回答：
#1 / 2arctan（x-1）+（x-1）/（2（x ^ 2-2x + 2））+ c#
说明：
所以这里我们有积分：
#int 1 /（x ^ 2-2x + 2）^ 2 dx#
并且二次倒数的形式似乎表明三角替换在这里起作用。所以首先完成广场得到：
#x ^ 2-2x + 2 =（x-1）^ 2 + 1#
然后应用替换 #u = x-1# 删除线性：
#（du）/ dx = 1#
#rArr du = dx#
因此，我们可以安全地更改变量，没有不必要的副作用：
#int 1 /（x ^ 2-2x + 2）^ 2 dx#
#= int 1 /（（x-1）^ 2 +1）^ 2 dx#
# - = int 1 /（u ^ 2 + 1）^ 2 du#
现在，这是执行三角替换的理想形式; #u ^ 2 + 1# 提出了毕达哥拉斯的身份 #1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta#，所以我们应用替代 #u = tantheta# 简化分母：
#（du）/（d theta）= sec ^ 2 theta#
#rArr du = sec ^ 2 theta d theta#
所以积分变成：
#int 1 /（sec ^ 2 theta）^ 2 * sec ^ 2 theta d theta#
#= int 1 /（sec ^ 2 theta）d theta#
# - = int cos ^ 2 theta d theta#
现在，我们使用双角度公式 #COS# 使这种反衍生物更易于管理：
#cos（2theta）= 2cos ^ 2 theta - 1#
#hArr cos ^ 2 theta = 1/2（cos（2 theta）+ 1）#
然后把它放入积分：
#1/2 int cos（2 theta）+ 1 d theta#
#= 1/2（theta + 1/2 sin（2 theta））+ c# （并用双角公式重新打开它 #罪#)
#= 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c#
现在， #x-1 = u = tan theta#
#rArr theta = arctan（x-1）#
#1 +（x-1）^ 2 = sec ^ 2 theta#
#rArr cos theta = 1 / sqrt（x ^ 2 - 2x +2）#
#sin theta = tan theta * cos theta#
#rArr sin theta =（x-1）/（sqrt（x ^ 2 + 2x + 2）#
#:. sintheta * costheta =（x-1）/（x ^ 2-2x + 2）#
最后，谈到这一点：
#int 1 /（x ^ 2-2x + 2）^ 2 dx#
#= 1 / 2arctan（x-1）+（x-1）/（2（x ^ 2-2x + 2））+ c#
