回答：
#1 / 3LN | X + 1 | -1 / 6ln | X ^ 2×1 + | + sqrt3 / 3tan ^ -1（（2X-1）/ sqrt3）+ C#
说明：
首先分解分母：
#1 + X ^ 3 =（X + 1）（X ^ 2-X + 1）#
现在我们可以做部分分数：
#1 /（1 + X ^ 3）= 1 /（（X + 1）（X ^ 2-X + 1））= A /（X + 1）+（Bx的+ C）/（X ^ 2-X +1）#
我们可以找 #一个# 使用掩盖方法：
#A = 1 /（（文本（////））（（ - 1）^ 2 + 1 + 1））= 1/3号
接下来，我们可以将双方乘以LHS分母：
#1 = 1/3（X ^ 2-X + 1）+（Bx的+ C）（X + 1）#
#1 = 1/3×^ 2-1 / 3×+ 1/3 + Bx的^ 2 + Bx的+ CX + C#
#1 =（1/3 + B）的x ^ 2 +（B + C-1/3）X +（C + 1/3）#
这给出了以下等式：
#1/3 + B = 0 - > B = -1 / 3#
#C + 1/3 = 1-> C = 2/3的#
这意味着我们可以重写原始积分：
#int 1 /（1 + x ^ 3） dx = 1 / 3int 1 /（x + 1） - （x-2）/（x ^ 2-x + 1） dx#
第一个积分可以使用显式的u替换来完成，但答案是相当清楚的 #ln | X + 1 |#:
#1/3（ln | x + 1 | -int （x-2）/（x ^ 2-x + 1） dx）#
我们可以将剩下的积分分成两部分：
#int （x-2）/（x ^ 2-x + 1） dx = 1 / 2int （2x-4）/（x ^ 2-x + 1） dx =#
#= 1/2（int （2x-1）/（x ^ 2-x + 1） dx-int 3 /（x ^ 2-x + 1） dx）#
乘法和除法的诡计的原因 #2# 是让左手分母更容易使用u替换。
我将称左积分积分1和右积分积分2
积分1
#int （2x-1）/（x ^ 2-x + 1） dx#
由于我们已经为替换准备了这个整体，我们所要做的就是替代 #U = X ^ 2-X + 1#，衍生品是 #2X-1#，所以我们除以那个相互整合 #U#:
#int cancel（2x-1）/（cancel（2x-1）* u） du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C#
积分2
#3int 1 /（x ^ 2-x + 1） dx#
我们希望将这一点整合到表单中：
#int 1 /（1 + t ^ 2） dt = tan ^ -1（t）+ C#
要做到这一点，我们需要完成分母的正方形：
#x的^ 2-X + 1 =（X-1/2）^ 2 + K#
#x的^ 2-X + 1 = X ^ 2-X + 1/4 + K#
#K = 3/4的#
#3int 1 /（x ^ 2-x + 1） dx = 3int 1 /（（x-1/2）^ 2 + 3/4） dx#
我们想引入一个u替换，以便：
#（X-1/2）^ 2 = 3 / 4U ^ 2#
#X-1/2 = sqrt3 / 2U#
#X = sqrt3 / 2U + 1/2号
我们乘以相对于的导数 #U# 与…相融合 #U#:
#DX /（DU）= SQRT（3）/ 2#
#3 * sqrt3 / 2int 1 /（3 / 4u ^ 2 + 3/4） du = 3sqrt3 / 2 * 1 /（3/4）int 1 /（u ^ 2 + 1） du =#
#= 2sqrt3tan ^ -1（U）+ C = 2sqrt3tan ^ -1（（2X-1）/ sqrt3）+ C#
完成原始积分
现在我们知道了Integral 1和Integral 2的答案，我们可以将它们插回到原始表达式中以获得我们的最终答案：
#1/3（LN | X + 1 | -1 / 2LN | X ^ 2×1 + | + sqrt3tan ^ -1（（2X-1）/ sqrt3））+ C =#
#= 1 / 3LN | X + 1 | -1 / 6ln | X ^ 2×1 + | + sqrt3 / 3tan ^ -1（（2X-1）/ sqrt3）+ C#
回答：
#1 / 3LN（X + 1）-1 / 6ln（X ^ 2×+ 1）+（sqrt3）/ 3arctan（（2X-1）/ sqrt3）+ C#
说明：
#int dx /（x ^ 3 + 1）#
=#1 / 3int（3dx）/（x ^ 3 + 1）#
=#1 / 3int（3dx）/ （x ^ 2-x + 1）*（x + 1）#
=#1 / 3int（x ^ 2-x + 1）/ （x ^ 2-x + 1）（x + 1） * dx#-#1 / 3int（x ^ 2-x-2）/ （x ^ 2-x + 1）（x + 1） * dx#
=#1 / 3int dx /（x + 1）#-#1 / 3int（（x + 1）（x-2））/ （x ^ 2-x + 1）（x + 1） * dx#
=#1 / 3ln（x + 1）+ C-1/3 int（x-2）/（x ^ 2-x + 1）* dx#
=#1 / 3ln（x + 1）+ C-1/6 int（2x-4）/（x ^ 2-x + 1）* dx#
=#1 / 3ln（x + 1）+ C-1/6 int（2x-1）/（x ^ 2-x + 1）* dx#+#1/6 int 3 /（x ^ 2-x + 1）* dx#
=#1 / 3LN（X + 1）-1 / 6ln（X ^ 2-X + 1）+ C#+#1/2 int dx /（x ^ 2-x + 1）#
=#1 / 3LN（X + 1）-1 / 6ln（X ^ 2-X + 1）+ C#+#int（2dx）/（4x ^ 2-4x + 4）#
=#1 / 3LN（X + 1）-1 / 6ln（X ^ 2-X + 1）+ C#+#int（2dx）/（（2x-1）^ 2 + 3）#
=#1 / 3LN（X + 1）-1 / 6ln（X ^ 2×+ 1）+（sqrt3）/ 3arctan（（2X-1）/ sqrt3）+ C#
