数是正的，f''（1）= 6> 0，这意味着x = 1是相对最小值。由于函数f是二次多项式，因此其图是抛物线，因此f（x）= 9也是（-oo，oo）函数的绝对最小值。附图还验证了这一点。图{3x ^ 2-6x + 12 [-16.23,35.05，-0.7,24.94]} 阅读更多 »

最小值为x = 1-sqrt 5约“ - ”1.236; g（1 - sqrt 5）= - （1+ sqrt 5）/（8）约“ - ”0.405。在闭合的时间间隔内，最小值的可能位置将是：区间内的局部最小值或间隔的端点。因此，我们在[“-2”，2]中的任何x处计算和比较g（x）的值，使得g'（x）= 0，以及在x =“ - 2”和x = 2。第一：什么是g'（x）？使用商规则得到：g'（x）=（（1）（x ^ 2 + 4） - （x-1）（2x））/（x ^ 2 + 4）^ 2颜色（白色）（ g'（x））=（x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x）/（x ^ 2 + 4）^ 2颜色（白色）（g'（x））= - （x ^ 2-2x- 4）/（x ^ 2 + 4）^ 2当分子为零时，这将等于零。通过二次公式，我们得到x ^ 2-2x-4 = 0“”=>“”x = 1 + -sqrt 5约{“-1.236”，3.236}这些x值中只有一个在[“ - 2“，2”，即x = 1-sqrt 5.现在，我们计算：1。g（“ - 2”）=（“ - ”2-1）/（（“ - 2”）^ 2+ 4）=“ - 3”/ 8 =“ - ”0.375 2. g（1 - sqrt 5）=（1 - sqrt 5 -1）/（（1 - sqrt 5）^ 2 + 4）=（“ - ” sqrt 5）/（1-2 sqrt 5 + 5 + 阅读更多 »

该函数在区间[1,7]中连续增加，其最小值在x = 1。显然x ^ 2-2x-11 / x未在x = 0处定义，但是它在区间[1,7]中定义。现在x ^ 2-2x-11 / x的导数是2x-2 - （ - 11 / x ^ 2）或2x-2 + 11 / x ^ 2并且它在整个[1,7]中是正的。因此，函数是在区间[1,7]中连续增加，并且区间[1,7]中的x ^ 2-2x-11 / x的最小值在x = 1。图{x ^ 2-2x-11 / x [-40,40，-20,20]} 阅读更多 »

在x = 0和x = 1处都存在最小值0。首先，我们可以立即将此函数写为g（x）= x /（1 / sin（pix））= xsin（pix）回想一下csc（x）= 1 / sin（x）。现在，要查找间隔上的最小值，请确认它们可能发生在间隔的端点或间隔内发生的任何临界值。要在区间内找到临界值，请将函数的导数设置为0.并且，为了区分函数，我们必须使用产品规则。产品规则的应用给出了g'（x）= sin（pix）d / dx（x）+ xd / dx（sin（pix））这些导数中的每一个给出：d / dx（x）= 1并且，通过链规则：d / dx（sin（pix））= cos（pix）* underbrace（d / dx（pix））_（= pi）= picos（pix）结合这些，我们看到g'（x）= sin（pix）+ pixcos（pix）因此，每当sin（pix）+ pixcos（pix）= 0时就会出现临界值我们无法解释这个代数，所以使用计算器在给定的时间间隔内找到所有这个函数的零点[0,1]：graph {sin（pix）+ pixcos（pix）[ - 1,1.1，-3,2.02]}区间内的两个临界值是x = 0和xapprox0.6485。因此，我们知道g（x）的最小值可能出现在3个不同的位置：x = 0或x = 1，间隔的端点x = 0或x = 0.6485，区间内的临界值现在，插头在每个这些可能的值中进入区间：{（g 阅读更多 »

Lim_（xtooo）log（4 + 5x） - log（x-1）= log（5）lim_（xtooo）log（4 + 5x） - log（x-1）= lim_（xtooo）log（（4 + 5x） ）/（x-1））使用链规则：lim_（xtooo）log（（4 + 5x）/（x-1））= lim_（utoa）log（lim_（xtooo）（4 + 5x）/（x- 1））lim_（xtooo）（ax + b）/（cx + d）= a / c lim_（xtooo）（5x + 4）/（x-1）= 5 lim_（uto5）log（u）= log5 阅读更多 »

-sin（pi / 2x ^ 2-pix）*（pix-pi）首先，取外部函数的导数cos（x）： - sin（pi / 2x ^ 2-pix）。但是你还必须将它乘以内部的导数（pi / 2x ^ 2-pix）。按期限执行此术语。 pi / 2x ^ 2的导数是pi / 2 * 2x = pix。 -pix的派生只是-pi。所以答案是-sin（pi / 2x ^ 2-pix）*（pix-pi） 阅读更多 »

答案是x + arctan（x）首先注意：（2 + x ^ 2）/（1 + x ^ 2）可以写成（1 + 1 + x ^ 2）/（1 + x ^ 2）= 1 /（1 + x ^ 2）+（1 + x ^ 2）/（1 + x ^ 2）= 1 + 1 /（1 + x ^ 2）=> int（2 + x ^ 2）/（1 + X ^ 2）DX = INT [1 + 1 /（1 + X ^ 2）] DX = INT [1] DX + INT [1 /（1 + X ^ 2）] DX = X + INT [1 /（ 1 + x ^ 2）] dx = arctan（x）的导数是1 /（1 + x ^ 2）。这意味着1 /（1 + x ^ 2）的反导数是arctan（x）并且在此基础上我们可以写：int [1 + 1 /（1 + x ^ 2）] dx = x + arctan（ x）因此，int（2 + x ^ 2）/（1 + x ^ 2）dx == int [1 + 1 /（1 + x ^ 2）] dx = x + arctan（x）+ c所以反衍生物（2 + x ^ 2）/（1 + x ^ 2）是颜色（蓝色）（x + arctan（x））“NB：”不要将反衍生物与不定积分混淆反衍生物不涉及常数。事实上，找到反衍生物并不意味着整合！ 阅读更多 »

这是一个例子......当n！= m时，你可以有（nsin（t），mcos（t）），而n和m不等于1.这主要是因为：=> x = nsin（t） => x ^ 2 = n ^ 2sin ^ 2（t）=> x ^ 2 / n ^ 2 = sin ^ 2（t）=> y = mcos（t）=> y ^ 2 / m ^ 2 = cos ^ 2（t）=> x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = sin ^ 2（t）+ cos ^ 2（t）使用sin ^ 2（x）+ cos ^ 2的事实（ x）= 1 ... => x ^ 2 / n ^ 2 + y ^ 2 / m ^ 2 = 1这基本上是一个椭圆！请注意，如果您需要非圆椭圆，则必须确保n！= m 阅读更多 »

Intcosx / sin ^ 2xdx = -cscx设u = sinx，然后du = cosxdx和intcosx / sin ^ 2xdx = int（du）/ u ^ 2 = -1 / u = -1 / sinx = -cscx 阅读更多 »

43瞬时速度由（ds）/ dt给出。由于s（t）= t ^ 3 + 8t ^ 2-t，（ds）/ dt = 3t ^ 2 + 16t-1。在t = 2时，[（ds）/ dt] _（t = 2）= 3 * 2 ^ 2 + 16 * 2-1 = 43。 阅读更多 »

序列收敛为了找出序列a_n = ln（n ^ 2）/ n =（2ln（n））/ n收敛，我们观察a_n是n-> oo。 _ lim_（n-> oo）a_n = lim_（n-> oo）（2ln（n））/ n使用l'Hôpital规则，= lim_（n-> oo）（2 / n）/ 1 = lim_（n-> oo）2 / n = 0由于lim_（n-> oo）a_n是有限值，序列收敛。 阅读更多 »

答案是（3x ^ 2-3）*（2x ^ 2 + 3x + 5）+（x ^ 3 - 3x）*（4x + 3），这简化为10x ^ 4 + 12x ^ 3-3x ^ 2- 18X-15。根据产品规则，（f·g）'= f'·g + f·g'这只是意味着当你区分一个产品时，你做第一个的衍生物，单独留下第二个，加上第二个的衍生物，离开第一个独自一人。所以第一个是（x ^ 3 - 3x），第二个是（2x ^ 2 + 3x + 5）。好的，现在第一个的导数是3x ^ 2-3，第二个的导数是（3x ^ 2-3）*（2x ^ 2 + 3x + 5）。第二个的导数是（2 * 2x + 3 + 0），或者只是（4x + 3）。将它乘以第一个并得到（x ^ 3 - 3x）*（4x + 3）。现在将两个部分加在一起：（3x ^ 2-3）*（2x ^ 2 + 3x + 5）+（x ^ 3 - 3x）*（4x + 3）如果你将它全部加倍并简化，你应该得到10x ^ 4 + 12X ^ 3-3x ^ 2-18x-15。 阅读更多 »

112pi“或”351.86 cm“/”min硬币可以看作是一个小圆柱体。它的体积来自公式：V = pir ^ 2h我们被要求找出体积如何变化。这意味着我们正在寻找相对于时间的体积变化率，即（dV）/（dt）所以我们要做的就是区分体积与时间的关系，如下所示，=>（dV） /（dt）= d（pir ^ 2h）/（dt）= pi（2r *（dr）/（dt）+（dh）/（dt））我们告诉：（dr）/（dt）= 6 cm “/”min，（dh）/（dt）= 4 cm“/”min，r = 9 cm，h = 12 cm =>（dV）/（dt）= pi（2（9）*（6）+ （4））= 112pi~ = 351.86 cm“/”min 阅读更多 »

衍生物的乘积规则表明，给定函数f（x）= g（x）h（x），函数的导数为f'（x）= g'（x）h（x）+ g（x） h'（x）产品规则主要用于人们希望衍生的函数公然是两个函数的乘积，或者当函数被视为两个函数的乘积时更容易区分的函数。例如，当查看函数f（x）= tan ^ 2（x）时，更容易将函数表示为乘积，在这种情况下即f（x）= tan（x）tan（x）。在这种情况下，将函数表示为乘积更容易，因为六个主要三角函数的基本导数（sin（x），cos（x），tan（x），csc（x），sec（x），cot（ x））已知，并且分别是cos（x）， - sin（x），sec ^ 2（x）， - csc（x）cot（x），sec（x）tan（x）， - csc ^ 2（x）然而，f（x）= tan ^ 2（x）的导数不是基本的6个三角导数之一。因此，我们考虑f（x）= tan ^ 2（x）= tan（x）tan（x），以便我们可以处理tan（x），我们知道它的导数。利用tan（x）的导数，即d / dx tan（x）= sec ^ 2（x），链规则（df）/ dx = g'（x）h（x）+ g（x）h '（x），我们得到：f'（x）= [d / dx（tan（x））] tan（x）+ tan（x）[d / dx（tan（x））] d / dx tan（ x）= sec ^ 2（x），所以... f&# 阅读更多 »

Y'=（5x-2）^ 3（6x + 1）^ 2（（15）/（5x-2）+（12）/（6x + 1））1 / ln（y）= 3ln（5x-2 ）+ 2ln（6x + 1）2 /（1）/（y）y'=（3）（（1）/（5x-2））（5）+（2）（（1）/（6x + 1） ））（6）3 /（1）/（y）y'=（15）/（5x-2）+（12）/（6x + 1）4 / y'= y（（15）/（5x- 2）+（12）/（6x + 1））5 / y'=（5x-2）^ 3（6x + 1）^ 2（（15）/（5x-2）+（12）/（6x + 1）） 阅读更多 »

Y = x-7令y = f（x）= x ^ 2-5x + 2在x = 3时，y = 3 ^ 2-5 * 3 + 2 = 9-15 + 2 = -6 + 2 = -4因此，坐标为（3，-4）。我们首先需要通过微分f（x）来找到该点处切线的斜率，并在那里插入x = 3。 ：.f'（x）= 2x-5在x = 3时，f'（x）= f'（3）= 2 * 3-5 = 6-5 = 1因此，切线的斜率将为1.现在，我们使用点斜率公式计算出线的方程，即：y-y_0 = m（x-x_0）其中m是直线的斜率，（x_0，y_0）是原始的坐标。所以，y - （ - 4）= 1（x-3）y + 4 = x-3 y = x-3-4 y = x-7图表显示它是真的： 阅读更多 »

宽度随时间的变化率（dW）/（dt）= 0.6“ft / s”（dW）/（dt）=（dW）/（dh）xx（dh）/ dt（dh）/（dt） ）= - 1“ft / s”所以（dW）/（dt）=（dW）/（dh）xx-1 = - （dW）/（dh）Wxxh = 60 W = 60 / h（dW）/（ dh）= - （60）/（h ^ 2）所以（dW）/（dt）= - （ - （60）/（h ^ 2））=（60）/（h ^ 2）所以当h = 10 ：rArr（dW）/（dt）=（60）/（10 ^ 2）= 0.6“ft / s” 阅读更多 »

Y = cscx = 1 / sinx =（sinx）^ - 1为了找到最大值/最小值，我们找到一阶导数并找到导数为零的值。 y =（sinx）^ - 1：.y'=（ - 1）（sinx）^ - 2（cosx）（链规则）：。y'= - cosx / sin ^ 2x at max / min，y'= 0 => - cosx / sin ^ 2x = 0：.cosx = 0：.x = -pi / 2，pi / 2，...当x = pi / 2 => y = 1 / sin（pi / 2）= 1当x = -pi / 2 => y = 1 / sin（-pi / 2）= - 1因此在（-pi / 2，-1）和（pi / 2,1）处有转折点如果我们看在y = cscx的图中，我们观察到（-pi / 2，-1）是相对最大值，（pi / 2,1）是相对最小值。图{csc x [-4,4，-5,5]} 阅读更多 »

I = 1 / 4ln（x ^ 4-4x ^ 2）+ C我们想要求解I = int（x ^ 2-2）/（x ^ 3-4x）dx将DEN和NUM乘以x I = int（ x ^ 3-2x）/（x ^ 4-4x ^ 2）dx现在我们可以做出漂亮的替换颜色（红色）（u = x ^ 4-4x ^ 2 => du = 4x ^ 3-8xdx = 4（ x ^ 3-2x）dx I = 1 / 4int1 / udu颜色（白色）（I）= 1 / 4ln（u）+ C颜色（白色）（I）= 1 / 4ln（x ^ 4-4x ^ 2） + C 阅读更多 »

如下所述。如果存在保守矢量场F（x，y，z）= Mdx + Ndy + Pdz。它的潜在功能可以找到。如果势函数是f（x，y，z），那么f_x（x，y，z）= M，f_y（x，y，z）= N和f_z（x，y，z）= P 。然后，f（x，y，z）= int Mdx + C1 f（x，y，z）= int Ndy + C2和f（x，y，z）= int Pdz + C3，其中C1将是某些函数y和z，C2将是x和z的一些函数，C3将是x和y的一些函数。从这三个版本的f（x，y，z），势函数f（x，y，z）可以被分解。采取一些具体问题将更好地说明该方法。 阅读更多 »

-1 /（xsqrt（x ^ 2-1））为了区分这个，我们将应用一个链规则：开始时让theta = arcsin（1 / x）=> sin（theta）= 1 / x现在区分每个术语方程的两边关于x => cos（theta）*（d（theta））/（dx）= - 1 / x ^ 2使用同一性：cos ^ 2theta + sin ^ 2theta = 1 => costheta = sqrt（1-sin ^ 2theta）=> sqrt（1-sin ^ 2theta）*（d（theta））/（dx）= - 1 / x ^ 2 =>（d（θ））/（dx）= - 1 / x ^ 2 * 1 / sqrt（1-sin ^ 2theta）召回：sin（theta）= 1 / x“”和“”theta = arcsin（1 / x）所以我们可以写，（d（arcsin（1） / X）））/（DX）= - 1 / X ^ 2 * 1 / SQRT（1-（1 / X）^ 2）= - 1 / X ^ 2 * 1 / SQRT（（X ^ 2-1） / x ^ 2）= -1 / x ^ 2 * x / sqrt（x ^ 2-1）=颜色（蓝色）（ - 1 /（xsqrt（x ^ 2-1）））“或”-sqrt（x ^ 2-1）/（X（X ^ 2-1）） 阅读更多 »

F''（x）= 6 / x ^ 4>重写f（x）= 1 / x ^ 2 = x ^ -2 rArr f'（x）= -2x ^ -3 rArr f''（x）= 6x ^ -4 = 6 / x ^ 4 阅读更多 »

（4f * g）（x）令P（x）=（f * g）（x）= f（x）g（x）然后使用乘积规则：P'（x）= f'（x）g（ X）+ F（X）G'（x）的。使用问题中给出的条件，我们得到：P'（x）=（g（x））^ 2 +（f（x））^ 2现在使用幂和链规则：P''（x）= 2g （x）g'（x）+ 2f（x）f'（x）。再次应用这个问题的特殊条件，我们写：P''（x）= 2g（x）f（x）+ 2f（x）g（x）= 4f（x）g（x）= 4（f *克）（x）的 阅读更多 »

H''（x）= 9秒（3x + 1）[sec ^ 2（3x + 1）+ tan ^ 2（3x + 1）]给定：h（x）= sec（3x + 1）使用以下导数规则：（sec u）'= u'se sec o tan u; “”（tan u）'= u'sec ^ 2 u产品规则：（fg）'= f g'+ g f'找到一阶导数：设u = 3x + 1; “”u'= 3 h'（u）= 3 sec u tan u h'（x）= 3 sec（3x + 1）tan（3x + 1）使用乘积规则求出二阶导数：设f = 3秒（3×+ 1）; “”f'= 9秒（3x + 1）tan（3x + 1）令g = tan（3x + 1）; “”g'= 3秒^ 2（3x + 1）h''（x）=（3秒（3x + 1））（3秒^ 2（3x + 1））+（tan（3x + 1）） （9秒（3x + 1）tan（3x + 1））h''（x）= 9 sec ^ 3（3x + 1）+ 9tan ^ 2（3x + 1）sec（3x + 1）因子：h' （x）= 9秒（3x + 1）[sec ^ 2（3x + 1）+ tan ^ 2（3x + 1）] 阅读更多 »

F''（x）= sec x（ sec ^ 2 x + tan ^ 2 x）给定函数：f（x）= sec x区分w.r.t. x如下： frac {d} {dx} f（x）= frac {d} {dx}（ sec x）f'（x）= sec x tan x再次，区分f'（x）w.r.t. x，我们得到 frac {d} {dx} f'（x）= frac {d} {dx}（ sec x tan x）f''（x）= sec x frac {d} { dx} tan x + tan x frac {d} {dx} secx = sec xsec ^ 2 x + tan x sec x tan x = sec ^ 3 x + sec x tan ^ 2 x = sec x （ sec ^ 2 x + tan ^ 2 x） 阅读更多 »

D ^ 2 /（dx ^ 2）x /（x-1）= 2 /（x-1）^ 3对于这个问题，我们将使用商规则：d / dx f（x）/ g（x）= （g（x）f'（x）-f（x）g'（x））/ [g（x）] ^ 2我们也可以通过除以得到x /（x-1）=使其更容易一些1 + 1 /（x-1）一阶导数：d / dx（1 + 1 /（x-1））=（d / dx1）+（d / dx（（x-1）（d / dx1）-1 （d / dx（x-1）））/（x-1）^ 2）= 0 +（（x-1）（0） - （1）（1））/（x-1）^ 2 = - 1 /（x-1）^ 2二阶导数：二阶导数是一阶导数的导数。 d ^ 2 /（dx ^ 2）（1 + 1 /（x-1））= d / dx（-1 /（x-1）^ 2）= - （（x-1）^ 2（d / dx1 ）-1（d / dx（x-1）^ 2））/ [（x-1）^ 2] ^ 2 = - （（x-1）^ 2（0）-1（2（x-1） ））/（x-1）^ 4 = 2 /（x-1）^ 3对于n！= 1：1+我们也可以使用幂定律d / dx x ^ n = nx ^（n-1） 1 /（x-1）= 1+（x-1）^（ - 1）=> d / dx（1 + 1 /（x-1））= d / dx（1+（x-1）^（ -1））= - （x-2）^（ - 2）=> d ^ 2 /（dx ^ 2）（1 + 1 /（x 阅读更多 »

问题1如果f（x）=（g（x））/（h（x））那么通过商数规则f'（x）=（g'（x）* h（x） - g（x）* h '（x））/（（g（x））^ 2）所以如果f（x）= x /（x-1）那么一阶导数f'（x）=（（1）（x-1） - （x）（1））/ x ^ 2 = - 1 / x ^ 2 = - x ^（ - 2）和二阶导数是f''（x）= 2x ^ -3问题2如果f（x）= 2 / x这可以重写为f（x）= 2x ^ -1并使用标准程序获取导数f'（x）= -2x ^ -2或者，如果你喜欢f'（x）= - 2 / X ^ 2 阅读更多 »

Y ^（''）=（2 * x（x ^ 2 - 24））/（（16-x ^ 2）* sqrt（16-x ^ 2））首先计算函数的一阶导数y = x * sqrt（16-x ^ 2）使用产品规则。这将得到你d / dx（y）= [d / dx（x）] * sqrt（16 - x ^ 2）+ x * d / dx（sqrt（16 - x ^ 2））你可以区分d / dx （sqrt（16 -x ^ 2））使用sqrt（u）的链规则，u = 16 -x ^ 2。 d / dx（sqrt（u））= d /（du）sqrt（u）* d / dx（u）d / dx（sqrt（u））= 1/2 * 1 / sqrt（u）* d / dx （16-x ^ 2）d / dx（sqrt（16-x ^ 2））= 1 /颜色（红色）（取消（颜色（黑色）（2）））* 1 / sqrt（16-x ^ 2） *（ - 颜色（红色）（取消（颜色（黑色）（2）））x）d / dx（sqrt（1-x ^ 2））= - x / sqrt（16-x ^ 2）将其重新插入你的y ^'的计算。 y ^'= 1 * sqrt（16-x ^ 2）+ x *（-x / sqrt（16-x ^ 2））y ^'= 1 / sqrt（16-x ^ 2）*（16-x ^ 2 - x ^ 2）y ^'=（2（8-x ^ 2））/ sqrt（16-x ^ 阅读更多 »

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C我们需要找到A，B，C，使得1 /（x ^ 2（2x-1））= A / x + B / x ^ 2对于所有x，+ C /（2x-1）。将两侧乘以x ^ 2（2x-1）得到1 = Ax（2x-1）+ B（2x-1）+ Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Cx ^ 2 1 = （2A + C）x ^ 2 +（2B-A）xB等式系数给出{（2A + C = 0），（2B-A = 0），（ - B = 1）：}因此我们得到A = -2，B = -1，C = 4。在初始方程中用这个代替，我们得到1 /（x ^ 2（2x-1））= 4 /（2x-1）-2 / x-1 / x ^ 2现在，按术语int 4整合它（2x-1） dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx得到2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C 阅读更多 »

Dy / dx =（ln（sinx）+ xcotx）（sinx）^ x使用对数微分。 y =（sinx）^ x lny = ln（（sinx）^ x）= xln（sinx）（使用ln的属性）隐含地区分:(使用乘积规则和链式标尺）1 / y dy / dx = 1ln（ sinx）+ x [1 / sinx cosx]因此，我们得到：1 / y dy / dx = ln（sinx）+ x cotx通过乘以y =（sinx）^ x，dy / dx =来求解dy / dx LN（sinx的）+ xcotx）（sinx的）^ x的 阅读更多 »

=（10（2x-5）^ 4 *（x ^ 2 + 2）^ 2 - （2x-5）^ 5 * 4x（x ^ 2 + 2））/（x ^ 2 + 2）^ 4 f' （x）=（f'（x）* g（x） - f（x）* g'（x））/（g（x））^ 2 f'（x）=（（（5（2x-5） ）^ 4 * 2）（x ^ 2 + 2）^ 2） - （2x-5）^ 5 *（2（x ^ 2 + 2）* 2x））/（（x ^ 2 + 2）^ 2） ^ 2 =（10（2x-5）^ 4 *（x ^ 2 + 2）^ 2 - （2x-5）^ 5 * 4x（x ^ 2 + 2））/（x ^ 2 + 2）^ 4你可以减少更多，但是无聊解决这个等式，只需使用代数方法。 阅读更多 »

（dy）/（dx）=（xsen（x ^ 2 + 2）+ sen（x + 2））/（sqrtcos（x ^ 2 + 2）+ sqrt（cos ^ 2（x + 2）））（dy ）/（dx）= 1 /（2sqrtcos（x ^ 2 + 2）+ sqrt（cos ^ 2（x + 2）））* sen（x ^ 2 + 2）* 2x + 2sen（x + 2）（dy） ）/（dx）=（2xsen（x ^ 2 + 2）+ 2sen（x + 2））/（2sqrtcos（x ^ 2 + 2）+ sqrt（cos ^ 2（x + 2）））（dy）/ （dx）=（cancel2（xsen（x ^ 2 + 2）+ sen（x + 2）））/（cancel2sqrtcos（x ^ 2 + 2）+ sqrt（cos ^ 2（x + 2）））（dy） /（dx）=（xsen（x ^ 2 + 2）+ sen（x + 2））/（sqrtcos（x ^ 2 + 2）+ sqrt（cos ^ 2（x + 2））） 阅读更多 »

我们知道e ^ x的Maclaurin系列是sum_（n = 0）^ oox ^ n /（n！）我们也可以通过使用f（x）= sum_（n = 0）^的Maclaurin展开得到这个序列。 oof ^（（n））（0）x ^ n /（n！）以及e ^ x的所有导数仍为e ^ x且e ^ 0 = 1的事实。现在，只需将上述系列代入（e ^ x-1）/ x =（sum_（n = 0）^ oo（x ^ n /（n！）） - 1）/ x =（1 + sum_（n = 1）^ oo（x ^ n /（n！）） - 1）/ x =（sum_（n = 1）^ oo（x ^ n /（n！）））/ x = sum_（n = 1）^ oox ^（n-1）/（n！）如果希望索引从i = 0开始，只需替换n = i + 1：= sum_（i = 0）^ oox ^ i /（（i + 1） ！）现在，只评估前三个术语得到~~ 1 + x / 2 + x ^ 2/6 阅读更多 »

Dy / dx = -0.54对于极坐标函数f（theta），dy / dx =（f'（θ）sintheta + f（theta）costheta）/（f'（theta）costheta-f（theta）sintheta）f（ theta）= theta-sec ^ 3theta + thetasin ^ 3theta f'（θ）= 1-3（sec ^ 2theta）（d / dx [sectheta]） - sin ^ 3theta + 3thetasin ^ 2theta（d / dx [sintheta]） f'（θ）= 1-3sec ^ 3thetatantheta-sin ^ 3theta + 3thetasin ^ 2thetacostheta f'（（5pi）/ 3）= 1-3sec ^ 3（（5pi）/ 3）tan（（5pi）/ 3） - sin ^ 3（（5pi）/ 3）+3（（5pi）/ 3）sin ^ 2（（5pi）/ 3）cos（（5pi）/ 3）~~ -.998 f（（5pi）/ 3）= （（5pi）/ 3）-sec ^ 3（（5pi）/ 3）+（（5pi）/ 3）sin ^ 3（（5pi）/ 3）~~ -6.16 dy / dx =（ - 9.98sin（（ 5pi）/ 3）-6.16cos（（5pi）/ 3））/（ - 9.98cos（（5pi）/ 3）+ 6.16sin 阅读更多 »

Dy / dx = 10x（x ^ 2 + 1）^ 4如果我们把它写成：y = u ^ 5那么我们可以使用链式规则：dy / dx =（dy）/（du）*（du）/（ dx）（dy）/（du）= 5u ^ 4（du）/（dx）= 2x dy / dx =（dy）/（du）*（du）/（dx）= 10xu ^ 4放回x ^ 2 + 1给出：dy / dx = 10x（x ^ 2 + 1）^ 4 阅读更多 »

见下文。如果：y = lnx <=> e ^ y = x将此定义与给定函数一起使用：e ^ y =（sin（x + 3））^ 2隐式区分：e ^ ydy / dx = 2（sin（x + 3） ））* cos（x + 3）除以e ^ y dy / dx =（2（sin（x + 3））* cos（x + 3））/ e ^ y dy / dx =（2（sin（x） + 3））* cos（x + 3））/（sin ^ 2（x + 3））取消公因数：dy / dx =（2（cancel（sin（x + 3）））* cos（x + 3） ））/（sin ^ cancel（2）（x + 3））dy / dx =（2cos（x + 3））/（sin（x + 3））我们现在有了导数，因此能够计算出在x = pi / 3处的梯度插入此值：（2cos（（pi / 3）+3））/（sin（（pi / 3）+3））~~ 1.568914137这是该线的近似方程：y = 15689 / 10000x-1061259119/500000000图： 阅读更多 »

Lim_（xto0 ^ +）x ^ 4ln（x）= 0 f（x）= x ^ 4ln（x）[（x，f（x）），（1,0），（0.1，-2.30 * 10 ^ - 4），（0.01，-4.61 * 10 ^ -8），（0.001，-6.91 * 10 ^ -12）]当x从右侧倾向于0时，当x <x时，f（x）保持在负侧1，但当x-> 0 lim_（xto0 ^ +）x ^ 4ln（x）= 0 graph {x ^ 4ln（x）[-0.05 1，-0.1,0.01]}时，值本身接近0 阅读更多 »

在x = 1/3处与y相切的斜率是-8 y = x ^ 2（3x + 1 / x ^ 3）= x ^ 2（3x + x ^（ - 3））dy / dx = x ^ 2（ 3-3x ^（ - 4））+ 2x（3x + x ^（ - 3））乘积规则= 3x ^ 2-3x ^（ - 2）+ 6x ^ 2 + 2x ^（ - 2）= 9x ^ 2- x ^（ - 2）x = 1/3处y的切线的斜率（m）在x = 1/3时为dy / dx因此：m = 9 *（1/3）^ 2 - （1/3） ）^（ - 2）m = 1-9 = 8 阅读更多 »

斜率为0.平滑曲线的最小值（“最小值”的复数）出现在转折点，根据定义，转折点也是静止点。这些被称为静止，因为在这些点，梯度函数等于0（因此函数不是“移动”，即它是静止的）。如果梯度函数等于0，那么该点处的切线的斜率也等于0.图片的简单示例是y = x ^ 2。它在原点处具有最小值，并且在该点处也与x轴相切（其为水平，即斜率为0）。这是因为在这种情况下dy / dx = 2x，并且当x = 0时，dy / dx = 0。 阅读更多 »

E ^ a *（a / 2）*（1 - a）“你可以使用泰勒级数并在”x-> 0“的限制中删除更高阶项。” x ^ y = exp（y * ln（x））=>（1 + x）^ y = exp（y * ln（1 + x））“和”ln（1 + x）= x - x ^ 2 / 2 + x ^ 3/3 - ......“和”exp（x）= 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + x ^ 4/24 + ......“所以”exp（y * ln（1 + x））= exp（y *（x - x ^ 2/2 + ...））=>（1 + x）^（a / x）= exp（（a / x）* ln （1 + x））= exp（（a / x）*（x - x ^ 2/2 + x ^ 3/3 - ...））= exp（a - a * x / 2 + a * x ^ 2/3 - ...）=>（1 + ax）^（1 / x）= exp（（1 / x）* ln（1 + ax））= exp（（1 / x）*（ax - （ ax）^ 2/2 +（ax）^ 3/3 - ...））= exp（a - a ^ 2 * x / 2 + a ^ 3 * x ^ 2/3 - ...）=>（ 1 + ax）^（1 / x） - （1 + x）^（a / x）~~ exp（a - a ^ 2 * x / 2 + ...） - exp（a - 阅读更多 »

使用公式：Area = h / 2（y_1 + y_n + 2（y_2 + y_3 + ... + y_（n-1）））得到结果：Area = 4314 / 3145~ = 1.37 h是步长我们使用以下公式找到步长：h =（ba）/（n-1）a是x的最小值，b是x的最大值。在我们的例子中，a = 0和b = 6 n是条带的数量。因此n = 4 => h =（6-0）/（4-1）= 2因此，x的值为0,2,4,6“NB：”从x = 0开始，我们加上步长h = 2得到x的下一个值直到x = 6为了找到y_1到y_n（或y_4）我们插入x的每个值来得到相应的y例如：得到y_1我们插件x y = 1 /（1 + x ^ 2）=> y_1 = y = 1 /（1+（0）^ 2）= 1对于y_2，我们插入x = 2得到：y_2 = 1 /（ 1+（2）^ 2）= 1/5类似地，y_3 = 1 /（1+（4）^ 2）= 1/17 y_4 = 1 /（1+（6）^ 2）= 1/37接下来，我们使用公式，Area = h / 2（y_1 + y_n + 2（y_2 + y_3 + ... + y_（n-1）））=> Area = 2/2 [1 + 1/5 + 2（1 / 17 + 1/37）] =（3145 + 629 + 370 + 170）/ 3145 =颜色（蓝色）（3145分之4314） 阅读更多 »

垂线的斜率是1/4，但曲线的导数是-1 / {2sqrt {x}}，它总是负的，因此曲线的切线永远不会垂直于y + 4x = 4。 f（x）= 2 - x ^ {1/2} f'（x）= - 1/2 x ^ { - 1/2} = -1 / {2sqrt {x}}给定的线是y = -4x + 4因此具有斜率-4，因此其垂线具有负倒数斜率，1/4。我们将导数设置为等于并求解：1/4 = -1 / {2 sqrt {x}} sqrt {x} = -2没有真正的x满足那个，所以在切线垂直的曲线上没有位置到y + 4x = 4。 阅读更多 »

它完全融合。使用该测试进行绝对收敛。如果我们得到项的绝对值，我们得到系列4 + 1 + 1/4 + 1/16 + ......这是几何系列的常见比例1/4。因此它收敛了。因为两个| a_n |收敛a_n绝对收敛。希望这有帮助！ 阅读更多 »

H = 1000 /（2pix） - 对于31a，x需要圆柱体总表面积的公式。圆柱体的总表面积与圆形表面（顶部和底部）和曲面表面积的总和相同。曲面区域可以看作是一个矩形（如果它要被展开）。这个矩形的长度是圆柱的高度，它的宽度是顶部或底部圆的圆周。圆周是2pir。身高是h。曲面面积= 2皮尔。 pir ^ 2的圆圈区域。顶部和底部圆圈的面积：2pir ^ 2圆柱体的总表面积是2pirh + 2pir ^ 2，或2pir（h + r）。我们得出气缸的总表面积为1000平方公尺。这意味着2pir（h + r）= 1000.然后，h + r = 1000 /（2pir）h = 1000 /（2pir） - r在这个问题中，半径实际上表示为x，因此h表示为x将是h = 1000 /（2pix） - x 阅读更多 »

Int cos（x）/（sin ^ 2（x）+ sin（x））“d”x = ln | sin（x）/（sin（x）+1）| + C int cos（x）/（sin ^ 2（x）+ sin（x））“d”x替换u = sin（x）和“d”u = cos（x）“d”x。这给出了= int （“d”u）/（u ^ 2 + u）= int （“d”u）/（u（u + 1））从1 /（u（u + 1）开始分离成部分分数））= 1 / u-1 /（u + 1）：= int （1 / u-1 /（u + 1））“d”u = ln | u | -ln | u + 1 | + C = ln | u /（u + 1）| + C替代u = sin（x）：= ln | sin（x）/（sin（x）+1）| + C 阅读更多 »

Int sqrt（x ^ 2 + 4x） dx = sinh（2cosh ^ -1（（x + 2）/ 2）） - 2cosh ^ -1（（x + 2）/ 2）+ C因为它更容易在平方根下仅处理一个x，我们完成正方形：x ^ 2 + 4x =（x + 2）^ 2 + kx ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + kk = -4 x ^ 2 + 4x =（x + 2）^ 2-4 int sqrt（x ^ 2 + 4x） dx = int sqrt（（x + 2）^ 2-4） dx现在我们需要进行三角替换。我将使用双曲线三角函数（因为割线积分通常不是很好）。我们想要使用以下标识：cosh ^ 2（theta）-1 = sinh ^ 2（theta）为此，我们想要（x + 2）^ 2 = 4cosh ^ 2（theta）。我们可以求x来得到我们需要的替换：x + 2 = 2cosh（theta）x = 2cosh（theta）-2为了相对于theta积分，我们必须乘以x的导数相对于theta：dx /（d theta）= 2sinh（theta）int sqrt（（x + 2）^ 2-4） dx = int sqrt（（2cosh（theta））^ 2-4）* 2sinh（theta） d theta = = 2int sqrt（4cosh ^ 2（theta）-4）* sinh（theta） d theta = 2int sqrt 阅读更多 »

如果0 <x <e ^（ - 15/56）则f向下凹;如果x> e ^（ - 15/56）则f向上凹; x = e ^（ - 15/56）是（下降）拐点为了分析两次可微函数f的凹度和拐点，我们可以研究二阶导数的正定性。实际上，如果x_0是f域中的一个点，则：如果f''（x_0）> 0，则f在x_0附近凹入;如果f''（x_0）<0，则f在x_0附近向下凹;如果f''（x_0）= 0并且在x_0的足够小的右邻域上的f''的符号与x_0的足够小的左邻域上的f''的符号相反，则调用x = x_0 f的拐点在f（x）= x ^ 8 ln（x）的特定情况下，我们有一个函数，其域必须限制为正实数RR ^ +。一阶导数是f'（x）= 8x ^ 7 ln（x）+ x ^ 8 1 / x = x ^ 7 [8 ln（x）+1]二阶导数是f''（x）= 7x ^ 6 [8 ln（x）+1] + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 [56ln（x）+15]让我们研究f''（x）的积极性：x ^ 6> 0 iff x ne 0 56ln（x）+15> 0 iff ln（x）> -15/56 iff x> e ^（ - 15/56）因此，考虑到域是RR ^ +，如果0 <x <e 阅读更多 »

X = y = sqrt（a）x * y = a => x * y - a = 0 f（x，y）= sqrt（x）+ sqrt（y）“是最小的”“我们可以使用拉格朗日乘数L：“f（x，y，L）= sqrt（x）+ sqrt（y）+ L（x * ya）”导出产量：“{df} / dx = 1 /（2 * sqrt（x））+ L * y = 0 {df} / dy = 1 /（2 * sqrt（y））+ L * x = 0 {df} / {dL} = x * ya = 0 => y = a / x => { df} / dy = 1 /（2 * sqrt（a / x））+ L * x = 0 = sqrt（x）/（2 * sqrt（a））+ L * x = 0 => {df} / dx = 1 /（2 * sqrt（x））+ L * a / x = 0 => sqrt（x）/ 2 + L * a = 0“（乘以x”！=“0之后）”=> L = - sqrt（x）/（2 * a）=> sqrt（x）/（2 * sqrt（a）） - sqrt（x）* x /（2 * a）= 0 => 1 /（2 * sqrt（ a）） - x /（2 * a）= 0 => x = sqrt（a）=> y = sqrt（a）=> L = -a ^（1/4）/（2 * a）<0 = >“MI 阅读更多 »

1/4“你可以使用泰勒系列扩展。” cos（x）= 1 - x ^ 2/2！ + x ^ 4/4！ - ... tan（x）= x + x ^ 3/3 + 2 x ^ 5/15 + ... => cos ^ 2（x）= 1 - x ^ 2 + x ^ 4（1/4 + 2/24）... = 1 - x ^ 2 + x ^ 4/3 ... => tan（3x）= 3x + 9 x ^ 3 + ... =>（x * cos ^ 2（x） ）/（x + tan（3x））=（x - x ^ 3 + x ^ 5/3 ...）/（4x + 9 x ^ 3 + ...）x-> 0 =>“更高的功率消失“=（x - ...）/（4x + ...）= 1/4 阅读更多 »

1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2-x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1（（2x-1）/ sqrt3）+ C首先分解分母：1 + x ^ 3 =（x + 1）（x ^ 2-x + 1）现在我们可以做部分分数：1 /（1 + x ^ 3）= 1 /（（x + 1）（x ^ 2-x + 1）） = A /（x + 1）+（Bx + C）/（x ^ 2-x + 1）我们可以使用掩盖方法找到A：A = 1 /（（text（////））（ （-1）^ 2 + 1 + 1））= 1/3接下来我们可以将两边乘以LHS分母：1 = 1/3（x ^ 2-x + 1）+（Bx + C）（x + 1）1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + Bx + Cx + C 1 =（1/3 + B）x ^ 2 +（B + C-1/3）x + （C + 1/3）这给出了下列等式：1/3 + B = 0 - > B = -1 / 3 C + 1/3 = 1-> C = 2/3这意味着我们可以重写我们的原始积分：int 1 /（1 + x ^ 3） dx = 1 / 3int 1 /（x + 1） - （x-2）/（x ^ 2-x + 1） dx第一个积分可以是使用显式u替换完成，但很明显答案是ln | x + 1 |：1/3（ln | x + 1 | -int （x-2）/（x 阅读更多 »

点（2，-3）不在给定曲线上。将坐标（2，-3）放入我们得到的给定方程：LHS = 2（16）（4）（81）+6（8）+7（9） = 10368 +48 +63 = 10479 ！！= 2703因此点（2，-3）不在给定曲线上。 阅读更多 »

9 = e ^（y ^ 2-y）/ e ^ x + y - xy 9 = e ^（y ^ 2-y）* e ^（ - x）+ y - xy 9 = e ^（y ^ 2- yx）+ y - xy相对于x的区别。指数的导数本身就是指数的导数。请记住，每当您区分包含y的内容时，链规则会为您提供y'因子。 0 = e ^（y ^ 2-yx）（2yy'-y'-1）+ y' - （xy'+ y）0 = e ^（y ^ 2-yx）（2yy'-y'-1） + y' - xy'-y现在解决y'。这是一个开始：0 = 2yy'e ^（y ^ 2-yx）-y'e ^（y ^ 2-yx）-e ^（y ^ 2-yx）+ y' - xy'-y获取所有条款y'在左侧。 -2yy'e ^（y ^ 2-y-x）+ y'e ^（y ^ 2-y-x）-y'+ xy'= - e ^（y ^ 2-y-x）-y因子out y'。在你因素之后用括号中的内容除以双方。 阅读更多 »

Int e ^ x cos（x）“d”x = 1 / 2e ^ x（sin（x）+ cos（x））+ CI = int e ^ x cos（x）“d”x我们将使用部分集成，表明int u “d”v = uv-int v “d”u。按部分使用积分，u = e ^ x，du = e ^ x “d”x，“d”v = cos（x）“d”x，v = sin（x）：I = e ^ xsin（x）-int e ^ xsin（x）“d”x再次使用部分积分到第二个积分，u = e ^ x，“d”u = e ^ x “d”x，“ d“v = sin（x）”d“x，v = -cos（x）：I = e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x）-int e ^ xcos（x）”d “x现在，回想一下我们定义了I = int e ^ x cos（x）”d“x。因此，上面的等式变为如下（记住添加积分常数）：I = e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x）-I + C 2I = e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（ X）+ C = E ^ X（的sin（x）+ COS（X））+ CI = 1 / 2E ^ X（的sin（x）+ COS（X））+ C 阅读更多 »