回答：
#E 1 X / 2（的sin（x）+ COS（X）） - LN | COS（X）| -1 / 2秒^ 2（x）的-cos（x）的+ 5/3 + sqrt3 / 2-（1- / 4 + sqrt3 / 4）E 1（PI / 6）+ LN（sqrt3 / 2）#
说明：
我们首先将积分分为三个：
#int e ^ xcos（x） dx-int tan ^ 3（x） dx + int sin（x） dx =#
#= int e ^ xcos（x） dx-int tan ^ 3（x） dx-cos（x）#
我将调用左积分积分1和右积积积分2
积分1
在这里，我们需要按部件集成和一个小技巧。部件集成的公式是：
#int f（x）g'（x） dx = f（x）g（x）-int f'（x）g（x） dx#
在这种情况下，我会让 #F（X）= E ^ X# 和 #G'（X）= COS（x）的#。我们明白了
#F'（X）= E ^ X# 和 #G（X）=的sin（x）#.
这使我们的积分：
#int e ^ xcos（x） dx = e ^ xsin（x）-int e ^ xsin（x） dx#
现在我们可以再次按部分应用集成，但这次是 #G'（X）=的sin（x）#:
#int e ^ xcos（x） dx = e ^ xsin（x） - （ - e ^ xcos（x） - （ - int e ^ xcos（x） dx））#
#int e ^ xcos（x） dx = e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x）-int e ^ xcos（x） dx#
现在我们可以为两边添加积分，给出：
#2int e ^ xcos（x） dx = e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x）#
#int e ^ xcos（x） dx = 1/2（e ^ xsin（x）+ e ^ xcos（x））+ C =#
#= E ^ X / 2（的sin（x）+ COS（X））+ C#
积分2
我们可以先使用身份：
#tan（THETA）= SIN（THETA）/ COS（THETA）#
这给出了：
#int tan ^ 3（x） dx = int sin ^ 3（x）/ cos ^ 3（x） dx = int （sin（x）sin ^ 2（x））/ cos ^ 3（x ） dx#
现在我们可以使用毕达哥拉斯的身份：
#罪^ 2（THETA）= 1-COS ^ 2（THETA）#
#int （sin（x）（1-cos ^ 2（x）））/ cos ^ 3（x） dx#
现在我们可以引入一个u替换 #U = COS（x）的#。然后我们除以导数， #-sin（x）的# 与…相融合 #U#:
#-int （cancel（sin（x））（1-cos ^ 2（x）））/（cancel（sin（x））cos ^ 3（x）） du = -int （1-u ^ 2）/ u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du =#
#= int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 /（2u ^ 2）+ C = ln | cos（x）| + 1 /（2cos ^ 2（x））+ C#
完成原始积分
现在我们知道Integral 1和Integral 2，我们可以将它们重新插入原始积分并简化以获得最终答案：
#E 1 X / 2（的sin（x）+ COS（X）） - LN | COS（X）| -1 / 2秒^ 2（x）的-cos（x）的+ C#
现在我们知道了反导数，我们可以求解常数：
#F（PI / 6）= 1#
#E 1（PI / 6）/ 2（SIN（PI / 6）+ COS（PI / 6）） - LN | COS（PI / 6）| -1 / 2秒^ 2（PI / 6）-cos（PI / 6）+ C = 1#
#-2 / 3- SQRT（3）/ 2 + 1/2（1/2 + SQRT（3）/ 2）E 1（PI / 6）-ln（SQRT（3）/ 2）+ C = 1#
#C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2-（1/4 + sqrt3 / 4）E 1（PI / 6）+ LN（sqrt3 / 2）#
#C = 5/3 + sqrt3 / 2-（1/4 + sqrt3 / 4）E 1（PI / 6）+ LN（sqrt3 / 2）#
这使我们的功能是：
#E 1 X / 2（的sin（x）+ COS（X）） - LN | COS（X）| -1 / 2秒^ 2（x）的-cos（x）的+ 5/3 + sqrt3 / 2-（1- / 4 + sqrt3 / 4）E 1（PI / 6）+ LN（sqrt3 / 2）#
