结石

Int（sqrt（x ^ 4 + 2 + x ^（ - 4））/ x ^ 3）dx = ln abs x-1 / 4x ^（ - 4）+ C注意：x ^ 4 + 2 + x ^（ -4）=（x ^ 2 + x ^（ - 2））^ 2你可以填写其余的：int（sqrt（x ^ 4 + 2 + x ^（ - 4））/ x ^ 3）dx = int（x ^ 2 + x ^（ - 2））/ x ^ 3 dx color（white）（int（sq ^（x ^ 4 + 2 + x ^（ - 4））/ x ^ 3）dx）= int x ^（ - 1）+ x ^（ - 5）dx color（white）（int（sq ^（x ^ 4 + 2 + x ^（ - 4））/ x ^ 3）dx）= ln abs x-1 / 4x ^（ - 4）+ C 阅读更多 »

因此，回想一下，对于隐式区分，每个项必须相对于单个变量进行区分，并且为了区分一些f（y）相对于x，我们使用链规则：d / dx（f（y）） = f'（y）* dy / dx因此，我们说明相等：d / dx（xy）+ d / dx（2x）+ d / dx（3x ^ 2）= d / dx（-4）rArr x * dy / dx + y + 2 + 6x = 0（使用产品规则来区分xy）。现在我们只需要弄清楚这个混乱，得到一个方程式dy / dx = ... x * dy / dx = -6x-2-y :. dy / dx = - （6x + 2 + y）/ x对于RR中的所有x除零。 阅读更多 »

等式是y = 9x-10。要查找线的方程，您需要三个部分：斜率，点的x值和y值。第一步是找到衍生物。这将为我们提供有关切线斜率的重要信息。我们将使用链规则来找到导数。 y = x ^ 2（x-2）^ 3 y = 3x ^ 2（x-2）^ 2（1）y = 3x ^ 2（x-2）^ 2导数告诉我们什么是斜率原始功能看起来像。我们想知道这个特定点的斜率，x = 1。因此，我们只需将此值插入微分方程。 y = 3（1）^ 2（1-2）^ 2 y = 9（1）y = 9现在，我们有一个斜率和一个x值。为了确定另一个值，我们将x插入原始函数并求解y。 y = 1 ^ 2（1-2）^ 3 y = 1（-1）y = -1因此，我们的斜率为9，我们的点为（1，-1）。我们可以使用线的等式的公式来得到我们的答案。 y = mx + b m是斜率，b是垂直截距。我们可以插入我们所知道的价值并为我们不知道的价值求解。 -1 = 9（1）+ b -1 = 9 + b -10 = b最后，我们可以构造切线方程。 Y = 9X-10 阅读更多 »

（pi / 2,5）局部最大值和（（3pi）/ 2，-5）局部最小值（深蓝色）（sin（pi / 4））=颜色（深蓝色）（cos（pi / 4） ））=颜色（深蓝色）（1）f（x）= 5sinx + 5cosx颜色（白色）（f（x））= 5（颜色（深蓝色）（1）* sinx +颜色（深蓝色）（1）* cosx ）颜色（白色）（f（x））= 5（颜色（深蓝色）（cos（pi / 4））* sinx +颜色（深蓝色）（sin（pi / 4））* cosx）应用复合角度标识正弦函数sin（alpha + beta）= sin alpha * cos beta + cos alpha * sin beta color（black）（f（x））= 5 * sin（pi / 4 + x）令x为x坐标本功能的局部极值。 5 * cos（pi / 4 + x）= f'（x）= 0 pi / 4 + x = pi / 2 + k * pi其中k是整数。 x = -pi / 2 + k * pi x in {pi / 2，（3pi）/ 2} f（pi / 2）= 5 * sin（pi / 2）= 5，因此在（pi /）处有局部最大值2,5）f（pi / 2）= 5 * sin（（3pi）/ 2）= - 5，因此在（pi / 2，-5）处存在局部最小值 阅读更多 »

Q =（15 / 2,0）P =（3,9）“面积”= 117/4 Q是线的x截距2x + y = 15要找到这一点，设y = 0 2x = 15 x = 15/2所以Q =（15 / 2,0）P是曲线和直线之间的拦截点。 y = x ^ 2“”（1）2x + y = 15“”（2）Sub（1）into（2）2x + x ^ 2 = 15 x ^ 2 + 2x-15 = 0（x + 5）（ x-3）= 0 x = -5或x = 3从图中，P的x坐标为正，因此我们可以拒绝x = -5 x = 3 y = x ^ 2 = 3 ^ 2 = 9 ：。 P =（3,9）图{（2x + y-15）（x ^ 2-y）= 0 [-17.06,18.99，-1.69,16.33]}现在对于该区域要找到该区域的总面积，我们可以找到两个区域并将它们加在一起。这些将是y = x ^ 2从0到3的区域，以及从3到15/2的线下面积。 “曲线下面积”= int_0 ^ 3 x ^ 2dx = [1 / 3x ^ 3] _0 ^ 3 = 1 / 3xx3 ^ 3-0 = 9我们可以通过积分计算出该区域，但更容易治疗它像一个三角形。 “线下面积”= 1 / 2xx9xx（15 / 2-3）= 1 / 2xx9xx9 / 2 = 81/4：。“阴影区域总面积”= 81/4 + 9 = 117/4 阅读更多 »

20 / 3x ^（3/2）-1 / 2x ^ 2 + c int“”sqrt（10x-x ^ 2）“”dx完成正方形，int“”sqrt（25-（x-5）^ 2） “”dx替换u = x-5，int“”sqrt（25-u ^ 2）“”du替换u = 5sin（v）和du = 5cos（v）int“”5cos（v）sqrt（25-25sin ^ 2（v））“”dv Simplify，int“”（5cos（v））（5cos（v））“”dv Refine，int“”25cos ^ 2（v）“”dv取出常数，25int“ “cos ^ 2（v）”“dv应用双角公式，25int”“（1 + cos（2v））/ 2”“dv取出常数，25 / 2int”“1 + cos（2v）”“dv积分，25/2（v + 1 / 2sin（2v））“+ c替代v = arcsin（u / 5）和u = x-5 25/2（arcsin（（x-5）/ 5）+取消（1 / 2sin）（取消（2arcsin）（（x-5）/ 5）））“+ c简化，25/2（arcsin（（x-5）/ 5））+ 25/2（（x-5） ）/ 5）+ c精炼，25 / 2arcsin（（x-5）/ 5）+5/2（x-5）+ c，其中c是积分常数。忠达：D 阅读更多 »

该函数以y = f（x）= g（x）/（h（x））的形式，是使用商规则的理想候选者。商规则指出y相对于x的导数可以用下面的公式求解：商数规则：y'= f'（x）=（g'（x）h（x） - g（x）h' （x））/（h（x）^ 2）在这个问题中，我们可以将以下值赋给商规则中的变量：g（x）= tan（x）h（x）= x g'（x ）= sec ^ 2（x）h'（x）= 1如果我们将这些值插入商数规则，我们得到最终答案：y'=（sec ^ 2（x）* x - tan（x）* 1 ）/ x ^ 2 =（xsec ^ 2（x） - tan（x））/ x ^ 2 阅读更多 »

函数y = sec ^ 2（2x）可以被重写为y = sec（2x）^ 2或y = g（x）^ 2，这应该作为幂规则的良好候选者。幂规则：dy / dx = n * g（x）^（n-1）* d / dx（g（x））其中g（x）= sec（2x）并且在我们的示例中n = 2。将这些值插入功率规则得到dy / dx = 2 * sec（2x）^ 1 * d / dx（g（x））我们唯一的未知数仍为d / dx（g（x））。为了找到g（x）= sec（2x）的导数，我们需要使用链规则，因为g（x）的内部实际上是x的另一个函数。换句话说，g（x）= sec（h（x））。链规则：g（h（x））'= g'（h（x））* h'（x）其中g（x）= sec（h（x））和h（x）= 2x g'（ h（x））= sec（h（x））tan（h（x））h'（x）= 2让我们在链规则公式中使用所有这些值：d / dx（g（x））= d / dx（g（h（x）））= sec（2x）tan（x）* 2 = 2sec（2x）tan（x）现在我们最终可以将此结果插回到幂规则中。 dy / dx = 2 * sec（2x）^ 1 * d / dx（g（x））dy / dx = 2sec（2x）* 2sec（2x）tan（x）= 4sec ^ 2（2x）tan（2x） 阅读更多 »

通过使用对数和l'Hopital规则，lim_ {x到infty}（1 + a / x）^ {bx} = e ^ {ab}。通过使用替换t = a / x或等效x = a / t，（1 + a / x）^ {bx} =（1 + t）^ {{ab} / t}通过使用对数属性，= e ^ {ln [（1 + t）^ {{ab} / t}]} = e ^ {{ab} / t ln（1 + t）} = e ^ {ab {ln（1 + t）} / t}通过l'Hopital的规则，lim_ {t到0} {ln（1 + t）} / {t} = lim_ {t到0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1因此，lim_ { x到infty}（1 + a / x）^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t到0} {ln（1 + t）} / {t}} = e ^ {ab}（注意：t到0作为x到infty） 阅读更多 »

12,800cm3s这是一个经典的相关费率问题。相关费率背后的想法是，即使数字确实发生变化，您的几何模型也不会发生变化。例如，即使尺寸发生变化，这个形状也会保持为球形。一个地方的体积和它的半径之间的关系是V = 4 / 3pir ^ 3只要这个几何关系不随着球体的增长而变化，那么我们可以隐含地得出这种关系，并找到变化率之间的新关系。隐式微分是我们在公式中得出每个变量的地方，在这种情况下，我们推导出关于时间的公式。所以我们得到球的导数：V = 4 / 3pir ^ 3（dV）/（dt）= 4 / 3pi（3r ^ 2）（dr）/ dt（dV）/（dt）= 4pir ^ 2（dr ）/ dt我们实际上给了（dr）/（dt）。它是4（cm）/ s。我们感兴趣的是直径为80厘米的时刻，即半径为40厘米时。体积的增加率是（dV）/（dt），这是我们正在寻找的，所以：（dV）/（dt）= 4pir ^ 2（dr）/ dt（dV）/（dt）= 4pi（40cm）^ 2（4（cm）/ s）（dV）/（dt）= 4pi（1600cm ^ 2）（4（cm）/ s）（dV）/（dt）= 4pi（1600cm ^ 2） （4（cm）/ s）（dV）/（dt）= 12,800（cm ^ 3）/ s并且单位甚至可以正常工作，因为我们应该得到一个体积除以时间。希望这可以帮助。 阅读更多 »

通过乘以，H（x）=（x-sqrt {x}）（x + sqrt {x}）= x ^ 2-x By Power Rule，H'（x）= 2x-1。我希望这有用。 阅读更多 »

答案d / dx cot ^ 2（x）= -2cot（x）csc ^ 2（x）说明您可以使用链式规则来解决此问题。要做到这一点，你必须确定“外部”函数是什么以及外部函数中组成的“内部”函数是什么。在这种情况下，cot（x）是作为cot ^ 2（x）的一部分组成的“内部”函数。换句话说，让我们用u = cot（x）来表示u ^ 2 = cot ^ 2（x）。你注意到复合函数在这里是如何工作的吗？ u ^ 2的“外部”函数对u = cot（x）的内部函数进行平方。外部函数确定了内部函数发生了什么。不要让你迷惑，只是为了向你展示一个功能是如何组合另一个功能。你甚至不必使用它。一旦你理解了这一点，你就可以得出。链规则是：F'（x）= f'（g（x））（g'（x））或者，在单词中：外部函数的导数（内部函数单独留下！）乘以导数内在的功能。 1）外部函数的导数u ^ 2 = cot ^ 2（x）（内部函数单独留下）是：d / dx u ^ 2 = 2u（我现在离开你了但是你可以在u = cot（x）中如果你想在你做这些步骤的时候。记住这些只是步骤，问题的实际导数显示在底部）2）内部函数的导数：d / dx cot（x）= d / dx 1 / tan（x）= d / dx sin（x）/ cos（x）坚持！你必须在这里做一个商数规则，除非你已经记住了cot（x）的导数d / dx cos（x）/ sin（x）=（ - sin ^ 阅读更多 »

你使用部分积分的想法：int uv'dx = uv - intu'vdx intx cosxdx =设：u = xu'= 1 v'= cosx v = sinx然后：intx cosxdx = xsinx - int 1 * sinxdx = xsinx - （-cosx）= xsinx + cosx 阅读更多 »

这很简单。你必须使用ln（x）= e ^（ln（ln（x））的事实然后，你知道ln（x）^（1 / x）= e ^（ln（ln（x））/ x然后，有趣的部分发生了，可以通过两种方式解决 - 使用直觉和使用数学。让我们从直觉部分开始。 lim_（n-> infty）e ^（ln（ln（x））/ x = lim_（n-> infty）e ^（（“小于x的东西”）/ x）= e ^ 0 = 1让我们思考为什么会这样？由于e ^ x函数的连续性，我们可以移动限制：lim_（n-> infty）e ^（ln（ln（x））/ x = e ^（lim_（n-> infty）（ln （ln（x））/ x））为了评估这个限制lim_（n-> infty）（ln（ln（x））/ x），我们可以使用de l'医院规则，其中规定：lim_（n-> infty） ）（f（x）/ g（x））= lim_（n-> infty）（（f'（x））/（g'（x）））因此，当我们计算导数时，我们得到：lim_（ n-> infty）（ln（ln（x））/ x）= lim_（n-> infty）（1 /（xln（x）））因为衍生物是1 /（xln（x）），对于分子，1为这个限制很容易计算，因为它是1 / infty类型的限制为零。因此，你看到lim_（n-> infty）e ^（ln（ln（x）） 阅读更多 »

答案是e ^ 2。理由并不那么简单。首先，你必须使用技巧：a = e ^ ln（a）。因此，（1 + 2x）^（1 / sinx）= e ^ u，其中u = ln（（1 + 2x）^（1 / sinx））= ln（1 + 2x）/ sinx因此，如e ^ x是连续函数，我们可以移动限制：lim_（x-> 0）e ^ u = e ^（lim_（x-> 0）u）让我们计算u的极限，因为x接近0.没有任何定理，计算将是硬。因此，我们使用de l'Hospital定理，因为限制是0/0型。 lim_（x-> 0）f（x）/ g（x）= lim_（x-> 0）（（f'（x））/（g'（x）））因此，lim_（x-> 0） ln（1 + 2x）/ sinx = 2 /（2x + 1）/ cos（x）= 2 /（（2x + 1）cosx）= 2然后，如果我们返回到原始极限e ^（lim_（x） - > 0）u）并插入2，我们得到e ^ 2的结果， 阅读更多 »

切线水平的点是（-2，-12）。为了找到切线水平的点，我们必须找到函数的斜率为0的位置，因为水平线的斜率为0. d / dxy = d / dx（16x ^ -1 - x ^ 2）d / dxy = -16x ^ -2 - 2x那是你的衍生物。现在将其设置为0并求解x以找到切线与给定函数水平的x值。 0 = -16x ^ -2 - 2x 2x = -16 / x ^ 2 2x ^ 3 = -16 x ^ 3 = -8 x = -2我们现在知道当x = -2时切线是水平的。现在插入-2为原始函数中的x，找到我们正在寻找的点的y值。 y = 16（-2）^ - 1 - （-2）^ 2 = -8 - 4 = -12切线水平的点是（-2，-12）。您可以通过绘制函数图形并检查该点的切线是否为水平来确认：graph {（16x ^（ - 1）） - （x ^ 2）[ - 32.13,23，-21.36,6.24]} 阅读更多 »

Y = -1 /（e ^（x）e ^ y） - 1 /（3e ^ ye ^（ - 3x））+ C / e ^ y + 1这是一个可分的微分方程，它只是意味着可以在等式的两侧对x项和y项进行分组。所以，这就是我们首先要做的事情：（e ^ x）y dy / dx = e ^（ - y）+ e ^（ - 2x）* e ^（ - y）=>（e ^ x）dy / dx = e ^（ - y）/ y（1 + e ^（ - 2x））=> e ^ x /（1 + e ^（ - 2x））dy / dx = e ^（ - y）/ y现在，我们希望dy在y的侧面，而dx在x的侧面。我们需要做一些重新安排：（1 + e ^（ - 2x））/ e ^ x dx = y / e ^（ - y）dy现在，我们整合两面：int（（1+ e ^（ - 2x））/ e ^ x）dx = int y / e ^（ - y）dy让我们依次做每个积分：int（（1 + e ^（ - 2x））/ e ^ x）dx首先，让我们通过加/减规则将它分成2个单独的积分：=> int（1 / e ^ x）dx + int（e ^（ - 2x））/ e ^ xdx这些看起来很烦人。但是，我们可以给它们一些改造，使它们看起来更好（并且更容易解决）：=> int（e ^（ - x））dx + int（e ^（ - 3x））dx这两个现在是简单的u替换积分。如果你分别设置u = 阅读更多 »

解决了。 f在RR中是连续的，因此[-1,1]为subeRR。 f（1）f（-1）<0根据Bolzano定理（推广）EE x_0in（-1,1）：f（x_0）= 0假设| c |> = 1 <=> c> = 1或c < = -1如果c> = 1则f（x）！= 0如果xin（-oo，c）uu（c，+ oo）但是，f（x_0）= 0且x_0in（-1,1）=> - 1 <x_0 <1 <= c => x_0in（-oo，c）矛盾！如果c <= - 1则f（x）！= 0如果xin（-oo，c）uu（c，+ oo）但是，f（x_0）= 0且x_0in（-1,1）=> c <= -1 <x_0 <1 => x_0in（c，+ oo）矛盾！因此，| c | <1 阅读更多 »

符号/矛盾和单调f在RR中是可微的，并且属性是真的AAxinRR所以通过区分给定属性中的两个部分，我们得到f'（f（x））f'（x）+ f'（x）= 2（1 ）如果EEx_0inRR：f'（x_0）= 0那么对于x = x_0 in（1）我们得到f'（f（x_0））cancel（f'（x_0））^ 0 + cancel（f'（x_0））^ 0 = 2 <=> 0 = 2 - >不可能因此，f'（x）！= 0 AAxinRR f'在RR f'（x）中是连续的！= 0 AAxinRR - > {（f'（x）> 0“ ，“），（f'（x）<0”，“）：} xinRR如果f'（x）<0则f将严格减小但是我们有0 <1 <=> ^（fdarr）<=> f （0）> f（1）<=> 0> 1 - >不可能因此，f'（x）> 0，AAxinRR所以f在RR中严格增加 阅读更多 »

问题应该是“显示f是一个常数函数”。使用中间值定理。假设f是具有域RR的函数，并且f在RR上是连续的。我们将证明f的图像（f的范围）包括一些无理数。如果f不是常数，则在RR中有一个r，其中f（r）= s！= 2013但是现在f在端点r和2004的闭合区间内是连续的，因此f必须达到s和2013之间的每个值。在s和2013之间是无理数，因此f的图像包括一些无理数。 阅读更多 »

看解释我们想要显示int_0 ^ 1sin（x）/ sqrt（x ^ 2 + 1）dx <sqrt（2）-1这是一个相当“丑陋”的积分，所以我们的方法不是解决这个积分，而是将它与“更好”的积分进行比较我们现在对于所有正实数颜色（红色）（sin（x）<= x）因此，对于所有正实数，积分的值也将更大，如果我们替换x = sin（x），所以如果我们可以显示int_0 ^ 1x / sqrt（x ^ 2 + 1）dx <sqrt（2）-1那么我们的第一个语句也必须为true新的积分是一个简单的替换问题int_0 ^ 1x / sqrt（x ^ 2 + 1）= [sqrt（x ^ 2 + 1）] _ 0 ^ 1 = sqrt（2）-1最后一步是注意sin（x）= x => x = 0因此我们可以得出结论int_0 ^ 1sin（x）/ sqrt（x ^ 2 + 1）dx <sqrt（2）-1 阅读更多 »

见下文。解决了它。 lim_（xto + oo）f（x）inRR假设lim_（xto + oo）f（x）=λ然后lim_（xto + oo）f（x）= lim_（xto + oo）（e ^ xf（x）） / e ^ x我们有（（+ -oo）/（+ oo））和f在RR中是可微分的，因此应用规则De L'Hospital：lim_（xto + oo）（e ^ xf（x））/ e ^ x = lim_（xto + oo）（e ^ xf（x）+ e ^ xf'（x））/ e ^ x = lim_（xto + oo）（（e ^ xf（x））/ e ^ x +（e ^ xf'（x））/ e ^ x）= lim_（xto + oo）[f（x）+ f'（x）] =λh（x）= f（x）+ f'（x）with lim_（ xto + oo）h（x）=λ因此，f'（x）= h（x）-f（x）因此，lim_（xto + oo）f'（x）= lim_（xto + oo）[h（ x）-f（x）] =λ-λ= 0因此，lim_（xto + oo）f'（x）= 0 阅读更多 »

Int（-3x + 5）/（x ^ 2-2x + 5）* dx = arctan（（x-1）/ 2）-3 / 2ln（x ^ 2-2x + 5）int（-3x + 5） /（x ^ 2-2x + 5）* dx = -int（3x-5）/（x ^ 2-2x + 5）* dx = -int（3x-3-2）/（x ^ 2-2x + 5）* dx = -int（3x-3）/（x ^ 2-2x + 5）* dx + int 2 /（x ^ 2-2x + 5）* dx = int 2 /（（x-1）^ 2 + 4）* dx-3 / 2int（2x-2）/（x ^ 2-2x + 5）= arctan（（x-1）/ 2）-3 / 2ln（x ^ 2-2x + 5） 阅读更多 »

我们有参数方程{（x = t ^ 2 + t-1），（y = 2t ^ 2-t + 2）：}。为了表明（-1,5）位于上面定义的曲线上，我们必须证明存在某个t_A，使得在t = t_A，x = -1，y = 5。因此，{（ - 1 = t_A ^ 2 + t_A-1），（5 = 2t_A ^ 2-t_A + 2）：}。求解顶部方程表明t_A = 0 “或” -1。求解底部显示t_A = 3/2 “或” -1。然后，在t = -1时，x = -1，y = 5;因此（-1,5）位于曲线上。为了找到A =（ - 1,5）处的斜率，我们首先找到（“d”y）/（“d”x）。通过链规则（“d”y）/（“d”x）=（“d”y）/（“d”t）*（“d”t）/（“d”x）=（“d” Y）/（ “d” 吨） - :( “d” X）/（ “d” 吨）。我们可以很容易地求解（“d”y）/（“d”t）= 4t-1和（“d”x）/（“d”t）= 2t + 1。因此，（“d”y）/（“d”x）=（4t-1）/（2t + 1）。在点A =（ - 1,5）处，相应的t值是t_A = -1。因此，[（“d”y）/（“d”x）] _（t = -1）=（（4 * -1）-1）/（（2 * -1）+1）= 5。要找到与A =（ - 1,5）相切的直线，请调用直线y-y_0 = m（x-x_0）的点斜率形式。我们知道y_0 = 5，x_0 = -1，m = 5。将这些值代入表示y-5 阅读更多 »

（2）/（sqrt（e ^（4x）-1）如同y = sec ^ -1x，导数等于1 /（xsqrt（x ^ 2-1）），因此使用此公式并且如果y = e ^（2x）那么导数是2e ^（2x）所以通过在公式中使用这个关系我们得到所需的答案。因为e ^（2x）是除x之外的函数，这就是为什么我们需要e ^的进一步导数（2x ） 阅读更多 »

不存在先插入0然后你得到（4 + sqrt（2））/ 7然后测试左边和右边0的限制。在右边你得到一个接近1 /（2-sqrt（ 2））在左侧，你得到指数的负数，这意味着该值不存在。函数左侧和右侧的值必须彼此相等，并且必须存在才能使限制存在。 阅读更多 »

Y'=（10（x ^ 2 + 2）+ 14x（x + 7））（x + 7）^ 9（x ^ 2 + 2）^ 6 =（24x ^ 2 + 98x +20）（x + 7） ）^ 9（x ^ 2 + 2）^ 6 y =（x + 7）^ 10（x ^ 2 + 2）^ 7具有以下形式：y = U（x）V（x）此形式的等式是这样的：y'= U'（x）V（x）+ U（x）V'（x）U（x）和V（x）都是以下形式：U（x）= g（f （x））这种形式的方程式区别如下：U'（x）= f'（x）g'（f（x））rarr U'（x）=（d（x + 7））/（ dx）（d（（x + 7）^ 10））/（d（x + 7））= 1 * 10（x + 7）^ 9 = 10（x + 7）^ 9 rarr V'（x）= （d（X ^ 2 + 2））/（DX）（d（（X ^ 2 + 2）^ 7））/（d（X ^ 2 + 2））= 2×* 7（X ^ 2 + 2） ^ 6 = 14x（x ^ 2 + 2）^ 6因此：y'= 10（x + 7）^ 9（x ^ 2 + 2）^ 7 + 14x（x + 7）^ 10（x ^ 2 + 2 ）^ 6 =（10（x ^ 2 + 2）+ 14x（x + 7））（x + 7）^ 9（x ^ 2 + 2）^ 6 =（24x ^ 2 + 98x +20）（x + 阅读更多 »

在x = -1时，f（x）的瞬时变化率为空。计算函数的导数时，可以获得表示第一个函数曲线斜率变化的其他函数。曲线的斜率是给定点处曲线函数的瞬时变化率。因此，如果要查找给定点处函数的瞬时变化率，则应在该点计算此函数的导数。在你的情况下：f（x）= x ^ 2-2 / x + 4在x = -1时的rarr变化率？计算导数：f'（x）=（d（x ^ 2））/（dx） - （d（2 / x））/（dx）+（d4）/（dx）= 2x - （ - 2 / x ^ 2）+ 0 = 2x + 2 / x ^ 2现在，您只需要将f'（x）中的x替换为给定值，x = -1 f'（ - 1）= 2（-1）+ 2 /（ - 1）^ 2 = -2 + 2 = 0导数为零，因此瞬时变化率为零，并且该函数在该特定点不增加或减少。 阅读更多 »

-cotx + cscx +“C”int1 /（1 + cosx）dx = int（1-cosx）/（（1 + cosx）（1-cosx））dx = int（1-cosx）/（1-cos ^ 2x ）dx = int（1-cosx）/ sin ^ 2xdx = int 1 / sin ^ 2xdx-intcosx / sin ^ 2xdx = int csc ^ 2xdx-intcotxcscxdx = -cotx + cscx +“C” 阅读更多 »

Dy / dx = secx ^ 3（（cos2x）/ sqrt（sin2x）+ 3x ^ 2tanx ^ 3sqrt（sin2x））我们有y = uv其中u和v都是x的函数。 dy / dx = uv'+ vu'u = secx ^ 3 u'= 3x ^ 2secx ^ 3tanx ^ 3 v =（sin2x）^（1/2）v'=（sin2x）^（ - 1/2）/ 2 * d / dx [sin2x] =（sin2x）^（ - 1/2）/ 2 * 2cos2x =（cos2x）/ sqrt（sin2x）dy / dx =（secx ^ 3cos2x）/ sqrt（sin2x）+ 3x ^ 2secx ^ 3tanx ^ 3sqrt（sin2x）dy / dx = secx ^ 3（（cos2x）/ sqrt（sin2x）+ 3x ^ 2tanx ^ 3sqrt（sin2x）） 阅读更多 »

Dz = 2xdx-2 / y ^ 3dy z（x; y）= 1 / y ^ 2 + x ^ 2-1 rarr dz =（delz）/（delx）dx +（delz）/（dely）dy（delz）/假设y是常数，则将（delx）计算为z（x; y）的导数x。 （delz）/（delx）= cancel（（d （1 / y ^ 2））/ dx）+ dx ^ 2 / dx-cancel（（d （1））/ dx）= 2x（delz）/同样的事情/ （dely）:( delz）/（dely）=（d（1 / y ^ 2））/ dy + cancel（dx ^ 2 / dy）-cancel（（d （1））/ dy）= - 2 / y ^ 3因此：dz = 2xdx-2 / y ^ 3dy 阅读更多 »

F'（x）= - 1 /（2sqrt（9-x））任务的形式为f（x）= F（g（x））= F（u）我们必须使用Chain规则。链规则：f'（x）= F'（u）* u'我们有F（u）= sqrt（9-x）= sqrt（u）和u = 9-x现在我们必须推导它们：F' （u）= u ^（1/2）'= 1 / 2u ^（ - 1/2）尽可能将表达式写成“漂亮”，得到F'（u）= 1/2 * 1 /（u ^ （1/2））= 1/2 * 1 / sqrt（u）我们必须计算你'u'=（9-x）'= - 1现在唯一的补充就是把我们拥有的所有东西都填入公式f'（x）= F'（u）* u'= 1/2 * 1 / sqrt（u）*（ - 1）= - 1/2 * 1 / sqrt（9-x） 阅读更多 »

F'（x）=（sinx-xcosx）/（sin ^ 2x）你有这样的函数y = u / v然后你必须使用这个方程y'=（u'* vu * v'）/ v ^ 2 f（x）= x /（sinx）f'（x）=（x'* sinx-x * sinx'）/（sinx）^ 2 f'（x）=（1 * sinx-x * cosx）/ （sinx的）^ 2 =（sinx的-xcosx）/（罪^ 2×） 阅读更多 »

Ln（（1 + x）/（1 - 2x））+ C令3 /（（1 + x）*（1 - 2x））=（A /（1 + x）+ B /（1 - 2x） ）扩展右侧，我们得到（A *（1 - 2x）+ B *（1 + x））/（（1 + x）*（1 - 2x）等于，我们得到（A *（1 - 2x） ）+ B *（1 + x））/（（1 + x）*（1 - 2x）= 3 /（（1 + x）*（1 - 2x））即A *（1 - 2x）+ B * （1 + x）= 3或A - 2Ax + B + Bx = 3或（A + B）+ x *（ - 2A + B）= 3将x的系数等于0并等于常数，得到A + B = 3和-2A + B = 0求解A和B，得到A = 1，B = 2代入积分，得到int 3 /（（1 + x）*（1 - 2x））dx = int （1 /（1 + x）+ 2 /（1 - 2x））dx = int（1 /（1 + x））dx + int（2 /（1 - 2x））dx = ln（1 + x）+ 2 * ln（1 - 2x）*（ - 1/2）= ln（1 + x） - ln（1 - 2x）= ln（（1 + x）/（1 - 2x））+ C 阅读更多 »

Y = 24x-40给定x = f（t）和y = g（t），我们可以将正切方程推广为y =（g'（t））/（f'（t））x +（g（t） -f（t）（（g'（t））/（f'（t））））dy / dx = dy / dt * dt / dx =（2t-2）*（2sqrtt）= 4（t-1） ）sqrtt t = 4给出：dy / dx = 4（4-1）sqrt4 = 24 f（4）= sqrt4 = 2 g（4）= 4 ^ 2-2（4）= 8 8 = 2（24） + cc = 8-48 = -40 y = 24x-40 阅读更多 »

1 / 2arctan（x-1）+（x-1）/（2（x ^ 2-2x + 2））+ c所以这里我们有积分：int 1 /（x ^ 2-2x + 2）^ 2 dx并且二次倒数的形式似乎表明三角替换在这里起作用。所以首先完成正方形得到：x ^ 2-2x + 2 =（x-1）^ 2 +1然后应用替换u = x-1去除线性：（du）/ dx = 1 rArr du = dx所以我们可以安全地改变变量而没有不必要的副作用：int 1 /（x ^ 2-2x + 2）^ 2 dx = int 1 /（（x-1）^ 2 +1）^ 2 dx - = int 1 /（u ^ 2 + 1）^ 2 du现在，这是执行三角替换的理想形式; u ^ 2 + 1表明毕达哥拉斯身份1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta，因此我们应用替换u = tantheta来简化分母：（du）/（d theta）= sec ^ 2 theta rArr du = sec ^ 2 theta d theta所以积分变为：int 1 /（sec ^ 2 theta）^ 2 * sec ^ 2 theta d theta = int 1 /（sec ^ 2 theta）d theta - = int cos ^ 2 theta d theta现在，我们使用cos的双角公式来使这个反衍生物更易于管理：cos（2theta）= 2cos ^ 2 theta - 1 hAr 阅读更多 »

H'（x）= - [3（x + 1）] /（（x-3）^（3/2））商规则;给定f（x）！= 0如果h（x）= f（x）/ g（x）;然后h'（x）= [g（x）* f'（x）-f（x）* g'（x）] /（g（x））^ 2给定h（x）=（x ^ 2 + x + 3）/ root（）（x-3）let f（x）= x ^ 2 + x + 3 color（red）（f'（x）= 2x + 1）let g（x）= root（） （x-3）=（x-3）^（1/2）颜色（蓝色）（g'（x）= 1/2（x-3）^（1 / 2-1）= 1/2（x -3）^（ - 1/2）h'（x）= [（x-3）^（1/2）*颜色（红色）（（2x + 1）） - 颜色（蓝色）（1/2（ x-3）^（ - 1/2））（x ^ 2 + x + 3）] /（root（）[（x-3）] ^ 2分解最大公因子1/2（x-3） ^（ - 1/2）h'（x）= 1/2（x-3）^（ - 1/2）[（x-3）（2x + 1） - （x ^ 2 + x + 3）] /（x-3）=> h'（x）= 1/2 [（x ^ 2 + x-6x-3-x ^ 2 -x-3）] /（x-3）^（3/2） h'（x）=（ - 6x-6）/（2（x-3）^（3/2））h'（x）= - [6（x + 1）] /（2（ 阅读更多 »

Arclength L的公式是L = int_a ^ b sqrt（（dx / dt）^ 2 +（dy / dt）^ 2）dt你的参数方程是x = 2t ^ 2-t和y = t ^ 4-t ，所以dx / dt = 4t-1，dy / dt = 4t ^ 3-1。间隔为[a，b] = [-4,1]，这使得L = int_-4 ^ 1sqrt（（4t-1）^ 2 +（4t ^ 3-1）^ 2）dt里面，（ 4 t - 1）^ 2 +（4 t ^ 3 - 1）^ 2，简化为16 t ^ 6-8 t ^ 3 + 16 t ^ 2-8 t + 2，但这不会产生不定积分更容易。你的数值积分大约是266.536。 阅读更多 »

Y'=（y ^ 2 + 2x ^ 3y-15x ^ 4y）/（5x ^ 5-x ^ 4 + 2xy）5x ^ 3y-x ^ 2y + y ^ 2 / x = -3区分双方到xd / dx（5x ^ 3y）-d / dx（-x ^ 2y）+ d / dx（y ^ 2 / x）= d / dx（-3）使用前两个产品规则和第三个部分的商规则15x ^ 2y + 5x ^ 3y'-2xy-x ^ 2y'+（2yy'xy ^ 2）/ x ^ 2 = 0（15x ^ 4y + 5x ^ 5y'-2x ^ 3y-x ^ 4y'+ 2yy' xy ^ 2）/ x ^ 2 = 0有理表达式为0，仅当分子为0时（15x ^ 4y + 5x ^ 5y'-2x ^ 3y-x ^ 4y'+ 2yy'xy ^ 2）= 0求解y'（5x ^ 5-x ^ 4 + 2xy）y'= y ^ 2 + 2x ^ 3y-15x ^ 4y y'=（y ^ 2 + 2x ^ 3y-15x ^ 4y）/（5x ^ 5 -x ^ 4 + 2XY） 阅读更多 »

（（2sec ^ 2（e ^（（ln（x）-2）^ 2））e ^（（ln（x）-2）^ 2）（lnx-2））/ x）d / dx（tan（ E 1（（LN（x）的-2）^ 2）））=秒^ 2（E ^（（LN（x）的-2）^ 2））* d / DX（（E ^（（LN（x）的-2）^ 2））= sec ^ 2（e ^（（ln（x）-2）^ 2））e ^（（（ln（x）-2））^ 2）* d / dx（ln（ x）-2）^ 2 = sec ^ 2（e ^（（ln（x）-2）^ 2））e ^（（（ln（x）-2））^ 2）2（lnx-2）* d / dx（lnx-2）=（sec ^ 2（e ^（（ln（x）-2）^ 2））e ^（（（ln（x）-2））^ 2）2（lnx-2 ）* 1 / x）=（（2sec ^ 2（e ^（（ln（x）-2）^ 2））e ^（（ln（x）-2）^ 2）（lnx-2））/ x ） 阅读更多 »

F'（x）= 69x ^ 2（3x ^ 5 -4x ^ 3 + 2）^ 22（5x ^ 2 -4）记住：链规则：“导数”f（g（x））= f'（x ）g（x）* g'（x）幂和链规则的导数：f（x）=（g（x））^ n = f'（x）= n（g（x）^（n-1） ）* g'（x）给定f（x）（3x ^ 5 -4x ^ 3 + 2）^ 23 f'（x）= 23（3x ^ 5-4x ^ 3 + 2）^（23-1）*颜色（红色）（d /（dx）（3x ^ 5 -4x ^ 3 + 2）= 23（3x ^ 5 -4x ^ 3 + 2）^ 22颜色（红色）（（15x ^ 4 -12x ^ 2 + 0）= 23（3x ^ 5 -4x ^ 3 + 2）^ 22color（红色）（15x ^ 4 -12x ^ 2）或通过因子分解最大公因子颜色（蓝色）（3x ^ 2）从15x ^ 4 -12x ^ 2 f'（x）= 23 *颜色（蓝色）（3x ^ 2）（3x ^ 5 -4x ^ 3 + 2）^ 22（5x ^ 2 -4）简化：f'（x）= 69x ^ 2（3x ^ 5 -4x ^ 3 + 2）^ 22（5x ^ 2 -4） 阅读更多 »

= 1/16（x-sin（4x）/ 4 + sin ^ 3（2x）/ 3）int（cos ^ 4（x）sin ^ 2（x））dx = int（（1 + cos（2x）） / 2）^ 2（（1-cos（2x））/ 2）dx使用公式cos ^ 2（x）=（1 + cos（2x））/ 2 sin ^ 2（2x）=（1-cos（2x） ））/ 2 int（（1 + cos（2x））/ 2）^ 2（（1-cos（2x））/ 2）dx = int（（1 + cos ^ 2（2x）+ 2cos（2x）） （1-cos（2x）））/ 8dx = int（（1 + cos ^ 2（2x）+ 2cos（2x）-cos（2x）-cos ^ 3（2x）-2cos ^ 2（2x））/ 8 ）dx int（1 + cos（2x）-cos ^ 2（2x）-cos ^ 3（2x））/ 8dx 1/8（int（dx）+ int cos（2x）dx-int（cos ^ 2（2x） ）dx-int（cos ^ 3（dx）int cos ^ 2（2x）dx = int（1 + cos（4x））/ 2dx = x / 2 + sin（4x）/ 8 intcos ^ 3（2x）dx = int（1-sin ^ 2（2x））cos（2x）dx = int cos（2x）-sin ^ 2（2x）cos（2x）dx = sin（2x）/ 2-sin ^ 3（2x）/ 6 1/8（int（d 阅读更多 »

答案是1.理性函数有一个有用的特性：当x rarr prop时，唯一重要的术语是最高度的术语（当你想到它时这是完全有道理的）。因此，你可以猜测，2和-1没有比较toprop所以你的理性函数将等于x ^ 2 / x ^ 2，它等于1。 阅读更多 »

F'（x）=（（2x-2）（x + 3）^ 2 - 2（x ^ 2 - 2x）（x + 3））/（x + 3）^ 4 =（df）/ dx你知道吗由公式（u'v - uv'）/ v ^ 2给出的两个函数u和vis的商的导数。这里，u（x）= x ^ 2 - 2x和v（x）=（x + 3）^ 2所以u'（x）= 2x-2和v'（x）= 2（x + 3）由权力规则。因此结果。 阅读更多 »

（-4,5）的极坐标形式以sqrt（41）为模，arccos（-4 / sqrt（41））为参数。你可以使用毕达哥拉斯定理或复数。我将使用复杂的数字，因为它更容易写下来并解释，因为我一直这样做，英语不是我的母语。通过将RR ^ 2识别为复数计划CC，（ - 4,5）是复数-4 + 5i。其模块为abs（-4 + 5i）= sqrt（5 ^ 2 +（ - 4）^ 2）= sqrt（41）。我们现在需要这个复数的论证。我们知道它的模块，所以我们可以写出-4 + 5i = sqrt41（-4 / sqrt41 + i5 / sqrt41）。我们知道，当我们通过模块进行分解时，我们得到一个实数的余弦和正弦。这意味着RR中的EE alpha使得cos（alpha）= -4 / sqrt41并且sin（alpha）= 5 / sqrt（41）。所以alpha = arccos（-4 / sqrt（41））是（-4,5）的自变量。 阅读更多 »

G'（x）= 2x（4x ^ 6 + 5）+ 24x ^ 5（x ^ 2 - 1）g是两个函数u和v的乘积u（x）= x ^ 2 - 1&v（x ）= 4x ^ 6 + 5因此g的导数是u'v + uv'，其中u'（x）= 2x&v'（x）= 24x ^ 5。 阅读更多 »

点（0,0）。为了找到f的拐点，你必须研究f'的变化，为此你需要导出f两次。 f'（x）= cos ^ 2（x）+ x（-sin（2x）+ 2sin（x）+ xcos（x））f''（x）= -2sin（2x）+ 2sin（x）+ x （-2cos（2x）+ 4cos（x） - xsin（x））f的拐点是当f''为零并从正变为负时的点。 x = 0似乎是这样一个点，因为f''（pi / 2）> 0和f''（ - pi / 2）<0 阅读更多 »

1023/5 - （225 - sqrt3）/ 4 + arctan（sqrt3）这个解释有点长，但我找不到更快的方法...积分是一个线性应用程序，所以你已经可以拆分了积分符号下的函数。 int_1 ^ 4（x ^ 4 - x ^ 3 +（sqrt（x-1）/ x ^ 2））dx = int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt（x-1）/ x ^ 2dx 2个第一项是多项式函数，因此它们易于集成。我告诉你如何用x ^ 4做到这一点。 intx ^ 4dx = x ^ 5/5 so int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5。对x ^ 3执行完全相同的操作，结果为255/4。查找intsqrt（x-1）/ x ^ 2dx有点长且复杂。首先，您将分数乘以sqrt（x-1）/ sqrt（x-1），然后更改变量：让我们说u = sqrt（x-1）。所以du = 1 /（2sqrt（x-1））dx，你现在必须找到2intu ^ 2 /（u ^ 2 + 1）^ 2du。为了找到它，需要有理函数x ^ 2 /（x ^ 2 + 1）^ 2的部分分数分解。 x ^ 2 /（x ^ 2 + 1）^ 2 =（ax + b）/（x ^ 2 +1）+（cx + d）/（x ^ 2 + 1）^ 2与a，b，c，在RR中。在演算之后，我们发现x ^ 2 /（x ^ 2 阅读更多 »

Intln（x）/ xdx = ln（x）^ 2/4按部分集成在这里是一个坏主意，你将不断在某处拥有intln（x）/ xdx。最好在这里更改变量，因为我们知道ln（x）的导数是1 / x。我们说u（x）= ln（x），它意味着du = 1 / xdx。我们现在必须整合intudu。 intudu = u ^ 2/2所以intln（x）/ xdx = ln（x）^ 2/2 阅读更多 »

您需要将（x-9）/（（x + 3）（x-6）（x + 4））分解为部分分数。你正在寻找RR中的a，b，c，使得（x-9）/（（x + 3）（x-6）（x + 4））= a /（x + 3）+ b /（x -6）+ c /（x + 4）。我将告诉你如何找到一个，因为b和c将以完全相同的方式被发现。你将两边乘以x + 3，这将使它从左侧的分母中消失，并使其出现在b和c旁边。 （x-9）/（（x + 3）（x-6）（x + 4））= a /（x + 3）+ b /（x-6）+ c /（x + 4）iff（x -9）/（（x-6）（x + 4））= a +（b（x + 3））/（x-6）+（c（x + 3））/（x + 4）。你在x-3评估这个，以使b和c消失并找到一个。 x = -3 iff 12/9 = 4/3 = a。你对b和c做同样的事情，除了你用它们各自的分母乘以两边，你会发现b = -1/30和c = -13/10。这意味着我们现在必须整合4 / 3intdx /（x + 3） - 1 / 30intdx /（x-6） - 13 / 10intdx /（x + 4）= 4 / 3lnabs（x + 3）-1 / 30lnabs（ x-6） - 13 / 10lnabs（x + 4） 阅读更多 »

F（x）= sum_（k = 1）^ oo（-1）^（k）（xsin（x-1）-2kcos（x-1））/（（2k！））（x-1）^（ 2k）+ sum_（k = 1）^ oo（-1）^ k（（2k + 1）sin（x-1）+ xcos（x-1））/（（2k + 1）！）（x-1 ）^（2k + 1）a处函数f的泰勒展开式为sum_（i = 1）^（oo）f ^（（n））（a）/（n！）（xa）^ n = f（ a）+ f'（a）（xa）+ f ^（（2））（a）/（2）（xa）^ 2 + ....请记住它是一个幂级数，因此它不一定收敛f或甚至收敛于x = a处的其他地方。如果我们想要尝试编写其泰勒级数的真实公式，我们首先需要f的导数。在演算和感应证明之后，我们可以说NN中的AAk：f ^（（2k））（x）=（ - 1）^（k + 1）2kcos（x-1）+（ - 1）^（k ）xsin（x-1）和f ^（（2k + 1））（x）=（ - 1）^ k（（2k + 1）sin（x-1）+ xcos（x-1））。因此经过一些粗略和小的简化后，似乎f的泰勒级数是sum_（k = 1）^ oo（-1）^（k）（xsin（x-1）-2kcos（x-1））/（ （2k！））（x-1）^（2k）+ sum_（k = 1）^ oo（-1）^ k（（2k + 1）sin（x-1）+ xcos（x-1））/ （第（2k + 1）！）（X-1）^（2K + 阅读更多 »

你需要它的衍生物才能知道这一点。如果我们想知道关于f的一切，我们需要f'。这里，f'（x）=（x-x + 1）/ x ^ 2 = 1 / x ^ 2。这个函数在RR上总是严格为正，没有0所以你的函数严格地增加了] -oo，0 [并严格地增长] 0，+ oo [。它确实有一个最小值] -oo，0 [，它是1（即使它没有达到这个值）并且它的最大值为0，+ oo [，它也是1。 阅读更多 »

废话。是完全废话所以忘记我说了什么。 阅读更多 »

1极坐标的距离公式为d = sqrt（r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2-2r_1r_2Cos（theta_1-theta_2）其中d是两点之间的距离，r_1和theta_1是一个点的极坐标，r_2和theta_2是另一个点的极坐标。令（r_1，theta_1）表示（4，pi），（r_2，theta_2）表示（5，pi）。暗示d = sqrt（4 ^ 2 + 5 ^ 2-2 * 4 * 5Cos（pi-pi）意味着d = sqrt（16 + 25-40Cos（0）意味着d = sqrt（41-40 * 1）= sqrt（41-40）= sqrt（1）= 1意味着d = 1因此给定点之间的距离是1。 阅读更多 »

F'（x）= -5x ^ 4 + 24x ^ 2 -6x-15乘积规则的导数给定“”“h = f * gh'= fg'+ f'g原始问题f（x）=（5- x ^ 2）（x ^ 3-3x + 3）f'（x）=（5-x ^ 2）d / dx（x ^ 3-3x + 3）+ d / dx（5-x ^ 2）（ x ^ 3-3x + 3）=>（5-x ^ 2）（3x ^ 2-3）+（ - 2x）（x ^ 3-3x + 3）现在我们可以乘以和组合相似的项=>（15x ^ 2 -15 -3x ^ 4 + 3x ^ 2）+（ - 2 ^ ^ 4 + 6x ^ 2 -6x）=> -5x ^ 4 + 24x ^ 2 -6x-15 阅读更多 »

F'（x）= -ln（x-2）/（x-2）^ 2和f''（x）=（1-2ln（x-2））/（x-2）^ 3这是一个是的，所以我们在这里应用商规则来得到这个函数的一阶导数。 f'（x）=（1 /（x-2）*（x-2） - ln（x-2））* 1 /（x-2）^ 2 = -ln（x-2）/（x- 2）^ 2。我们再做一次，以获得函数的二阶导数。 f''（x）=（1 /（x-2）*（x-2）^ 2 - ln（x-2）（2（x-2）））* 1 /（x-2）^ 4 = （（x-2） - 2ln（x-2）（x-2））/（x-2）^ 4 =（1-2ln（x-2））/（x-2）^ 3 阅读更多 »

F'（x）=（（2x-6）sqrt（x-3） - （x ^ 2 - 6x + 9）（1 /（2sqrt（x-3））））/（x-3）设f（ x）=（x ^ 2-6x + 9）/ sqrt（x-3）。商规则告诉我们（u（x））/（v（x））的导数是（u'（x）v（x） - u（x）v'（x））/（v（x） ^ 2）。这里，设u（x）= x ^ 2 - 6x + 9和v（x）= sqrt（x-3）。所以你'（x）= 2x - 6和v'（x）= 1 /（2sqrt（x-3））。我们现在应用商规则。 f'（x）=（（2x-6）sqrt（x-3） - （x ^ 2 - 6x + 9）（1 /（2sqrt（x-3））））/（x-3） 阅读更多 »

Dy / dx = -2sinxcosx（sin ^ 2x-cos ^ 2x）使用乘积规则：如果y = f（x）g（x），则dy / dx = f'（x）g（x）+ g'（ x）f（x）因此，f（x）= sin ^ 2x g（x）= cos ^ 2x使用链规则找到两个导数：回想一下d / dx（u ^ 2）= 2u *（du）/ dx f'（x）= 2sinxd / dx（sinx）= 2sinxcosx g'（x）= 2cosxd / dx（cosx）= - 2sinxcosx因此，dy / dx = 2sinxcosx（cos ^ 2x）-2sinxcosx（sin ^ 2x）= > -2sinxcosx（sin ^ 2x-cos ^ 2x）有一个2sinxcosx = sin2x的身份，但在简化答案时，这种身份比有用更令人困惑。 阅读更多 »

（24，（15pi）/ 6）的笛卡尔形式是（0,24）。考虑这个数字。在这个图中，角度是22.6，但在我们的例子中，让（24，（15pi）/ 6）的笛卡尔形式为（x，y）。考虑这个数字。从图：Cos（（15pi）/ 6）= x / 24 impliesx = 24Cos（（15pi）/ 6）= 24（0）= 0 impliesx = 0同样来自图：Sin（（15pi）/ 6）= y / 24 impliesy = 24Sin（（15pi）/ 6）= 24（1）= 24意味着y = 24因此，（24，（15pi）/ 6）的笛卡尔形式是（0,24）。 阅读更多 »

您尝试将有理函数拆分为一个非常容易集成的总和。首先：x ^ 2 - 1 =（x-1）（x + 1）。部分分数分解允许你这样做：（x + 1）/（x（x ^ 2 - 1））=（x + 1）/（x（x-1）（x + 1））= 1 /（x （x-1））= a / x + b /（x-1），你必须找到RR中的a，b。为了找到它们，你必须将两边乘以等式左边的一个多项式。我向你展示一个例子，另一个系数是以同样的方式找到的。我们要找到一个：我们必须将所有东西乘以x才能使另一个系数消失。 1 /（x（x-1））= a / x + b /（x-1）iff 1 /（x-1）= a +（bx）/（x-1）。 x = 0 iff -1 = a为了找到b你做同样的事情（你把所有东西乘以（x-1）然后你选择x = 1），你发现b = 1.所以（x + 1） ）/（x（x ^ 2 - 1））= 1 /（x-1） - 1 / x，这意味着int（x + 1）/（x（x ^ 2 - 1））dx = int（1 /（x-1） - 1 / x）dx = intdx /（x-1） - intdx / x = lnabs（x-1） - lnabsx 阅读更多 »

将arctan（x）导数的幂级数积分，然后除以x。我们知道1 /（1-x）= sum_nx ^ n AAx的幂级数表示，使得absx <1。所以1 /（1 + x ^ 2）=（arctan（x））'= sum_n（-1）^ NX ^（2N）。所以arctan（x）的幂级数是intsum_n（-1）^ nx ^（2n）dx = sum_n int（-1）^ nx ^（2n）dx = sum_n（（ - 1）^ n）/（2n + 1）的x ^（2N + 1）。你将它除以x，你会发现arctan（x）/ x的幂级数是sum_n（（ - 1）^ n）/（2n + 1）x ^（2n）。假设u_n =（（ - 1）^ n）/（2n + 1）x ^（2n）为了找到该幂级数的收敛半径，我们求值lim_（n - > + oo）abs（（u_） （n + 1））/ u_n。（u_（n + 1））/ u_n =（ - 1）^（n + 1）* x ^（2n + 2）/（2n + 3）（2n + 1）/ （（-1）^ nx ^（2n））= - （2n + 1）/（2n + 3）x ^ 2.lim_（n - > + oo）abs（（u_（n + 1））/ u_n） = abs（x ^ 2）。所以如果我们想要幂级数收敛，我们需要abs（x ^ 2）= absx ^ 2 <1，所以如果absx <1，系列会收敛，这并不奇怪，因为它是a 阅读更多 »

（（4-x ^ 2）-2x ^ 2 * lnx）/ x产品规则：h = f * g h'= fg'+ gf'注：f（x）= ln x f'（x）= 1 / x给定f（x）=（4-x ^ 2）* lnx f'（x）=（4-x ^ 2）d / dx（lnx）+ lnx * d / dx（4-x ^ 2）=（ 4-x ^ 2）（1 / x）+ -2x（lnx）=（4-x ^ 2）/ x - （2x）（ln x）=（（4-x ^ 2）-2x ^ 2 * lnx ）/X 阅读更多 »

您可以使用链规则。 （3e ^（ - 12t））'= - 36 * e ^（ - 12t）3是常数，可以保持不变：（3e ^（ - 12t））'= 3（e ^（ - 12t）） “这是一个混合功能。外部函数是指数，内部是多项式（类型）：3（e ^（ - 12t））'= 3 * e ^（ - 12t）*（ - 12t）'= = 3 * e ^（ -12t）*（ - 12）= - 36 * e ^（ - 12t）导出：如果指数是一个简单的变量而不是一个函数，我们只需区分e ^ x。但是，指数是一个函数，应该进行转换。设（3e ^（ - 12t））= y和-12t = z，则导数为：（dy）/ dt =（dy）/ dt *（dz）/ dz =（dy）/ dz *（dz）/ dt这意味着您将e ^（ - 12t）区分为e ^ x（未更改），然后区分z，即-12t，最后将它们相乘。 阅读更多 »

研究二阶导数的符号。对于x <1，函数是凹的。对于x> 1，函数是凸的。你需要通过找到二阶导数来研究曲率。 f（x）= - 2x /（x-1）1阶导数：f'（x）= - 2（（x）'（x-1）-x（x-1）'）/（x-1） ^ 2 f'（x）= - 2（1 *（x-1）-x * 1）/（x-1）^ 2 f'（x）= - 2（x-1-x）/（x- 1）^ 2 f'（x）= 2 * 1 /（x-1）^ 2二阶导数：f''（x）=（2 *（x-1）^ - 2）'f''（x ）= 2（（x-1）^ - 2）'f''（x）= 2 *（ - 2）（x-1）^ - 3 f''（x）= - 4 /（x-1） ^ 3现在必须研究f''（x）的符号。在以下情况下分母为正： - （x-1）^ 3> 0（x-1）^ 3 <0（x-1）^ 3 <0 ^ 3 x-1 <0 x <1对于x <1函数是凹的。对于x> 1，函数是凸的。注意：点x = 1被排除，因为函数f（x）不能为x = 1定义，因为denumirator将变为0.这是一个图表，所以你可以用你的眼睛看：graph {（ - 2x） /（x-1）[ - 14.08,17.95，-7.36,8.66]} 阅读更多 »

可以使用欧几里德距离。 （需要一个计算器）d（x，y，z，...）= sqrt（Δx^ 2 +Δy^ 2 +Δz^ 2 + ...）距离是0.9618565首先，我们需要找到确切的点：f（1）=（ln1 / e ^ 1，e ^ 1/1）f（1）=（0 / e，e）f（1）=（0，e）f（2）=（ln2 / e ^ 2，e ^ 2/2）欧几里德距离通常可以通过以下公式计算：d（x，y，z，...）= sqrt（Δx^ 2 +Δy^ 2 +Δz^ 2 + .. 。）其中Δx，Δy，Δz是每个空间（轴）的差异。因此：d（1,2）= sqrt（（0-ln2 / e ^ 2）^ 2 +（ee ^ 2/2）^ 2）d（1,2）= sqrt（0.0087998 + 0.953056684）d（1， 2）= 0.9618565 阅读更多 »

“使用导数的定义：”f'（x）= lim_ {h-> 0}（f（x + h） - f（x））/ h“这里我们有”f'（x_0）= lim_ {h - > 0}（f（x_0 + h） - f（x_0））/ h g'（x_0）= lim_ {h-> 0}（g（x_0 + h） - g（x_0））/ h“我们需要证明“f'（x_0）= g'（x_0）”或“f'（x_0） - g'（x_0）= 0”或“h'（x_0）= 0”，其中“h（x）= f （x） - g（x）“或”lim_ {h-> 0}（f（x_0 + h） - g（x_0 + h） - f（x_0）+ g（x_0））/ h = 0“或” lim_ {h-> 0}（f（x_0 + h） - g（x_0 + h））/ h = 0“（由于”f（x_0）= g（x_0）“）”“现在”f（x_0 + h）<= g（x_0 + h）=> lim <= 0“如果”h> 0“且”lim> = 0“如果”h <0“我们假设f和g是可微分的”“所以” h（x）= f（x） - g（x）“也是可微分的”，“所以左边界必须等于右边界，所以”=> lim = 0 => h'（x_0）= 0 = > f'（x_0）= g'（x_0） 阅读更多 »

Y = 1.8276x-3.7你必须找到导数：f'（x）=（x）'sin ^ 3（x / 3）+ x *（sin ^ 3（x / 3））'在这种情况下，三角函数的导数实际上是3个基本函数的组合。它们是：sinx x ^ nc * x解决这个问题的方法如下：（sin ^ 3（x / 3））'= 3sin ^ 2（x / 3）*（sin（x / 3））'= = 3sin ^ 2（x / 3）* cos（x / 3）（x / 3）'= = 3sin ^ 2（x / 3）* cos（x / 3）* 1/3 = = sin ^ 2（x / 3）* cos（x / 3）因此：f'（x）= 1 * sin ^ 3（x / 3）+ x * sin ^ 2（x / 3）* cos（x / 3）f'（x ）= sin ^ 3（x / 3）+ x * sin ^ 2（x / 3）* cos（x / 3）f'（x）= sin ^ 2（x / 3）*（sin（x / 3） + xcos（x / 3））正切方程的推导：f'（x_0）=（yf（x_0））/（x-x_0）f'（x_0）*（x-x_0）= yf（x_0）y = f'（x_0）* x-f'（x_0）* x_0 + f（x_0）代入以下值：x_0 =πf（x_0）= f（π）=π* sin ^ 3（π/ 3） 阅读更多 »

（sqrt26，arctan（1/5） - pi）设A（-5，-1）。极性形式将类似于（r，theta），其中r为非负，θ为[0,2pi]。该模块将由向量OA的范数给出，其为sqrt（（ - 5）^ 2 +（ - 1）^ 2）= sqrt26。 （Ox）轴和矢量OA之间的角度由arctan（y / x）给出 - pi = arctan（（ - 1）/（ - 5）） - pi = arctan（1/5） - pi（我们因为x <0且y <0，所以减去pi，它将给出我们角度的主要度量，即角度为-pi，pi]。 阅读更多 »

颜色（绿色）“y = -6 / 5x + 41/30”f（x）=（3x ^ 2-2）/（6x）让我们首先找到切线的斜率。一点处切线的斜率是该点处曲线的一阶导数。因此，x = 1处的f（x）的一阶导数是x = 1处的切线的斜率。为了找到f'（x），我们需要使用商数规则商数规则：d / dx（u / v）=（（du ）/ dxv-u（dv）/ dx）/ v ^ 2 u = 3x ^ 2-2 =>（du）/ dx = 6x v = 6x =>（dv）/ dx = 6 f'（x）=（ （du）/ dxv-u（dv）/ dx）/ v ^ 2 f'（x）=（6x（6x） - （3x ^ 2-2）6）/（6x）^ 2 f'（x）= （36x ^ 2-18x ^ 2 + 12）/（6x）^ 2color（蓝色）“组合相似的术语”f'（x）=（18x ^ 2 + 12）/（36x ^ 2）颜色（蓝色）“分子“f'（x）=（6（3x ^ 2 + 2））/（36x ^ 2）颜色（蓝色）”因子输出6“分母中的36取消6”f'（x）= （3x ^ 2 + 2）/（6x ^ 2）f'（1）=（3 + 2）/ 6 => f'（1）= 5/6颜色（绿色）“切线斜率= 5/6 “颜色（绿色）”法线的斜率=正斜率的倒数倒数= -6 / 5“f（1）=（3-2）/ 6 => f 阅读更多 »

G'（x）= 4x ^ 3-6x ^ 2 + 2x-2 g（x）=（x ^ 2 + 1）（x ^ 2-2x）产品规则：d / dx（uv）=（du）/ dxv + u（dv）/ dx u =（x ^ 2 + 1）du / dx = 2x v = x ^ 2-2x dv / dx = 2x = 2 d / dx（x ^ 2 + 1）（x ^ 2 -2x）=（du）/ dxv + u（du）/ dx = 2x（x ^ 2-2x）+（x ^ 2 + 1）（2x-2）= 2x ^ 3-4x ^ 2 + 2x ^ 3 -2x ^ 2 + 2x-2 = 4x ^ 3-6x ^ 2 + 2x-2 阅读更多 »

X = -3时的导数是负的，所以它在减小。 f（x）= x * e ^ x-3x f'（x）=（x * e ^ x-3x）'=（x * e ^ x）' - （3x）'= =（x）'e ^ x + x *（e ^ x）' - （3x）'= 1 * e ^ x + x * e ^ x-3 = = e ^ x *（1 + x）-3 f'（x）= e ^ x *（1 + x）-3在x = -3 f'（ - 3）= e ^（ - 3）*（1-3）-3 = -2 / e ^ 3-3 = - （2 / e ^ 3 + 3）由于2 / e ^ 3 + 3为正，因此减号表示：f'（ - 3）<0函数正在递减。您也可以在图表中看到这一点。图{x * e ^ x-3x [-4.576，-0.732,7.793,9.715]} 阅读更多 »

F'（x）== - （sqrt（e ^ cot（x））。csc ^ 2（x））/ 2 f（x）= sqrt（e ^ cot（x））求f的导数（x ），我们需要使用链规则。 color（red）“chain rule：f（g（x））'= f'（g（x））。g'（x）”let u（x）= cot（x）=> u'（x）= -csc ^ 2（x）和g（x）= e ^（x）=> g'（x）= e ^（x）.g'（u（x））= e ^ cot（x）f（x ）= sqrt（x）=> f'（x）= 1 /（2sqrt（x））=> f'（g（u（x）））= 1 /（2sqrt（e ^ cot（x））d / dx（f（g（u（x）））= f'（g（u（x）））。g'（u（x））。u'（x）= 1 /（sqrt（e ^ cot（x） ）））e ^ cot（x）.- cos ^ 2（x）=（ - e ^ cot（x）csc ^ 2x）/ sqrt（e ^ cot（x））颜色（蓝色）“取消e ^ cot （x）在分母中使用sqrt（e ^ cot（x））“= - （sqrt（e ^ cot（x））。csc ^ 2（x））/ 2 阅读更多 »

莱布尼兹的符号可以派上用场。 f（x）= cos（5x）设g（x）= u。然后导数：（f（g（x）））'=（f（u））'=（df（u））/ dx =（df（u））/（dx）（du）/（du）= （df（u））/（du）（du）/（dx）= =（dcos（5u））/（du）*（d（e ^（3 + 4x）））/（dx）= = -sin （5u）*（d（5u））/（du）* e ^（3 + 4x）（d（3 + 4x））/（dx）= = -sin（5u）* 5 * e ^（3 + 4x ）* 4 = = -20sin（5u）* e ^（3 + 4x） 阅读更多 »

是。其中一个最引人注目的例子是由Karl Weierstrass发现的Weierstrass函数，他在他的原始论文中定义为：sum_（n = 0）^ oo a ^ n cos（b ^ n pi x）其中0 <a < 1，b是一个正奇数整数，ab>（3pi + 2）/ 2这是一个非常尖锐的函数，它在Real系列的每个地方都是连续的，但是无法区分。 阅读更多 »

F'（x）= 6x - 8 + 23 /（x + 2）^ 2和f'（3）= 273/25 = 10 + 23/25 = 10.92增加给定f（x）=（3x ^ 3 - 2x ^ 2 -2x +5）/（x + 2）通过将3x ^ 3 - 2x ^ 2 -2x + 5除以x + 2来进行以获得f（x）= 3x ^ 2 - 8x +14 -23 /（x +2）找到一阶导数得到f'（x）= 6x-8 + 23 /（x + 2）^ 2评估f'（3）= 6（3）-8 + 23 /（3 + 2）^ 2 = 10.92表示在x = 3时增加 阅读更多 »

F'（x）= 2xsin（4x）+ 4x ^ 2cos（4x）根据乘积规则，u（x）v（x）的导数是u'（x）v（x）+ u（x）v' （X）。这里，u（x）= x ^ 2并且v（x）= sin（4x）因此u'（x）= 2x并且v'（x）= 4cos（4x）通过链规则。我们将它应用于f，所以f'（x）= 2xsin（4x）+ 4x ^ 2cos（4x）。 阅读更多 »

2x - sin（4x）/ 2 + k，RR为k。我们必须记住一些公式。在这里，我们需要2sin（theta）cos（theta）= sin（2theta）。我们可以很容易地看到它，因为我们正在处理sin（x）和cos（x）的平方，我们将它们乘以偶数。 16sin ^ 2（x）cos ^ 2（x）= 4（4cos ^ 2（x）sin ^ 2（x））= 4（2sin（x）cos（x））^ 2 = 4（sin（2x）） ^ 2。所以int16sin ^ 2（x）cos ^ 2（x）dx = 4intsin ^ 2（2x）dx。我们知道sin ^ 2（theta）=（1-cos（2theta））/ 2因为cos（2θ）= 1-2sin ^ 2（theta），所以sin ^ 2（2x）=（1-cos（4x） ））/ 2。因此最终结果：4intsin ^ 2（2x）= 4int（1 - cos（4x））/ 2dx = 4intdx / 2 - 4intcos（4x）/ 2dx = 2x - 2intcos（4x）dx = 2x + c - 2sin（4x ）/ 4 + a，其中a，c为RR。假设k = a + c，因此得到最终答案。 阅读更多 »

如果f（x）是一个函数，那么为了发现函数在某一点上是凹的或凸的，我们首先找到f（x）的二阶导数，然后插入其中的点的值。如果结果小于零，则f（x）是凹的，如果结果大于零，则f（x）是凸的。也就是说，如果f''（0）> 0，当x = 0时函数是凸的，如果f''（0）<0，当x = 0时函数是凹的。这里f（x）= - x ^ 3 + 2x ^ 2-4x-2设f'（x）为一阶导数意味着f'（x）= - 3x ^ 2 + 4x-4设f''（x）为二阶导数意味着f''（x） = -6x + 4在二阶导数中放置x = 0，即f''（x）= - 6x + 4。暗示f''（0）= - 6 * 0 + 4 = 0 + 4 = 4意味着f''（0）= 4因为结果大于0因此函数是凸的。 阅读更多 »

确定符号，然后按部分进行整合。面积为：A = 39.6345你必须知道[1,3]中f（x）是负还是正。因此：xe ^ -x-xe ^ xx（e ^ -xe ^ x）要确定符号，第二个因子在以下情况下为正：e ^ -xe ^ x> 0 1 / e ^ xe ^ x> 0 e ^ x * 1 / e ^ xe ^ x * e ^ x> e ^ x * 0由于e ^ x> 0（-oo，+ oo）中的任何x，不等式不会改变：1-e ^（x + x）> 0 1-e ^（2x）> 0 e ^（2x）<1 lne ^（2x）<ln1 2x <0 x <0因此，当x为负时，该函数仅为正，反之亦然。由于f（x）中的x因子f（x）= x（e ^ -x-e ^ x）当一个因子为正时，另一个因子为负，因此f（x）总是负的。因此，面积：A = -int_1 ^ 3f（x）dx A = -int_1 ^ 3（xe ^ -x-xe ^ x）dx A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx A = - int_1 ^ 3x *（ - （e ^ -x）'）dx + int_1 ^ 3x（e ^ x）'dx A = int_1 ^ 3x *（e ^ -x）'dx + int_1 ^ 3x（e ^ x）' dx A = [xe ^ -x] _1 阅读更多 »

答案是：f'（x）= - cosx（sinx + cosx）/（1-sin2x）引用规则表明：a（x）=（b（x））/（c（x））然后：a '（x）=（b'（x）* c（x）-b（x）* c'（x））/（c（x））^ 2同样对于f（x）：f（x）=（ sinx）/（sinx-cosx）f'（x）=（（sinx）'（sinx-cosx）-sinx（sinx-cosx）'）/（sinx-cosx）^ 2 f'（x）=（cosx（ sinx-cosx）-sinx（cosx - （ - cosx）））/（sinx-cosx）^ 2 f'（x）=（cosxsinx-cos ^ 2x-sinxcosx-sinxcosx）/（sinx-cosx）^ 2 f' （x）=（ - sinxcosx-cos ^ 2x）/（sinx-cosx）^ 2 f'（x）= - cosx（sinx + cosx）/（sinx-cosx）^ 2 f'（x）= - cosx（ sinx + cosx）/（sin ^ 2x-2sinxcosx + cos ^ 2x）f'（x）= - cosx（sinx + cosx）/（（sin ^ 2x + cos ^ 2x）-2sinxcosx）f'（x）= - cosx（sinx的+ cosx）/（1-sin2x） 阅读更多 »

将图形和点之间的距离定义为函数并找到最小值。重点是（3.5,1.871）要知道它们有多接近，你需要知道距离。欧几里德距离是：sqrt（Δx^ 2 +Δy^ 2）其中Δx和Δy是2个点之间的差。为了成为最近的点，该点必须具有最小距离。因此，我们设置：f（x）= sqrt（（x-4）^ 2 +（x ^（1/2）-0）^ 2）f（x）= sqrt（x ^ 2-8x + 16 +（ x ^（1/2））^ 2）f（x）= sqrt（x ^ 2-8x + 16 + x ^（1/2 * 2））f（x）= sqrt（x ^ 2-8x + 16 + x）f（x）= sqrt（x ^ 2-7x + 16）我们现在需要找到这个函数的最小值：f'（x）= 1 /（2 * sqrt（x ^ 2-7x + 16） ）*（x ^ 2-7x + 16）'f'（x）=（2x-7）/（2 * sqrt（x ^ 2-7x + 16））分母总是作为平方根函数为正。在以下情况下分子为正：2x-7> 0 x> 7/2 x> 3.5因此当x> 3.5时函数为正。类似地，当x <3.5时可以证明它是负的。因此，函数f（x）在x = 3.5时具有最小值，这意味着距离在x = 3.5时最小y = x ^的y坐标（ 1/2）是：y = 3.5 ^（1/2）= sqrt（3.5）= 1.871最后，观察到与（4,0）的最小距离的点是：（3.5 阅读更多 »

将每个部分分开整合，因为它们各自处于不同的轴上。 f'（t）=（2t-cost，-1 /（t-1）^ 2）第1部分（t ^ 2-sint）'= 2t-cost第2部分（1 /（t-1））'=（ （t-1）^ - 1）'= - 1 *（t-1）^（ - 1-1）*（t-1）'= = - （t-1）^（ - 2）* 1 = - 1 /（t-1）^ 2结果f'（t）=（2t-cost，-1 /（t-1）^ 2） 阅读更多 »

是。设l = lim_（n - > + oo）a_n。 a_n是单调的，所以b_n也是单调的，lim_（n - > + oo）b_n = lim_（n - > + oo）（a_n）^ 2 =（lim_（n - > + oo）（a_n））^ 2 = l ^ 2。它与函数类似：如果f和g在a处有一个有限的限制，则乘积f.g将具有a的限制。 阅读更多 »

使用链规则3次。它是：2 / x * e ^（（ln2x）^ 2）（e ^（（ln2x）^ 2））'= e ^（（ln2x）^ 2）*（（ln2x）^ 2）'= e ^（ （ln2x）^ 2）* 2（ln2x）'= = e ^（（ln2x）^ 2）* 2 * 1 /（2x）*（2x）'= e ^（（ln2x）^ 2）* 2 * 1 /（2x）* 2 = = 2 / x * e ^（（ln2x）^ 2） 阅读更多 »

F'（x）=（（2x - 4）（x + 1） - x ^ 2 + 4x）/（x + 1）^ 2设f（x）=（u（x））/（v（x）其中u（x）= x ^ 2 - 4x且v（x）= x + 1。根据商规则，f'（x）=（u'（x）v（x）-u（x）v'（x））/（v（x））^ 2。这里，u'（x）= 2x - 4和v'（x）= 1.所以f'（x）=（（2x - 4）（x + 1） - x ^ 2 + 4x）/（x + 1 ）^ 2直接使用商规则。 阅读更多 »

-sqrt（101）/ 101i * ln（（10（（e ^ x + 10）/（sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101）+1））+ 1-sqrt101）/（10（（ e ^ x + 10）/（sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101）+ 1））+ 1 + sqrt101））+ C解决方案有点冗长!!!从给定的int 1 / sqrt（-e ^（2x）-20e ^ x-101）* dx int 1 /（（sqrt（-1）* sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101））* dx请注意i = sqrt（-1）的虚数将该复数除去一段时间并通过完成前进到积分int 1 /（sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101））* dx广场和做一些分组：int 1 /（sqrt（（e ^ x）^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101））* dx int 1 /（sqrt（（（e ^ x）^ 2 + 20e ^ x + 100）-100 + 101））* dx int 1 /（sqrt（（（e ^ x + 10）^ 2-100 + 101）））* dx int 1 /（sqrt（（（e ^ x + 10）^ 2 + 1）））* dx第一个三角函数替换：#锐角w，边相对= e ^ x + 10，相邻边= 1，斜边= sqrt（（e ^ x + 10）^ 2 + 1 ）设e ^ x + 10 阅读更多 »

F（x）=（x-3）（x + 2）（3x-2）意味着f（x）=（x ^ 2-x-6）（3x-2）意味着f（x）= 3x ^ 3- 5x ^ 2-4x + 12如果f（x）是函数，f''（x）是函数的二阶导数，那么（i）如果f（x）<0（ii），则f（x）是凹的如果f（x）> 0，则f（x）是凸的。这里f（x）= 3x ^ 3-5x ^ 2-4x + 12是函数。设f'（x）为一阶导数。暗示f'（x）= 9x ^ 2-10x-4设f''（x）为二阶导数。暗示f''（x）= 18x-10 f（x）是凹的，如果f''（x）<0表示18x-10 <0表示9x-5 <0表示x <5/9因此，f（x）属于（-oo，5/9）的所有值都是凹的。如果f''（x）> 0，则f（x）是凸的。暗示18x-10> 0意味着9x-5> 0意味着x> 5/9因此，对于属于（5/9，oo）的所有值，f（x）是凸的 阅读更多 »

Int_0 ^（pi / 2）cos（x ^ 2）dx ~~ 0.83梯形法则告诉我们：int_b ^ af（x）dx ~~ h / 2 [f（x_0）+ f（x_n）+2 [f （x_1）+ f（x_2）+ cdotsf（x_（n-1））]]其中h =（ba）/ nh =（pi / 2-0）/ 4 = pi / 8所以我们有：int_0 ^（pi / 2）COS（X ^ 2）DX ~~ PI / 16 [F（0）+ F（PI / 2）2 [F（PI / 8）+ F（PI / 4）+ F（（3PI）/ 8）]] = pi / 16 [cos（（0）^ 2）+ cos（（pi / 2）^ 2）+2 [cos（（pi / 8）^ 2）+ cos（（pi / 4）^ 2）+ cos（（（3pi）/ 8）^ 2）]] ~~ pi / 16 [1-0.78 + 1.97 + 1.63 + 0.36] ~~ pi / 16 [4.23] ~~ 0.83 阅读更多 »

你必须找到衍生物并在x = 0处检查它的符号它正在增加。 f（x）=（x + 3）^ 3-4x ^ 2-2x f'（x）= 3（x + 3）^ 2-4 * 2x-2 f'（x）= 3（x + 3） ^ 2-8x-2在x = 0 f'（0）= 3（0 + 3）^ 2-8 * 0-2 f'（0）= 27> 0由于f'（0）> 0，函数是越来越多。 阅读更多 »

拐点发生在二阶导数为零的地方。首先找到一阶导数。 f（x）= x ^ 3 + 3 x ^ 2 - （27 / x ^ 2）f（x）= x ^ 3 + 3 x ^ 2 - 27（x ^ { - 2}）{df（x）} / {dx} = 3 x ^ 2 + 3 * 2 x - 27 *（ - 2）（x ^ { - 3}）{df（x）} / {dx} = 3 x ^ 2 + 6 x + 54 x ^ { - 3}或{df（x）} / {dx} = 3 x ^ 2 + 6 x +（54 / {x ^ { - 3}}）现在是第二个。 {d ^ 2 f（x）} / {dx ^ 2} = 3 * 2 x ^ 1 + 6 * 1 * x ^ 0 +54 *（ - 3）（x ^ { - 4}）{d ^ 2 f （x）} / {dx ^ 2} = 6x + 6 -162 x ^ { - 4}将此设置为零。 0 = 6x + 6 -162 x ^ { - 4}将两边乘以x ^ 4（只要x！= 0允许，并且由于函数在零处爆炸，这很好）。 0 = 6x ^ 5 + 6 x ^ 4 -162除以6！ 0 = x ^ 5 + x ^ 4 - 27转到方程求解器（如Maple，Mathcad或Matlab）并找到0。检查函数和派生函数中的这些（可能是五个）值，以确保它们没有做任何愚蠢的事情。 阅读更多 »

在7处的f（x）=（5 + 4x）^ 2的斜率是264.函数的导数给出沿着该曲线的每个点处的函数的斜率。因此，在x = a处评估的{d f（x）} / dx是函数f（x）在a处的斜率。此函数为f（x）=（5 + 4x）^ 2，如果尚未学习链规则，则将多项式展开为f（x）= 25 + 40x + 16x ^ 2。使用导数是线性的这一事实，所以常数乘法和加法和减法是直截了当的，然后使用导数规则，{d} / {dx} ax ^ n = n * ax ^ {n-1}，我们得到：{df （x）} / dx = d / dx25 + d / dx40x + d / dx16x ^ 2 {df（x）} / {dx} = 40 + 32x。此函数在任何点给出f（x）=（5 + 4x）^ 2的斜率，我们对x = 7处的值感兴趣，因此我们将7替换为导数的表达式。 40 + 32（7）= 264。 阅读更多 »

= 2（ln x）/ x（lnx ^ lnx）^'=（ln x lnx）^'=（ln ^ 2 x）^'= 2 ln x * 1 / x 阅读更多 »

这里唯一的技巧是（e ^（x ^ 2））'= e ^（x ^ 2）*（x ^ 2）'= e ^（x ^ 2）* 2x最终导数是：f'（x） = 8e ^（x ^ 2）（2x *（e ^ x + 1）-e ^ x）/（e ^ x + 1）^ 2或f'（x）= 8e ^（x ^ 2）（e ^ x *（2x-1）+ 2x + 1）/（e ^ x + 1）^ 2 f（x）= 8（e ^（x ^ 2））/（e ^ x + 1）f'（x） = 8（（e ^（x ^ 2））'（e ^ x + 1）-e ^（x ^ 2）（e ^ x + 1）'）/（e ^ x + 1）^ 2 f'（ x）= 8（e ^（x ^ 2）*（x ^ 2）'（e ^ x + 1）-e ^（x ^ 2）* e ^ x）/（e ^ x + 1）^ 2 f '（x）= 8（e ^（x ^ 2）2x *（e ^ x + 1）-e ^（x ^ 2）* e ^ x）/（e ^ x + 1）^ 2 f'（x ）= 8（e ^（x ^ 2）（2x *（e ^ x + 1）-e ^ x））/（e ^ x + 1）^ 2 f'（x）= 8e ^（x ^ 2） （2x *（e ^ x + 1）-e ^ x）/（e ^ x + 1）^ 2或（如果你想在分子中考虑e ^ x）f'（x）= 8e ^（x 阅读更多 »

Sum_（n = 1）^ oo1 /（n + sqrt（n））发散，这可以通过将它与sum_（n = 1）^ oo1 /（2n）进行比较来看出。由于这个序列是正数之和，我们需要找到一个收敛级数sum_（n = 1）^（oo）a_n，使得a_n> = 1 /（n + sqrt（n））并得出结论我们的序列是收敛，或者我们需要找到一个发散序列，使得a_n <= 1 /（n + sqrt（n））并且我们的序列也是不同的。我们注意到以下内容：对于n> = 1，sqrt（n）<= n。因此n + sqrt（n）<= 2n。所以1 /（n + sqrt（n））> = 1 /（2n）。由于众所周知sum_（n = 1）^ oo1 / n发散，所以sum_（n = 1）^ oo1 /（2n）也发散，因为如果它会收敛，那么2sum_（n = 1）^ oo1 /（2n）= sum_（n = 1）^ oo1 / n也会收敛，情况并非如此。现在使用比较测试，我们看到sum_（n = 1）^ oo1 /（n + sqrt（n））发散。 阅读更多 »

请看下面。当我们首先学习通过积分找到区域时，我们垂直地采用代表性矩形。矩形具有基础dx（x的微小变化）和高度等于大y（上部曲线上的那个）减去较小的y值（下部曲线上的那个）。然后，我们从最小的x值到最大的x值进行积分。对于这个新问题，我们可以使用两个这样的整体（参见Jim S的回答），但是学习将我们的思维转变为90 ^ @是非常有价值的。我们将采用有代表性的矩形方式。矩形具有高度dy（y的小变化）和基数等于较大的x（最右边的曲线上的那个）减去较小的x值（最左边的曲线上的那个）。然后，我们从最小的y值到最大的y值进行积分。注意二元性{:(“vertical”，iff，“horizo ntal”），（dx，iff，dy），（“upper”，iff，“rightmost”），（“lower”，iff，“leftmost”），（ x，iff，y）：}短语“从最小的x值到最大的x值”。表示我们从左到右整合。 （在增加x值的方向上。）短语“从最小的y值到最大的y值”。表明我们整合了从下到上。 （在增加y值的方向上。）这是一个带有小矩形的区域的图片：区域为int_1 ^ 2（y-1 / y ^ 2）dy = 1 阅读更多 »

检查下面f（x）= 6x ^ 5-10x ^ 3，D_f = RR我们注意到f（0）= 0 f'（x）= 30x ^ 4-30x ^ 2 = 30x ^ 2（x ^ 2-1 ）f'（x）> 0 <=> 30x ^ 2（x ^ 2-1）<=> x <-1或x> 1 f'（x）<0 <=> -1 阅读更多 »

Y = 1 / 532x-2009.013一点处的法线是垂直于该点处切线的直线。当我们解决这种类型的问题时，我们使用导数找到切线的斜率，用它来找到法线的斜率，并使用函数中的一个点来找到法线方程。步骤1：切线的斜率我们这里所做的全部取函数的导数并在x = 7处进行评估：y'= 3x ^ 2-98x + 7 y'（7）= 3（7）^ 2- 98（7）+7 y'（7）= -532这意味着x = 7处的切线斜率为-532。步骤2：法线的斜率法线的斜率只是切线斜率的倒数（因为这两条线是垂直的）。所以我们只需要翻转-532并使其为正，以1/532作为法线的斜率。最后一步：找到方程法线方程的形式为y = mx + b，其中y和x是线上的点，m是斜率，b是y轴截距。我们有斜率m，这是我们在第二步中找到的：1/532。通过将x = 7代入等式并求解y，可以很容易地找到点x和y：y =（7）^ 3-49（7）^ 2 + 7（7）y = -2009现在我们可以使用全部这个信息找到b，y轴截距：y = mx + b -2009 =（1/532）（7）+ b -2009 = 7/532 + b -2009-7 / 532 = b我们可以近似于此-2009.013，或者如果我们真的想要，我们也可以近似它-2009。因此，法线的等式是y = 1 / 532x-2009.013。 阅读更多 »

7/4设f（x）= sin（7x）/ tan（4x）意味着f（x）= sin（7x）/（sin（4x）/ cos（4x））意味着f（x）= sin（7x） / sin（4x）* cos（4x）意味着f'（x）= lim_（x到0）{sin（7x）/ sin（4x）* cos（4x）}意味着f'（x）= lim_（x到0）{（7 * sin（7x）/（7x））/（4 * sin（4x）/（4x））* cos（4x）}意味着f'（x）= 7 / 4lim_（x到0）{ （sin（7x）/（7x））/（sin（4x）/（4x））* cos（4x）} = 7/4 {lim_（x到0）sin（7x）/（7x））/（lim_ （x到0）sin（4x）/（4x））* lim_（x到0）cos（4x）= 7/4 * 1/1 * cos（4 * 0）= 7/4 * cos0 = 7/4 * 1 = 7/4 阅读更多 »

2我们将使用以下三角极限：lim_（xto0）sinx / x = 1设f（x）=（x + sinx）/ x简化函数：f（x）= x / x + sinx / xf（ x）= 1 + sinx / x计算极限：lim_（x到0）（1 + sinx / x）通过加法分割极限：lim_（x到0）1 + lim_（x到0）sinx / x 1 + 1 = 2我们可以检查（x + sinx）/ x的图形：图形{（x + sinx）/ x [-5.55,5.55，-1.664,3.885]}图形似乎包括点（0， 2），但实际上是未定义的。 阅读更多 »

1/3 [ln（x-1）^ 2 -ln（x + 3）] = 1/3 [2ln（x-1）-ln（x + 3）] = 2/3 ln（x-1） - 1 / 3ln（x + 3）[f'（x）= 2 /（3（x-1））-1 /（3（x + 3））] - > [f''= - 2 /（3（ x-1）^ 2）+ 1 /（3（x + 3）^ 2）]首先使用对数的属性来简化。将指数置于前面并回想起商的对数是对数的差异，所以一旦我将其解析为简单的对数形式，我就找到了导数。一旦我得到了一阶导数，然后我将（x-1）和（x + 3）调到顶部并应用幂规则来找到二阶导数。请注意，您也可以使用链规则，但简化可能会更难和更长。 阅读更多 »