回答：
#sinh（1/2）0.52 ~~#
说明：
我们知道的定义 #sinh（x）的#:
#sinh（X）=（E ^ X-E ^ -x）/ 2#
因为我们知道Maclaurin系列 #E 1 X#，我们可以用它来构建一个 #sinh（x）的#.
#E 1 X = sum_（N = 0）^ OOX ^ N /（N！）= 1 + X + X ^ 2/2 + X ^ 3 /（3！）…#
我们可以找到这个系列 #E 1 -x# 通过替换 #X# 同 #-X#:
#E 1 -x = sum_（N = 0）^ OO（-x）^ N /（N！）= sum_（N = 0）^ OO（-1）^ N /（N！）的x ^ n = 1的-x + X ^ 2/2的x ^ 3 /（3！）…#
我们可以相互减去这两个来找到分子 ##双曲正弦 定义：
#COLOR（白色）（ - E ^ -x）E 1 X =颜色（白色）（….）1 + X + X ^ 2/2 + X ^ 3 /（！3）+ X ^ 4 / （4！）+ X ^ 5 /（5！）…#
#COLOR（白色）（E ^ x）的-e -x ^ = -1 + XX ^ 2/2 + X ^ 3 /（3！） - X ^ 4 /（4！）+ X ^ 5 /（5！ ）…#
·E ^ XE ^ -x =颜色（白色）（lllllllll）2xcolor（白色）（lllllllll）+（2×^ 3）/（3！）颜色（白色）（lllllll）+（2×^ 5）/（5！ ）…#
我们可以看到所有偶数项取消，所有奇数项都加倍。我们可以这样表示这种模式：
#e ^ x-e ^ -x = sum_（n = 0）^ oo 2 /（（2n + 1）！）x ^（2n + 1）#
完成了 #sinh（x）的# 系列，我们只需要将其除以 #2#:
#（e ^ x-e ^ -x）/ 2 = sinh（x）= sum_（n = 0）^ oo cancel2 /（cancel2（2n + 1）！）x ^（2n + 1）=#
#= sum_（n = 0）^ oo x ^（2n + 1）/（（2n + 1）！）= x + x ^ 3 /（3！）+ x ^ 5 /（5！）……#
现在我们要计算 #f（1 / 2）# 准确度至少为 #0.01#。我们知道这个一般形式的拉格朗日误差约束了n阶泰勒多项式 #X = C#:
#| R_n（X）| <= | M /（！（N + 1））（X-C）^（N + 1）|# 哪里 #M# 是来自间隔的第n个导数的上界 #C# 至 #X#.
在我们的例子中，扩展是Maclaurin系列，所以 #C = 0# 和 #x = 1 / 2#:
#| R_n（X）| <= | M /（（N + 1）！）（1/2）^（N + 1）|#
高阶导数 #sinh（x）的# 要么是 #sinh（x）的# 要么 #cosh（x）的#。如果我们考虑它们的定义，我们就会看到 #cosh（x）的# 将永远大于 #sinh（x）的#所以我们应该解决这个问题 #M#-开往 #cosh（x）的#
双曲余弦函数总是在增加，因此间隔的最大值将为 #1 / 2#:
#sinh（1/2）=（E ^（1/2）+ E ^（ - 1/2））/ 2 =（sqrte + 1 / sqrte）/ 2 = sqrte / 2 + 1 /（2sqrte）= M #
现在我们将其插入到Lagrange错误界限中：
#| R_n（X）| <=（sqrte / 2 + 1 /（2sqrte））/（！（N + 1））（1/2）^（N + 1）#
我们想要 #| R_n（X）|# 小于 #0.01#，所以我们尝试一些 #N# 值直到我们到达那一点（多项式中较少量的项，越好）。我们发现了 #n = 3的# 是第一个给我们一个小于的误差的值 #0.01#，所以我们需要使用3度泰勒多项式。
#sinh（1/2）~~ sum_（N = 0）^ 3（1/2）^（2N + 1）/（（2N + 1）！）=六十四万五千一百二分之三十三万六千一百六十九~~ 0.52#
