什么是int_（1）^（4）x ^ 4-x ^ 3 + sqrt（x-1）/ x ^ 2 dx？

回答：

#1023/5 - （225 - sqrt3）/ 4 + arctan（sqrt3）#

说明：

这个解释有点长，但我找不到更快的方法来做…

积分是线性应用程序，因此您可以在积分符号下分割函数。

#int_1 ^ 4（x ^ 4 - x ^ 3 +（sqrt（x-1）/ x ^ 2））dx# = #int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt（x-1）/ x ^ 2dx#

2个第一项是多项式函数，因此它们易于集成。我告诉你如何做到这一点 #x的^ 4#.

#intx ^ 4dx = x ^ 5/5# 所以 #int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5#。你完成同样的事情 #x的^ 3#结果是 #255/4#.

查找 #intsqrt（X-1）/ X ^ 2DX# 有点漫长而复杂。首先，你将分数乘以 #sqrt（X-1）/ SQRT（X-1）# 然后你改变变量：让我们说 #u = sqrt（x-1）#。所以 #杜= 1 /（2sqrt（X-1））DX# 你现在必须找到 #2intu ^ 2 /（u ^ 2 + 1）^ 2du#。为了找到它，你需要有理函数的部分分数分解 #x ^ 2 /（x ^ 2 + 1）^ 2#.

#x ^ 2 /（x ^ 2 + 1）^ 2 =（ax + b）/（x ^ 2 +1）+（cx + d）/（x ^ 2 + 1）^ 2# 同 RR中的#a，b，c，d#。在微积分之后，我们发现了这一点 #x ^ 2 /（x ^ 2 + 1）^ 2 = 1 /（x ^ 2 +1） - 1 /（x ^ 2 + 1）^ 2#， 意思就是 #2intu ^ 2 /（u ^ 2 + 1）^ 2du = 2（int（du）/（u ^ 2 + 1） - int（du）/（u ^ 2 + 1）^ 2）#

#int（DU）/（U ^ 2 + 1）^ 2# 众所周知，它是 #arctan（u）/ 2 + u /（2（1 + u ^ 2））#.

最后， #2intu ^ 2 /（u ^ 2 + 1）^ 2du = 2（arctan（u） - arctan（u）/ 2 - u /（2（1 + u ^ 2）））= arctan（u） - u / （1 + U ^ 2）#

你替换 #U# 用它的原始表达 #X# 具有 #intsqrt（X-1）/ X ^ 2DX#，是的 #arctan（sqrt（x-1）） - sqrt（x-1）/ x#

最后， #int_1 ^ 4sqrt（x-1）/ x ^ 2dx = arctan（sqrt3） - sqrt3 / 4#