我怎样才能解决这个微分方程？

回答：

#y = -1 /（e ^（x）e ^ y） - 1 /（3e ^ ye ^（ - 3x））+ C / e ^ y + 1#

这是一个 可分微分方程 ，这只是意味着它可以分组 #X# 条款和 #Y# 等式两边的术语。所以，这就是我们首先要做的事情：

#（e ^ x）y dy / dx = e ^（ - y）+ e ^（ - 2x）* e ^（ - y）#

#=>（e ^ x）dy / dx = e ^（ - y）/ y（1 + e ^（ - 2x））#

#=> e ^ x /（1 + e ^（ - 2x））dy / dx = e ^（ - y）/ y#

现在，我们希望得到 dy在y的一侧，而dx在x的一侧。 我们需要做一些重新安排：

#（1 + e ^（ - 2x））/ e ^ x dx = y / e ^（ - y）dy#

现在，我们整合双方：

#int（（1 + e ^（ - 2x））/ e ^ x）dx = int y / e ^（ - y）dy#

让我们依次做每个积分：

首先，让我们通过加/减规则将它分成2个单独的积分：

#=> int（1 / e ^ x）dx + int（e ^（ - 2x））/ e ^ xdx#

这些看起来很烦人。但是，我们可以给它们一些改造，使它们看起来更好（并且更容易解决）：

#=> int（e ^（ - x））dx + int（e ^（ - 3x））dx#

这两个现在都很简单 #U# - 替代积分。如果你设置 #u = -x# 和 #-3x# 你会得到答案：

#=> -e ^（ - x） - e ^（ - 3x）/ 3 + C#

#如果我们将负指数设为正数，我们得到：

#int（YE ^ y）的DY#

我们需要为此部分使用集成。公式是：

#int（UV）DY = UV-INT（V * DU）#

我们准备好了 #u = y#，和 #dv = e ^ y dy#。原因是我们想要一个简单的 ##杜最终的整合，也因为 #E 1 Y# 很容易整合。

所以：

#u = y#

#=> du = dy#

#dv = e ^ y dy#

#v = e ^ y#

现在，我们只是堵塞和突突：

#=> int（ye ^ y）dy = ye ^ y - int（e ^ y）dy#

#= ye ^ y - e ^ y#

把一切都放回去：

#ye ^ y - e ^ y = -e ^（ - x） - e ^（ - 3x）/ 3 + C#

摆脱负面指数：

#ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^（x） - 1 /（3e ^（ - 3x））+ C#

这是一个相当不错的最终答案。如果你想解决 #Y#，你可以，你最终会

#y = -1 /（e ^（x）e ^ y） - 1 /（3e ^ ye ^（ - 3x））+ C / e ^ y + 1#

请注意，我们没有 #+ C# 关于这个等式的LHS。这样做的原因是，即使我们确实这样做了，我们最终会从RHS中减去它，任意常数减去任意常数仍然（等待它）一个任意常数。因此，对于这些问题，只要你有你的 #+ C# 在等式的任何一边，你会没事的。

希望有帮助:)