有什么价值？ lim_（x-> 0）（int_0 ^ x sin t ^ 2.dt）/ sin x ^ 2

回答：

#lim_（x rarr 0）（int_0 ^ x sin t ^ 2 dt）/（sin x ^ 2）= 0#

说明：

我们寻找：

#L = lim_（x rarr 0）（int_0 ^ x sin t ^ 2 dt）/（sin x ^ 2）#

分子和分母都是分子 #rarr 0# 如 #x rarr 0#。因此限制 #L# （如果存在）是一种不确定的形式 #0/0#，因此，我们可以应用L'Hôpital的规则来获得：

#L = lim_（x rarr 0）（d / dx int_0 ^ x sin（t ^ 2）dt）/（d / dx sin（x ^ 2））#

# = lim_（x rarr 0）（d / dx int_0 ^ x sin（t ^ 2）dt）/（d / dx sin（x ^ 2））#

现在，使用微积分的基本定理：

#d / dx int_0 ^ x sin（t ^ 2）dt = sin（x ^ 2）#

和，

#d / dx sin（x ^ 2）= 2xcos（x ^ 2）#

所以：

#L = lim_（x rarr 0）sin（x ^ 2）/（2xcos（x ^ 2））#

这又是一种不确定的形式 #0/0#，因此，我们可以再次应用L'Hôpital的规则来获得：

#L = lim_（x rarr 0）（d / dx sin（x ^ 2））/（d / dx 2xcos（x ^ 2））#

# = lim_（x rarr 0）（2xcos（x ^ 2））/（2cos（x ^ 2）-4x ^ 2sin（x ^ 2））#

哪个，我们可以评估：

#L =（0）/（2-0）= 0#