如何找到y = x ^ 2 - 1和y = 0围绕x = 5线旋转的区域的体积？

回答：

#V = piint_0 ^ 24（5- SQRT（Y + 1））^ 2DY = PI（85 + 1/3）#

说明：

为了计算这个体积，我们在某种意义上将其切割成（无限苗条）切片。

我们设想该区域，为了帮助我们，我已经将图形包含在曲线下方的区域中。我们注意到了 #Y = X ^ 2-1# 穿过这条线 #X = 5# 哪里 #Y = 24# 并且它越过了线 #Y = 0# 哪里 #X = 1# 图{x ^ 2-1 1,5，-1,24}

在具有高度的水平切片中切割该区域时 #DY# （非常小的高度）。这些切片的长度很大程度上取决于y坐标。要计算这个长度，我们需要知道距离点的距离 #（Y，X）# 在线上 #Y = X ^ 2-1# 到了点（5，y）。当然这是 #5-X#，但我们想知道它是如何依赖的 #Y#。以来 #Y = X ^ 2-1#， 我们知道 #x的^ 2 = Y + 1#，因为我们有 #X> 0# 对于我们所关注的地区， #X = SQRT（Y + 1）#因此这个距离取决于 #Y#，我们将其称为 #r组成（y）的# 是（谁）给的 #r组成（Y）= 5- SQRT（Y + 1）#.

现在我们围绕这个区域旋转 #X = 5#，这意味着每个切片都变成具有高度的圆柱体 #DY# 和半径 #r组成（y）的#因此是一卷 #pir（Y）^ 2DY#。我们现在需要做的就是使用集成来添加这些无限小的卷。我们注意到了 #Y# 来自 #0# 至 #24#.

#V = int_0 ^ 24pir（y）^ 2dy = piint_0 ^ 24（5-sqrt（y + 1））^ 2dy = piint_0 ^ 24（25-10sqrt（y-1）+ y + 1）dy = piint_0 ^ 24 （26-10sqrt（Y + 1）+ y）的DY = PI 26Y-20/3（Y + 1）^（3/2）+ Y ^ 2/2 ^ _0 24 = PI（26 * 24-20 / 3（25）^（3/2）+ 20/3 + 24 ^ 2/2）= PI（85 + 1/3）#.