什么是半径最大的圆柱体，r和高度h可以适合半径范围，R？

回答：

如果我们选择，可以找到最大圆柱体积

#r = sqrt（2/3）R#，和 #h =（2R）/ sqrt（3）#

这种选择导致最大汽缸容积：

#V =（4pi R ^ 3）/（3sqrt（3））#

说明：

``

想象一下穿过圆柱体中心的横截面，让圆柱体具有高度 #H#和音量 ·V#那么我们有;

#H# 和 #R· 可以多种多样 #R· 是一个常数。气缸的体积由标准公式给出：

#V = PIR ^ 2H#

球体的半径， #R· 是带有边的三角形的斜边 #R· 和 #1 / 2H#，所以使用毕达哥拉斯，我们有：

# R ^ 2 = r ^ 2 +（1 / 2h）^ 2#

#:. R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2#

#:. r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2#

我们可以将其替换为我们的体积方程式来得到：

# V = pir ^ 2h#

#:. V = pi（R ^ 2-1 / 4h ^ 2）h#

#:. V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3#

我们现在有音量， ·V# 作为单个变量的函数 #H#，我们寻求最大化wrt #H# 如此区别wrt #H# 得到：

#（dV）/（dh）= pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2#

至少或最大， #（DV）/（DH）= 0# 所以：

#pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 = 0#

#:. / 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2#

#:. ^ h ^ 2 = 4/3 R ^ 2#

#:. = h = sqrt（4/3 R ^ 2）“”# （显然我们想要te + ve root）

#:. h =（2R）/ sqrt（3）#

有了这个值 #H# 我们得到：

# r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4 4/3 R ^ 2#

#:. r ^ 2 = R ^ 2-http：// 3 R ^ 2#

#:. r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2#

#:. r = sqrt（2/3）R#

我们应该检查这个值是否导致最大值（而不是最大值），我们通过查看二阶导数来做到这一点：

#（dV）/（dh）= pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2#

#:. （d ^ 2V）/（dh ^ 2）= -6 / 4pih#

并作为 #时> 0# 我们得出结论 #（d ^ 2V）/（dh ^ 2）<0# 并且所确定的临界点导致所寻求的最大值。

因此，如果我们选择，可以找到气缸的最大容积

#r = sqrt（2/3）R#，和 #h =（2R）/ sqrt（3）#

有了这个选择，我们得到的最大音量为;

#V = pi R ^ 2（（2R）/ sqrt（3）） - 1 / 4pi（（2R）/ sqrt（3））^ 3#

#:. V =（2pi R ^ 3）/ sqrt（3） - 1 / 4pi（（8R ^ 3）/（3sqrt（3）））#

#:. V =（2pi R ^ 3）/ sqrt（3） - （2piR ^ 3）/（3sqrt（3））#

#:. V =（4pi R ^ 3）/（3sqrt（3））#

显然，球体的体积由下式给出：

#V_s = 4 / 3piR ^ 3#

这是一个非常着名的问题，在发现微积分之前，希腊数学家研究过这个问题。一个有趣的属性是圆柱体积与球体积的比率：

#V / V_s =（（4pi R ^ 3）/（3sqrt（3）））/（4 / 3piR ^ 3）= 1 / sqrt（3）#

换句话说，体积的比例完全独立于 #R·, #R· 要么 #H# 这是一个非常惊人的结果！