如何使用部分分数整合int 1 /（x ^ 2（2x-1））？

回答：

#2LN | 2X-1 | -2ln | X | + 1 / X + C#

说明：

我们需要找到 #A，B，C# 这样的

#1 /（X ^ 2（2X-1））= A / X + B / X ^ 2 + C /（2X-1）#

对全部 #X#.

将双方乘以 #x的^ 2（2X-1）# 要得到

#1 =斧（2X-1）+ B（2X-1）+ CX ^ 2#

#1 = 2AX ^ 2AX 2BX +-B + CX ^ 2#

#1 =（2A + C）的x ^ 2 +（2B-A）X-B#

等于系数给了我们

#{（2A + C = 0），（2B-A = 0），（ - B = 1）：}#

因此我们有 #A = -2，B = -1，C = 4#。在初始方程中用这个代替，我们得到

#1 /（X ^ 2（2X-1））= 4 /（2X-1）-2 / X-1 / X ^ 2#

现在，逐项整合

#int 4 /（2x-1） dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 dx#

要得到

#2LN | 2X-1 | -2ln | X | + 1 / X + C#

回答：

答案是 #= 1 / X-2LN（| X |）+ 2LN（| 2X-1 |）+ C#

说明：

执行分解为部分分数

#1 /（X ^ 2（2X-1））= A / X ^ 2 + B / X + C /（2X-1）#

#=（A（2X-1）+ Bx的（2X-1）+ C（X ^ 2））/（X ^ 2（2X-1））#

分母是相同的，比较分子

#1 = A（2X-1）+ Bx的（2X-1）+ C（X ^ 2）#

让 #X = 0#, #=>#, #1 = -A#, #=>#, #A = -1#

让 #X = 1 /#, #=>#, #1 = C / 4#, #=>#, #C = 4#

系数 #x的^ 2#

#0 = 2B + C#

#B = -C / 2 = -4 / 2 = -2#

因此，

#1 /（X ^ 2（2X-1））= - 1 / X ^ 2-2 / X + 4 /（2X-1）#

所以，

#int（1DX）/（X ^ 2（2X-1））= - INT（1DX）/ X ^ 2-INT（2DX）/ X + INT（4DX）/（2X-1）#

#= 1 / X-2LN（| X |）+ 2LN（| 2X-1 |）+ C#