如何扩展Maclaurin系列呢？ F（X）= ^ INT_0 Xlog软件（1-T）/ TDT

回答：

#f（x）= -1 /（ln（10））x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^（n + 1）/（n 1）^ 2#

视觉：看看这个图表

说明：

我们显然无法评估这个整体，因为它使用了我们学到的任何常规集成技术。但是，由于它是一个明确的积分，我们可以使用MacLaurin系列，并通过术语集成执行所谓的术语。

我们需要找到MacLaurin系列。由于我们不想找到该函数的n阶导数，我们需要尝试将其拟合到我们已经知道的MacLaurin系列中。

首先，我们不喜欢 #日志#;我们想要做到这一点 #LN#。为此，我们可以简单地使用基础公式的变化：

#log（x）= ln（x）/ ln（10）#

所以我们有：

#INT_0 ^ XLN（1-T）/（TLN（10））DT#

我们为什么要做这个？好吧，现在注意到了 #d / dxln（1-t）= -1 /（1-t）# 为什么这么特别？好， #1 /（1-x）的# 是我们常用的MacLaurin系列之一：

#1 /（1-x）= 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_（n = 0）^ oox ^ n#

…对全部 #X# 上 #(-1, 1#

因此，我们可以利用这种关系来取代我们的优势 #ln（1-T）# 同 #INT-1 /（1-T）DT#，这使我们可以取代它 #LN# 使用MacLaurin系列的术语。把它放在一起给出：

#ln（1-t）/（tln（10））= -1 /（tln（10））int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt#

评估积分：

#= -1 /（tln（10））t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^（n + 1）/（n + 1） #

取消了 #T# 分母中的术语：

#= -1 /（ln（10））1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^（n）/（n + 1）#

而现在，我们采取定积分我们开始问题：

#int_0 ^ x（-1 /（ln（10））1 + t / 2 + t ^ 2/3 + t ^ 3/4 + … + t ^（n）/（n + 1）） DT#

注意：观察我们现在不需要担心在这个问题上除以零，这是我们在原始被积函数中遇到的一个问题，因为 #T# 分母中的术语。由于这在上一步中被取消，它表明不连续性是可移除的，这对我们很有效。

#= -1 /（ln（10））t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^（n + 1）/（n + 1）^ 2# 从中评估 #0# 至 #X#

#= -1 /（ln（10））x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^（n + 1）/（n + 1）^ 2 - 0#

#= -1 /（ln（10））x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^（n + 1）/（n + 1）^ 2#

但是请确保你意识到这个系列只在间隔时间很好 #(1, 1#因为我们上面使用的MacLaurin系列只是收敛于这个区间。看看我制作的这张图，以便更好地了解它的外观。

希望有帮助:)