如何计算这个的总和？ sum_（n = 1）^ oo（-1）^ n n（n-1）x ^ n

回答：

见下文。

说明：

考虑到 #abs x <1#

#sum_（n = 1）^ oo（-1）^ nn（n-1）x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 /（dx ^ 2）sum_（n = 1）^ oo（-x）^ n #

但 #sum_（n = 1）^ oo（-x）^ n = 1 /（1 - （ - x）） - 1# 和

#d ^ 2 /（dx ^ 2）sum_（n = 1）^ oo（-x）^ n = 2 /（x + 1）^ 3# 然后

#sum_（n = 1）^ oo（-1）^ n n（n-1）x ^ n =（2x ^ 2）/（x + 1）^ 3#

回答：

#sum_（n = 1）^ oo（-1）^ n n（n-1）x ^ n =（2x ^ 2）/（1 + x）^ 3# 什么时候 #| X | <1#

说明：

我们首先写出一些系数：

#sum_（n = 1）^ oo（-1）^ n n（n-1）x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … =#

我们要看的第一件事就是系数（系数） #X# 可以很容易地通过乘以和除以系列来调整 #X#，所以它们并不那么重要）。我们看到它们都是两个的倍数，所以我们可以得出两个因子：

#= 2（X ^ 2-3倍^ 3 + 6×^ 4-10×^ 5 …）#

该括号内的系数可以被识别为具有幂的二项式系列 #阿尔法= -3#:

#（1 + x）的^阿尔法= 1 + ALPHAX公司制+（α（α-1））/（2！）的x ^ 2 +（α（α-1）（α-2））/（3！）X ^ 3 …#

#（1 + x）的^ - 3 = 1-3X + 6X ^ 2-10x ^ 3 …#

我们注意到，与我们刚刚导出的系列相比，括号中所有项的指数都要大两个，所以我们必须乘以 #x的^ 2# 获得正确的系列：

#2×^ 2（1 + x）的^ - 3 = 2×^ 2-6x ^ 3 + 12×^ 4-20x ^ 5 …#

这意味着我们的系列（当它收敛时）等于：

#（2×^ 2）/（1 + x）的^ 3#

为了验证我们没有犯错误，我们可以快速使用二项式系列来计算系列 #2×^ 2（1 + x）的^ - 3#:

#2×^ 2（1 + x）的^ - 3 = 2×2 ^（1-3X +（（ - 3）（ - 4））/（2）X ^ 2 +（（ - 3）（ - 4）（ - 5））/（3！）x ^ 3 …）=#

#= 2×2 ^（1-3X +（4！）/（2 * 2！）的x ^ 2-（5-！）/（2 * 3！）的x ^ 3，…）=#

#= 2×2 ^（1-3X +（4 * 3）/ 2×^ 2-（5 * 4）/ 2×^ 3 …）=#

我们可以像这样描述这种模式：

#= 2x ^ 2sum_（n = 0）^ oo（-1）^ n（n（n-1））/ 2x ^（n-2）= sum_（n = 0）^ oo（-1）^ nn（ N-1）的x ^ N#

因为第一个任期就是 #0#，我们可以写：

#sum_（n = 1）^ oo（-1）^ n n（n-1）x ^ n#

这是我们开始的系列，验证我们的结果。

现在我们只需要找出收敛间隔，看看系列实际上有什么值。我们可以通过查看二项式系列的收敛条件来实现这一点，并发现该系列在何时收敛 #| X | <1#