评估不定积分： sqrt（10x-x ^ 2）dx？

回答：

#20/3×^（3/2）-1 / 2×^ 2 + C#

说明：

#int“”sqrt（10x-x ^ 2）“”dx#

完成广场，

#int“”sqrt（25-（x-5）^ 2）“”dx#

替代 #U = X-5#, #int“”sqrt（25-u ^ 2）“”du#

替代 #U = 5sin（V）# 和 #杜= 5cos（V）#

#int“”5cos（v）sqrt（25-25sin ^ 2（v））“”dv#

简化，

#int“”（5cos（v））（5cos（v））“”dv#

瑞风，

#int“”25cos ^ 2（v）“”dv#

取出常数，

#25int“”cos ^ 2（v）“”dv#

应用双角公式，

#25int“”（1 + cos（2v））/ 2“”dv#

取出常数，

#25 / 2int“”1 + cos（2v）“”dv#

整合，

#25/2（V + 1 / 2sin（2V））“+ C#

替补回来 #V =反正弦（U / 5）# 和 #U = X-5#

#25/2（反正弦（（X-5）/ 5）+取消（1 / 2sin）（取消（2arcsin）（（X-5）/ 5）））“+ C#

简化，

#25/2（反正弦（（X-5）/ 5））+ 25/2（（X-5）/ 5）+ C#

瑞风，

#25 / 2arcsin（（X-5）/ 5）+5/2（X-5）+ C#，哪里 #C# 是整合的常数。

忠达：D

回答：

#= 1/2（（（x-5）sqrt（-5（x ^ 2-10x + 20）））+ 25 / 2arcsin（（x-5）/ 5）+ c#

说明：

什么是 #int sqrt（10x - x ^ 2）dx# ?

注意，正在积分的函数的域是内二次正为正的位置，即 #x在0,10中#x

可以使用替换来整合该表达式。虽然整合的可能途径不会立即出现，但如果我们竞争广场，则可以进行三角替换：

#10x - x ^ 2 = 25 - （x-5）^ 2#

我们注意到，它是经典的三角形替换形式，即数字的平方减去线性的平方 #X# 功能。

首先，为了摆脱线性，我们让 #u = x-5#， 这使 #杜= DX#，所以我们可以将上面的积分重写为：

#int sqrt（25-u ^ 2）du#

现在进行第二次替换，让 #u = 5sintheta#，将积分改为：

#int sqrt（25 - 25sin ^ 2theta）dx#

#= int abs（5costheta）dx# （我们可以忽略绝对值括号）

当然， #DX# 没有帮助，所以我们将替代方程区分为： #du = 5costheta d theta#，所以积分变成：

#25 int cos ^ 2 theta d theta#

现在我们可以使用双角公式进行积分 #cos ^ 2 theta# 更轻松：

#cos（2 theta）= 2cos ^ 2theta -1#

#:. cos ^ 2theta = 1/2（cos（2theta）+1）#）

所以积分变成：

#25/2 int cos（2theta）+ 1 d theta#

#= 25/2（1 / 2sin（2 theta）+ theta）+ c#

#= 25/2（sinthetacostheta + theta）+ c# （使用双角公式）

现在， #sintheta = u / 5 =（x-5）/ 5#

因此， #cos theta = sqrt（1-u ^ 2/25）= sqrt（（ - x ^ 2 + 10x-20）/ 25）#

和， #theta = arcsin（u / 5）= arcsin（（x-5）/ 5）#

#int sqrt（10x - x ^ 2）dx#

#= 25/2（（（x-5）sqrt（-5（x ^ 2-20x + 20）））/ 25 + arcsin（（x-5）/ 5））+ c#

#= 1/2（（（x-5）sqrt（-5（x ^ 2-10x + 20）））+ 25 / 2arcsin（（x-5）/ 5）+ c#