回答：
#int sqrt（x ^ 2 + 4x） dx = sinh（2cosh ^ -1（（x + 2）/ 2）） - 2cosh ^ -1（（x + 2）/ 2）+ C#
说明：
因为只处理一个更容易 #X# 在平方根下，我们完成广场：
#x的^ 2 + 4X =（X + 2）^ 2 + K#
#x的^ 2 + 4X = X ^ 2 + 4X + 4 + K#
#K = -4#
#x的^ 2 + 4X =（X + 2）^ 2-4#
#int sqrt（x ^ 2 + 4x） dx = int sqrt（（x + 2）^ 2-4） dx#
现在我们需要进行三角替换。我将使用双曲线三角函数（因为割线积分通常不是很好）。我们想使用以下标识：
#COSH ^ 2（THETA）-1 =双曲正弦^ 2（THETA）#
要做到这一点，我们想要 #（X + 2）^ 2 = 4cosh ^ 2（THETA）#。我们可以解决 #X# 得到我们需要的替代品：
#X + 2 = 2cosh（THETA）#
#X = 2cosh（THETA）-2#
相互融合 ##THETA，我们必须乘以导数 #X# 关于 ##THETA:
#dx /（d theta）= 2sinh（theta）#
#int sqrt（（x + 2）^ 2-4） dx = int sqrt（（2cosh（theta））^ 2-4）* 2sinh（theta） d theta =#
#= 2int sqrt（4cosh ^ 2（theta）-4）* sinh（theta） d theta = 2int sqrt（4（cosh ^ 2（theta）-1））* sinh（theta） d theta =#
#= 2 * sqrt（4）int sqrt（cosh ^ 2（theta）-1）* sinh（theta） d theta =#
现在我们可以使用身份 #COSH ^ 2（THETA）-1 =双曲正弦^ 2（THETA）#:
#= 4int sqrt（sinh ^ 2（theta））* sinh（theta） d theta = 4int sinh ^ 2（theta） d theta#
现在我们使用身份：
#双曲正弦^ 2（THETA）= 1/2（COSH（的2θ）-1）#
#4 / 2int cosh（2theta）-1 d theta = int 2cosh（2theta） d theta-2theta =#
我们可以做一个明确的替换 #2cosh（的2θ）#，但答案很明显 #sinh（的2θ）#:
#=双曲正弦（的2θ）-2theta + C#
现在我们需要撤消替换。我们可以解决 ##THETA 要得到：
#THETA = COSH ^ -1（（X + 2）/ 2）#
这给出了：
#sinh（2cosh ^ -1（（X + 2）/ 2）） - 2cosh ^ -1（（X + 2）/ 2）+ C#
