回答：
#arctan（e ^ x）+ C#
说明：
#“写”e ^ x“dx为”d（e ^ x）“，然后我们获得”#
#int（d（e ^ x））/（1+（e ^ x）^ 2）#
#“替换y =”e ^ x“，我们得到”#
#int（d（y））/（1 + y ^ 2）#
#“等于”#
#arctan（y）+ C#
#“现在替换回来”y = e ^ x：#
#arctan（e ^ x）+ C#
回答：
#int e ^ x /（1 + e ^（2x））“d”x = arctane ^ x +“c”#
说明：
我们想找到 #INTE ^ X /（1 + E ^（2×）） “d” X = INT1 /（1+（E ^ X）^ 2）E 1 X “d” ×#
现在让 #U = E 1 X# 因此，采取两侧的差异给出 #杜= E ^ XDX#。现在我们将这两个方程式替换为积分得到
#INT1 /（1 + U ^ 2） “d” U#
这是一个评估为的标准积分 #arctanu#。代替回来 #X# 我们得到一个最终答案：
#arctan e ^ x +“c”#
回答：
#int e ^ x /（1 + e ^（2x）） dx = tan ^ -1（e ^ x）+ C#
说明：
首先，我们让 #U = 1 + E ^（2×）#。相互融合 #U#，我们除以它的导数 #U#，是的 #2E ^（2×）#:
#int e ^ x /（1 + e ^（2x）） dx = 1 / 2int e ^ x /（e ^（2x）* u） du = 1 / 2int e ^ x /（e ^ x * e ^ x * u） du =#
#= 1 / 2int 1 /（e ^ x * u） du#
相互融合 #U#，我们需要以表达方式表达的一切 #U#所以我们需要解决什么问题 #E 1 X# 是的 #U#:
#U = 1 + E ^（2×）#
#E 1（2×）= U-1#
#2倍= LN（U-1）#
#X = 1 / 2LN（U-1）#
#X = LN（（U-1）^（1/2））= LN（SQRT（U-1））#
#E 1 X = E ^（LN（SQRT（U-1）））= SQRT（U-1）#
现在我们可以将其重新插入到积分中：
#= 1 / 2int 1 /（e ^ x * u） du = 1 / 2int 1 /（sqrt（u-1）* u） du#
接下来我们将介绍一个替换 #Z = SQRT（U-1）#。衍生物是：
#（DZ）/（DU）= 1 /（2sqrt（U-1）#
所以我们除以它来整合 #z#按 （记住除法与乘以倒数相同）：
#1 / 2int 1 /（sqrt（u-1）* u） du = 1 / 2int 1 /（sqrt（u-1）* u）* 2sqrt（u-1） dz =#
#= 2 / 2int 1 / u dz#
现在，我们再一次有错误的变量，所以我们需要解决什么问题 #U# 是等于 #z#按:
#Z = SQRT（U-1）#
#U-1 = Z ^ 2#
#U = Z 1 2 + 1#
这给出了：
#int 1 / u dz = int 1 /（1 + z ^ 2） dz#
这是常见的衍生物 #黄褐色^ -1（z）的#，所以我们得到：
#int 1 /（1 + z ^ 2） dz = tan ^ -1（z）+ C#
撤消所有替换，我们得到：
#黄褐色^ -1（Z）+ C =黄褐色^ -1（SQRT（U-1））+ C =#
#=黄褐色^ -1（SQRT（1 + E ^（2×）-1））+ C =黄褐色^ -1（（E ^（2×））^（1/2））+ C =#
#=黄褐色^ -1（E ^ X）+ C#
