积分1 / sqrt（tanx）dx =？

回答：

#1 /（SQRT2）黄褐色^ -1（（坦-1）/（SQRT（2tanx））） - 1 /（2sqrt2）LN |（坦-SQRT（2tanx）+1）/（坦-SQRT（2tanx） +1）| + C#

说明：

我们从u替换开始 #U = SQRT（坦）#

的衍生物 #U# 是：

#（DU）/ DX =（秒^ 2（X））/（2sqrt（坦））#

所以我们除以那个与之相关的整合 #U# （并记住，除以一个分数与乘以它的倒数相同）：

#int 1 / sqrt（tanx） dx = int 1 / sqrt（tanx）*（2sqrt（tanx））/ sec ^ 2x du =#

#= int 2 / sec ^ 2x du#

既然我们无法整合 #X#关于 #U#，我们使用以下标识：

#秒^的2θ=黄褐色^的2θ+ 1#

这给出了：

#int 2 /（tan ^ 2x + 1） du = int 2 /（1 + u ^ 4） du = 2int 1 /（1 + u ^ 4） du#

剩余的积分使用相当繁琐的部分分数分解，所以我不会在这里做。如果您对如何解决问题感兴趣，请查看此答案：

socratic.org/questions/how-do-you-evaluate-the-integral-int-dx-x-4-1

#2int 1 /（1 + u ^ 4） du = 2（1 /（2sqrt2）tan ^ -1（（u ^ 2-1）/（sqrt2u）） - 1 /（4sqrt2）ln |（u ^ 2- sqrt2u + 1）/（U ^ 2-sqrt2u + 1）|）+ C =#

#= 1 /（SQRT2）黄褐色^ -1（（U ^ 2-1）/（sqrt2u）） - 1 /（2sqrt2）LN |（U ^ 2-sqrt2u + 1）/（U ^ 2-sqrt2u + 1 ）| + C#

重新申请 #U = SQRT（坦）#，我们得到：

#1 /（SQRT2）黄褐色^ -1（（坦-1）/（SQRT（2tanx））） - 1 /（2sqrt2）LN |（坦-SQRT（2tanx）+1）/（坦-SQRT（2tanx） +1）| + C#

回答：

#= 1 / SQRT（2）黄褐色^ -1（（坦-1）/（SQRT（2tanx））） - 1 /（2sqrt（2））LN |（坦+ 1-SQRT（2tanx））/（坦+ 1个+ SQRT（2tanx））| + C#

说明：

#I = INT1 / SQRT（坦）DX#

让， #sqrt（坦）= T =>坦= T ^ 2 =>秒^ 2xdx = 2tdt#

#=>（1 +黄褐色^ 2×）DX = 2tdt => DX =（2tdt）/（1+（吨^ 2）^ 2#

#:. I = INT1 / cancelt *（2 * * cancelt DT）/（1 + T ^ 4）= INT2 /（1 + T ^ 4）DT#

#= INT（T ^ 2 + 1）/（1 + T ^ 4）DT-INT（T ^ 2-1）/（1 + T ^ 4）DT = INT（1 + 1 / T ^ 2）/（吨^ 2 + 1 / T ^ 2）DT-INT（1-1 /吨^ 2）/（T ^ 2 + 1 / T ^ 2）DT#

#= INT（1 + 1 / T ^ 2）/（（T-1 / T）^ 2 + 2）DT-INT（1-1 /吨^ 2）/（（T + 1 / T）^ 2- 2）DT#

采取，#（T-1 / T）= U和（T + 1 / T）= V##=>（1 + 1 / T ^ 2）DT = duand（1-1 /吨^ 2）DT = DV##=> I = INT1 /（U ^ 2 +（SQRT（2））^ 2）DU-INT1 /（V ^ 2-（SQRT（2））^ 2）的dv = 1 / SQRT（2）黄褐色^ - 1（U / SQRT（2）） - 1 /（2sqrt（2））LN |（v-SQRT2）/（v + SQRT2）| + C = 1 / SQRT（2）黄褐色^ -1（（T-1 /吨）/ SQRT（2）） - 1 /（2sqrt（2））LN |（（T + 1 / t）的-sqrt2）/（（T + 1 / T）+ SQRT2）| + C##= 1 / SQRT（2）黄褐色^ -1（（T ^ 2-1）/（SQRT（2）T）） - 1 /（2sqrt（2））LN |（（T ^ 2 + 1-SQRT（ 2）T））/（（T ^ 2 + 1 + SQRT（2）T））| + C#

#= 1 / SQRT（2）黄褐色^ -1（（坦-1）/（SQRT（2tanx））） - 1 /（2sqrt（2））LN |（坦+ 1-SQRT（2tanx））/（坦+ 1个+ SQRT（2tanx））| + C#