显示int_0 ^ 1sinx / sqrt（x ^ 2 + 1）dx

回答：

见解释

说明：

我们要展示

#int_0 ^ 1sin（x）/ sqrt（x ^ 2 + 1）dx <sqrt（2）-1#

这是一个相当“丑陋”的积分，所以我们的方法不是解决这个积分，而是将它与“更好”的积分进行比较

我们现在为所有积极的实数 #COLOR（红色）（的sin（x）<= x）的#

因此，如果我们替换，对于所有正实数，被积函数的值也将更大 #X =的sin（x）#，所以，如果我们可以显示

#int_0 ^ 1x / sqrt（x ^ 2 + 1）dx <sqrt（2）-1#

那么我们的第一个陈述也必须是真的

新积分是一个简单的替代问题

#INT_0 ^ 1X / SQRT（X ^ 2 + 1）= SQRT（X ^ 2 + 1） _ 0 ^ 1 = SQRT（2）-1#

最后一步是注意到这一点 #sin（X）= X => X = 0#

因此我们可以得出结论

#int_0 ^ 1sin（x）/ sqrt（x ^ 2 + 1）dx <sqrt（2）-1#