Sqrt（9-x ^ 2）的积分是多少？

每当我看到这些功能时，我会认识到（通过练习很多）你应该在这里使用特殊替换：

#int sqrt（9-x ^ 2）dx#

#x = 3sin（u）#

这可能看起来像一个奇怪的替代，但你会明白为什么我们这样做。

#dx = 3cos（u）du#

替换积分中的每一个：

#int sqrt（9-（3sin（u））^ 2）* 3cos（u）du#

我们可以把三分之一带出来：

#3 * int sqrt（9-（3sin（u））^ 2）* cos（u）du#

#3 * int sqrt（9-9sin ^ 2（u））* cos（u）du#

你可以把9分：

#3 * int sqrt（9（1-sin ^ 2（u）））* cos（u）du#

#3 * 3int sqrt（1-sin ^ 2（u））* cos（u）du#

我们知道身份： #cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1#

如果我们解决 #cosx#，我们得到：

#cos ^ 2x = 1-sin ^ 2x#

#cosx = sqrt（1-sin ^ 2x）#

这正是我们在积分中看到的，所以我们可以替换它：

#9 int cos ^ 2（u）du#

你可能知道这个是一个基本的反衍生物，但如果你不知道，你可以这样解决：

我们使用身份： #cos ^ 2（u）=（1 + cos（2u））/ 2#

#9 int（1 + cos（2u））/ 2 du#

#9/2 int 1 + cos（2u）du#

#9/2（int 1du + int cos（2u）du）#

#9/2（你+ 1 / 2sin（2u））+ C# （你可以通过替换来解决这个问题）

#9/2你+ 9/4罪（2u）+ C#

现在，我们要做的就是放 #U# 进入功能。让我们回顾一下我们如何定义它：

#x = 3sin（u）#

#x / 3 =罪（你）#

要得到 #U# 除此之外，你需要采取反函数 #罪# 在这两边，这是 #ARCSIN#:

#arcsin（x / 3）= arcsin（sin（u））#

#arcsin（x / 3）=你#

现在我们需要将它插入到我们的解决方案中：

#9/2 arcsin（x / 3）+ 9/4 sin（2arcsin（x / 3））+ C#

这是最终的解决方案。