通过围绕x轴旋转f（x）= xe ^ -x-xe ^（x），x在[1,3]中创建的实体的表面积是多少？

回答：

确定符号，然后按部分进行整合。面积是：

#A = 39.6345#

说明：

你必须知道是否 #F（x）的# 是消极的还是积极的 #1,3#。因此：

#XE ^ -x-XE ^ X#

#X（E ^ -x-E ^ x）的#

要确定一个标志，第二个因素在以下情况下是正面的：

#E 1 -x-E ^ X> 0#

#1 / E ^ X-E ^ X> 0#

#E 1 X *的1 / e ^ X-E ^ X * E ^ X> E 1 X * 0#

以来 #E 1 X> 0# 任何 #x in（-oo，+ oo）# 不平等不会改变：

#1-E ^（X + X3）> 0#

#1-E ^（2×）> 0#

#E 1（2×）<1#

#lne ^（2x）<ln1#

#2倍<0#

#X <0#

因此，当x为负时，该函数仅为正，反之亦然。既然还有一个 #X# 考虑到 #F（x）的#

#F（X）= X（E ^ -x-E ^ x）的#

当一个因子是正数时，另一个因子是负数，所以f（x）是 总是消极的。因此，区域：

#A = -int_1 ^ 3F（x）的DX#

#A = -int_1 ^ 3（XE ^ -x-XE ^ x）的DX#

#A = -int_1 ^ 3XE ^ -xdx + INT_1 ^ 3XE ^ XDX#

#A = -int_1 ^ 3×*（ - （E ^ -x） '）DX + INT_1 ^ 3×（E ^ X）' DX#

#A = INT_1 ^ 3×*（E ^ -x） 'DX + INT_1 ^ 3×（E ^ X）' DX#

#A = XE ^ -x _1 ^ 3-INT_1 ^ 3（x）的 'E ^ -xdx + X（E ^ X） _ 1 ^ 3-INT_1 ^ 3（x）的' E ^ XDX#

#A = XE ^ -x _1 ^ 3-INT_1 ^ 3E ^ -xdx + X（E ^ X） _ 1 ^ 3-INT_1 ^ 3E ^ XDX#

#A = XE ^ -x _1 ^ 3 - - E 1 -x _1 ^ 3 + X（E ^ X） _ 1 ^ 3- E ^ X _1 ^ 3#

#A =（3E ^ -3-1 * E ^ -1）+（E ^ -3-E ^ -1）+（3E ^ 3-1 * E ^ 1） - （E ^ 3E ^ 1） #

#A = 3 / E ^ 3-1 / E + 1 / E ^ 3-1 / E + 3E ^ 3E-E ^ 3 + E#

#A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3#

使用计算器：

#A = 39.6345#

回答：

面积= 11,336.8平方单位

说明：

给定的 #f（x）= xe ^ -x -xe ^ x#

为简单起见 #F（X）= Y#

和 #y = xe ^ -x -xe ^ x#

一阶导数 #Y'# 在计算表面积时需要。

区域 #= 2pi int_1 ^ 3 y# #的DS#

哪里 #的DS##= sqrt（1+（y'）^ 2）# #DX#

区域 #= 2pi int_1 ^ 3 y# #sqrt（1+（y'）^ 2）# #DX#

确定一阶导数 #Y'#:

区分 #y = x（e ^ -x - e ^ x）# 使用产品配方的衍生物

#y'= 1 *（e ^ -x-e ^ x）+ x *（e ^ -x *（ - 1）-e ^ x）#

#y'= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x#

在简化和分解之后，结果是

一阶导数 #Y'= E ^ -x *（1-X）-e ^ X *（1 + x）的#

现在计算区域：

面积= #2 pi int_1 ^ 3 y# #的DS#

区域 #= 2pi int_1 ^ 3 y# #sqrt（1+（y'）^ 2）# #DX#

区域

#= 2pi int_1 ^ 3 x（e ^ -x - e ^ x）# #sqrt（1+（e ^ -x *（1-x）-e ^ x *（1 + x））^ 2# #DX#

对于像这样的复杂积分，我们可以使用Simpson规则：

以便

区域

#= 2pi int_1 ^ 3 x（e ^ -x - e ^ x）# #sqrt（1+（e ^ -x *（1-x）-e ^ x *（1 + x））^ 2# #DX#

面积= -11,336.804

这涉及旋转方向，因此可能存在负表面积或正表面积。我们只考虑正值Area = 11336.804平方单位