如何使用三角替换整合int 1 / sqrt（-e ^（2x）-20e ^ x-101）dx？

回答：

#-sqrt（101）/ 101i * ln（（10（（e ^ x + 10）/（sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101）+1））+ 1-sqrt101）/（10（ （E ^ X + 10）/（SQRT（E ^（2×）+ 20E ^ X + 101）+1））+ 1 + sqrt101））+ C#

说明：

解决方案有点冗长！

从给定的 #int 1 / sqrt（-e ^（2x）-20e ^ x-101）* dx#

#int 1 /（（sqrt（-1）* sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101））* dx#

请注意 #I = SQRT（-1）# 想象的数字

暂时搁置这个复数，然后继续积分

#int 1 /（sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101））* dx#

通过完成广场和做一些分组：

#int 1 /（sqrt（（e ^ x）^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101））* dx#

#int 1 /（sqrt（（（e ^ x）^ 2 + 20e ^ x + 100）-100 + 101））* dx#

#int 1 /（sqrt（（（e ^ x + 10）^ 2-100 + 101）））* dx#

#int 1 /（sqrt（（（e ^ x + 10）^ 2 + 1）））* dx#

第一个三角函数替换：##

锐角 #W# 与对面相对 #= E ^ X + 10# 和相邻的一面 #=1# 用斜边=#sqrt（（e ^ x + 10）^ 2 + 1）#

让 #e ^ x + 10 = tan w#

#e ^ x dx = sec ^ 2 w# #dw#

#dx =（sec ^ 2w * dw）/ e ^ x#

然后

#dx =（sec ^ 2w * dw）/ tan（w-10）#

积分成为

#int 1 / sqrt（tan ^ 2w + 1）*（sec ^ 2w * dw）/（tan w-10）#

#int 1 / sqrt（sec ^ 2w）*（sec ^ 2w * dw）/（tan w-10）#

#int 1 / sec w *（sec ^ 2w * dw）/（tan w-10）#

#int（secw * dw）/（tan w-10）#

从三角学 #sec w = 1 / cos w# 和 #tan w = sin w / cos w#

积分成为

#int（1 / cos w * dw）/（sin w / cos w-10）# 和

#int（dw）/（sin w-10 cos w）#

第二个三角函数替换：

让 #w = 2 tan ^ -1 z#

#DW = 2 * DZ /（1 + Z ^ 2）#

并且 #z = tan（w / 2）#

直角三角形：锐角 #W / 2# 与对方相对 #= z#

相邻的一面 #=1# 和斜边 #= sqrt（z ^ 2 + 1）#

来自三角学：回顾半角公式

#sin（w / 2）= sqrt（（1-cos w）/ 2#

#z / sqrt（z ^ 2 + 1）= sqrt（（1-cos w）/ 2#

解决 #cos w#

#cos w =（1-z ^ 2）/（1 + z ^ 2）#

也使用身份 #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w#

它遵循

#sin w =（2z）/（1 + z ^ 2）#

积分成为

#int（dw）/（sin w-10 cos w）= int（2 * dz /（1 + z ^ 2））/（（2z）/（1 + z ^ 2）-10 *（1-z ^ 2）/（1 + Z ^ 2））#

简化积分结果

#int（2 * dz）/（2z-10 + 10z ^ 2）#

#int（（1/5）* dz）/（z ^ 2 + z / 5-1）#

完成广场：

#int（（1/5）* dz）/（z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1）#

#int（（1/5）* dz）/（（z + 1/10）^ 2-101 / 100）#

#int（（1/5）* dz）/（（z + 1/10）^ 2-（sqrt101 / 10）^ 2）#

现在使用公式 #int（du）/（u ^ 2-a ^ 2）= 1 /（2a）* ln（（u-a）/（u + a））+ C#

让 #Ù= Z + 1/10# 和 #A = sqrt101 / 10# 并包括回来 #I = SQRT（-1）#

使用原始变量写出最终答案

#-sqrt（101）/ 101i * ln（（10（（e ^ x + 10）/（sqrt（e ^（2x）+ 20e ^ x + 101）+1））+ 1-sqrt101）/（10（ （E ^ X + 10）/（SQRT（E ^（2×）+ 20E ^ X + 101）+1））+ 1 + sqrt101））+ C#