什么是微分方程的解？dy / dt = e ^ t（y-1）^ 2？

回答：

一般解决方案是：

#y = 1-1 /（e ^ t + C）#

我们有：

#dy / dt = e ^ t（y-1）^ 2#

我们可以收集类似变量的术语：

#1 /（y-1）^ 2 dy / dt = e ^ t#

这是一个可分离的一阶普通非线性微分方程，所以我们可以 “分离变量” 要得到：

#int 1 /（y-1）^ 2 dy = int e ^ t dt#

两个积分都是标准函数的积分，因此我们可以使用这些知识直接集成：

#-1 /（y-1）= e ^ t + C#

我们可以随时重新安排 #Y#:

# - （y-1）= 1 /（e ^ t + C）#

#:. 1-y = 1 /（e ^ t + C）#

通向一般解决方案：

#y = 1-1 /（e ^ t + C）#

#Y = -1 /（E ^ T + C）+ 1#

这是一个可分离的微分方程，这意味着它可以用以下形式编写：

#DY / DX * F（Y）= G（X）#

它可以通过整合双方来解决：

#int f（y） dy = int g（x） dx#

在我们的例子中，我们首先需要将积分分成正确的形式。我们可以通过将双方分开来做到这一点 #（Y-1）^ 2#:

#DY / DT * 1 /（Y-1）^ 2 = E ^ tcancel（（Y-1）^ 2 /（Y-1）^ 2）#

#DY / DT * 1 /（Y-1）^ 2 = E ^ T#

现在我们可以整合双方：

#int 1 /（y-1）^ 2 dy = int e ^ t dt#

#int 1 /（y-1）^ 2 dy = e ^ t + C_1#

我们可以用替换来解决左手积分 #U = Y-1#:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1#

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1#

#ü^ -1 /（ - 1）+ C_2 = E ^ T + C_1#

重新构建（和组合常数）给出：

#-1 /（Y-1）= E ^ T + C_3#

将双方乘以 #Y-1#:

#-1 =（E ^ T + C_3）（Y-1）#

将双方分开 ·E ^ T + C_3#:

#-1 /（E ^ T + C_3）= Y-1#

#Y = -1 /（E ^ T + C）+ 1#