回答:
#的x ^(坦)(lnxsec ^ 2×+ 1 / xtanx)#
说明:
表达 #χ^坦# 作为e的力量:
#的x ^坦= E ^ LN(X ^坦)= E ^(lnxtanx)#
#= d / DXE ^(lnxtanx)#
使用链规则, #d / DXE ^(lnxtanx)=(DE ^ u)的/(DU)((DU)/ DX),# 哪里 #U = lnxtanx# 和 #d /(DU)(E ^ u)的= E ^ U#
#=(d / DX(lnxtanx))E 1(lnxtanx)#
表达 ·E ^(lnxtanx)# 作为x的力量:
·E ^(lnxtanx)= E ^ LN(X ^坦)= X ^坦#
#= X ^坦。 d /(DX)(lnxtanx)#
使用产品规则, #d /(DX)(UV)= V(DU)/(DX)+ U(DV)/(DX)#
,哪里 #U = LNX# 和 #V =坦#
#= lnx d /(dx)(tanx)+ d /(dx)(lnxtanx)x ^ tanx#
的衍生物 #坦# 是 #秒^ 2×#
#= X ^坦(秒^ 2xlnx +(d /(DX)(LNX))坦)#
的衍生物 #LNX# 是 #1 / X#
#= X ^坦(lnxsec ^ 2×+ 1 / xtanx)#
回答:
#DY / DX =(秒^ 2(x)的LN(X)+黄褐色(X)/ X)的x ^黄褐色(x)的#
说明:
我们将使用对数微分 - 也就是说,我们将采用双方的自然对数并隐式区分w.r.t #X#
鉴于: #Y = X ^黄褐色(x)的#
拿自然日志(#LN#)双方:
#ln(Y)= LN(x ^黄褐色(X))#
应用自然对数的幂规则 #ln的(a)^ B = B * LN(一)#
#ln(Y)= TAN(X)* LN(x)的#
w.r.t隐含地区分双方 #X#
#1 / Y * DY / DX =颜色(蓝色)(秒^ 2(x)的LN(X)+黄褐色(X)/ x)的# (见下面的工作)
为了区分RHS,我们需要使用产品规则!
我们有 #d / DX 黄褐色(X)* LN(x)的#
让 #F(X)= TAN(x)的# 和 #G(X)= LN(x)的#
从而, #F'(X)=秒^ 2(x)的# 和 #G'(X)= 1 / X#
根据产品规则: #d / DX F(X)* G(X) = F'(x)的G(X)+ F(X)G(X)#
代替我们得到:
#d / DX 黄褐色(X)* LN(X) =秒^ 2(x)的* LN(X)+黄褐色(X)* 1 / X#
简化…
#d / DX 黄褐色(X)* LN(X) =秒^ 2(x)的* LN(X)+黄褐色(X)/ X#
回到我们之前的经历:
#1 / Y * DY / DX =秒^ 2(x)的LN(X)+黄褐色(X)/ X#
我们希望孤立 #DY / DX# 所以我们将两边相乘 #Y#
#cancelcolor(红色)Y * 1 / cancely * DY / DX =(秒^ 2(x)的LN(X)+黄褐色(X)/ X)*颜色(红色)Y#
#DY / DX =(秒^ 2(x)的LN(X)+黄褐色(X)/ X)*颜色(红色)Y#
我们想用一切来写 #X# 但我们有这个 #COLOR(红色)Y# 在路上。你可能还记得那个 #COLOR(红色)Y# 是在一开始就给我们的。 #COLOR(红色)(Y = X ^黄褐色(X))#
#:. DY / DX =(秒^ 2(x)的LN(X)+黄褐色(X)/ X)* X ^黄褐色(x)的#