回答：
#int e ^ x cos（x）“d”x = 1 / 2e ^ x（sin（x）+ cos（x））+ C#
说明：
#I = int e ^ x cos（x）“d”x#
我们将使用部分集成，其中指出了这一点 #int u “d”v = uv-int v “d”u#.
使用部件集成 #U = E 1 X#, #du = e ^ x “d”x#, #“d”v = cos（x）“d”x#，和 #V =的sin（x）#:
#I = e ^ xsin（x）-int e ^ xsin（x）“d”x#
使用部件再次集成到第二个积分，用 #U = E 1 X#, #“d”u = e ^ x “d”x#, #“d”v = sin（x）“d”x#，和 #V = -cos（x）的#:
#I = e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x）-int e ^ xcos（x）“d”x#
现在，回想我们定义 #I = int e ^ x cos（x）“d”x#。因此，上面的等式变为以下（记住添加一个常量的积分）：
#I = E 1 xsin（X）+ E ^ xcos（X）-I + C#
#2I = E ^ xsin（X）+ E ^ xcos（X）+ C = E ^ X（的sin（x）+ COS（X））+ C#
#I = 1 / 2E ^ X（的sin（x）+ COS（X））+ C#
回答：
见下文。
说明：
使用de Moivre的身份
#e ^（ix）= cos x + i sin x# 我们有
#int e ^ x cos x dx =“Re”int e ^ x（cos x + i sin x）dx =“Re”int e ^（x + ix）dx#
但 #int e ^（（1 + i）x）dx = 1 /（1 + i）e ^（（1 + i）x）=（1-i）/ 2 e ^ x e ^（ix）=#
#=（1-i）/ 2e ^ x（cos x + isinx）= 1 / 2e ^ x（cosx + sinx）+ i1 / 2e ^ x（sinx -cosx）#
最后
#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x（cosx + sinx）+ C#
