回答：
如下面的评论所述，这是MacLaurin系列 #f（x）= cos（x）#，我们知道这会聚合在一起 #（ - oo，oo）#。但是，如果您想查看该过程：
说明：
由于我们在分母中有一个阶乘，我们使用 比率测试 ，因为这使简化更容易一些。这个公式是：
#lim_（正> ）（A_（N + 1）/ A_N）#
如果这个<1，那么你的系列就会收敛
如果大于1，则系列会发生偏差
如果这是= 1，则您的测试不确定
所以，让我们这样做：
#lim_（K-> OO）ABS（（！ - 1）^（K + 1）（X ^（2K + 2）/（（2K + 2）））*（ - 1）^ K（（2K）！ ）/（X ^（2K））#
注意：要非常小心你如何插入你的（k + 1）。 2k将变为2（k + 1），而不是2k + 1。
我乘以倒数 #的x ^（2K）/（（2K）！）# 而不是仅仅为了使工作更容易。
现在，让我们的代数。由于绝对值，我们的交替术语（即 #（ - 1）^ K#）我们将永远取消，因为我们将永远有一个肯定的答案：
#=> lim_（k-> oo）abs（（x ^（2k + 2）/（（2k + 2）！））*（（2k）！）/（x ^（2k））#
我们可以取消我们的 #的x ^（2K）#的：
#=> lim_（k-> oo）abs（（x ^ 2 /（（2k + 2）！））*（（2k）！）#
现在我们需要取消阶乘。
回想起那个 #（2K）！ =（2k）*（2k-1）*（2k-2）*（2k-3）* … * 3 * 2 * 1#
也， #（2K + 2）！ =（2k + 2）*（2k + 1）*（2k）*（2k - 1）* …. * 3 * 2 * 1#
注意：
#（2K）！ =颜色（红色）（（2k）*（2k-1）*（2k-2）*（2k-3）* … * 3 * 2 * 1）#
#（2K + 2）！ =（2k + 2）*（2k + 1）*颜色（红色）（（2k）*（2k - 1）* …. * 3 * 2 * 1）#
如你所见，我们 #（2K）#！ 本质上是其中的一部分 #（2k + 2）！#。我们可以用它来取消每个常用术语：
#（（2k）！）/（（2k + 2）！）=取消（颜色（红色）（（2k）*（2k-1）*（2k-2）*（2k-3）* …… * 3 * 2 * 1））/（（2k + 2）*（2k + 1）*取消（颜色（红色）（（2k）*（2k - 1）* …. * 3 * 2 * 1）） #
#= 1 /（（2k + 2）（2k + 1））#
这离开了
#=> lim_（k-> oo）abs（（x ^ 2 /（（2k + 2）（2k + 1）））#
现在，我们可以评估此 限制。请注意，因为我们没有采取这个限制 #X#，我们可以把它分解出来：
#=> abs（x ^ 2 lim_（k-> oo）（1 /（（2k + 2）（2k + 1）））#
#=> abs（x ^ 2 * 0）= 0#
你可以看到，这个限制= 0，小于1.现在，我们问自己： 是否有任何价值 #X# 这个限制是 1？ 答案是否定的，因为任何乘以0的都是0。
所以，从那以后 #lim_（k-> oo）abs（（x ^（2k + 2）/（（2k + 2）！））*（（2k）！）/（x ^（2k）））<1# 对于所有的价值观 #X#，我们可以说它有一个收敛的区间 #（ - oo，oo）#.
希望有帮助:)
