之前的答案包含错误。这是正确的推导。
首先，功能前面的减号 #F（X）= - 的sin（x）#当取一个导数时，会改变函数导数的符号 #F（X）=的sin（x）# 相反的。这是限制理论中的一个简单定理：常数的极限乘以变量等于该常数乘以变量的极限。所以，让我们找到它的衍生物 #F（X）=的sin（x）# 然后乘以 #-1#.
我们必须从以下关于三角函数极限的陈述开始 #F（X）=的sin（x）# 因为它的论点倾向于零：
#lim_（H-> 0）SIN（H）/ H = 1#
这种证明纯粹是几何的，并且基于函数的定义 #sin（x）的#。有许多Web资源包含此语句的证明，如The Math Page。
使用这个，我们可以计算出的导数 #F（X）=的sin（x）#:
#f'（x）= lim_（h-> 0）（sin（x + h）-sin（x））/ h#
使用表示的差异 #罪# 作为产品的功能 #罪# 和 #COS# （见Unizor， 三角函数 - 角度的三角形 - 问题4), #f'（x）= lim_（h-> 0）（2 * sin（h / 2）cos（x + h / 2））/ h#
#f'（x）= lim_（h-> 0）sin（h / 2）/（h / 2）* lim_（h-> 0）cos（x + h / 2）#
#F'（X）= 1个* COS（X）= COS（x）的#
因此，衍生物 #F（X）= - 的sin（x）# 是 #F'（X）= - COS（x）的#.
