你如何找到（arctan（x））/（x）的幂级数表示以及收敛半径是多少？

回答：

集成了导数的幂级数 #arctan（x）的# 然后除以 #X#.

说明：

我们知道电力系列的代表性 #1 /（1-x）= sum_nx ^ n AAx# 这样的 #absx <1#。所以 #1 /（1 + x ^ 2）=（arctan（x））'= sum_n（-1）^ nx ^（2n）#.

所以电源系列 #arctan（x）的# 是 #intsum_n（-1）^ nx ^（2n）dx = sum_n int（-1）^ nx ^（2n）dx = sum_n（（ - 1）^ n）/（2n + 1）x ^（2n + 1） #.

你除以它 #X#，你找出了电源系列的 #arctan（X）/ X# 是 #sum_n（（ - 1）^ N）/（2N + 1）的x ^（2N）#。让我们说吧 #u_n =（（ - 1）^ n）/（2n + 1）x ^（2n）#

为了找到该幂级数的收敛半径，我们进行了评估 #lim_（n - > + oo）abs（（u_（n + 1））/ u_n#.

#（u_（n + 1））/ u_n =（ - 1）^（n + 1）* x ^（2n + 2）/（2n + 3）（2n + 1）/（（ - 1）^ nx ^ （2n））= - （2n + 1）/（2n + 3）x ^ 2#.

#lim_（n - > + oo）abs（（u_（n + 1））/ u_n）= abs（x ^ 2）#。因此，如果我们希望功率系列能够收敛，我们需要 #abs（x ^ 2）= absx ^ 2 <1#，所以这个系列会收敛 #absx <1#这并不奇怪，因为它是幂级数表示的收敛半径 #arctan（x）的#.