如何使用Maclaurin系列e ^ x找到f（t）=（e ^ t - 1）/ t的Maclaurin系列的前三项？

我们知道Maclaurin系列 #E 1 X# 是

#sum_（N = 0）^ OOX ^ N /（N！）#

我们也可以通过使用Maclaurin扩展来推导出这个系列 #F（X）= sum_（N = 0）^ OOF ^（（n））的（0）的x ^ N /（N！）# 以及所有衍生品的事实 #E 1 X# 还是 #E 1 X# 和 ·E ^ 0 = 1#.

现在，只需将上述系列替换成

#（E ^ X-1）/ X#

#=（sum_（N = 0）^ OO（X ^ N /（N）） - 1）/ X#

#=（1 + sum_（N = 1）^ OO（X ^ N /（N）） - 1）/ X#

#=（sum_（N = 1）^ OO（X ^ N /（N！）））/ X#

#= sum_（N = 1）^ OOX ^（N-1）/（N！）#

如果您希望索引从 #I = 0#，简单地替代 #N = + 1#:

#= sum_（I = 0）^ OOX ^ I /（第（i + 1）！）#

现在，只需评估前三个术语即可

#~~ 1 + X / 2 + X ^ 2/6#